第四章 概率与统计（单元测试·提升卷）数学人教B版2019选择性必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 概率与统计 能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 2．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示： 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间 40 50 60 70 90 由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（   ） A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 3．算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 4．设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 5．一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（    ） A． B．7 C． D．6 6．掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 7．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25] 男性人数 15 22 14 9 女性人数 5 11 17 7 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（   ） A．数列和都严格增 B．数列严格增，数列严格减 C．数列严格减，数列严格增 D．数列和都严格减 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．华山、少华山、渭华起义纪念馆是华州区的三大文化地标．现有甲、乙、丙、丁4位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件A为“甲同学前往华山研学”，事件B为“乙同学前往少华山研学”．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．事件A与事件B不独立 10．下列命题成立的是（    ） A．已知，若，则 B．若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D．对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 11．人类对简单刺激的反应时间近似服从正态分布，记人类对两类不同简单刺激的反应时间（单位：ms）分别为随机变量，，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据如下表 设:服用此药的效果与患者的性别无关，（小数点后保留3位有效数字），从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于 .: 单位:名　　　　 性别 疗效 合计 无效 有效 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合计 21 79 100 α 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 13．有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过对面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望 .    14．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子朝上面的点数．记事件“两个点数不相同”，事件“两个点数都没有出现5点”，则 ；设表示两个点数中奇数的个数，则随机变量的数学期望为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某工厂新引进了一套设备用于提高产品的质量，现将新设备生产的1000件产品的质量指标值统计如图所示. (1)为了比较新旧设备生产的产品之间的质量是否有差异，研究人员将旧设备生产的产品情况和新设备生产的这1000件产品情况进行比较（以质量指标值是否超过75为依据），得到的数据统计如下表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认定产品质量与设备的新旧有关联? 设备 产品质量指标值 超过75 不超过75 新设备 旧设备 100 900 (2)以频率估计概率，若从新设备生产的产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为，求的分布列以及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16．（15分）2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 (1)根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； (2)在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． 17．（15分）某校举办技能大赛，比赛包含，，三个项目，按顺序依次进行，参赛学生在每一项的得分高于85分时记为合格，只有在当前项目合格才可以进入下一项．已知甲、乙、丙3名学生在项目中合格的概率分别为，，，在项目中合格的概率分别为，，，且3人比赛结果互不影响． (1)要使甲进入项目的概率达到最大，求实数的值； (2)当时，设甲、乙、丙3人中能进入项目的人数为，求的分布列与数学期望． 18．（17分）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 19．（17分）某商场为了回馈新老客户，举办消费抽奖活动，其规则如下：现有甲，乙两个抽奖箱，在甲抽奖箱内共放有个红色小球和4个黄色小球，乙抽奖箱内共放有个红色小球和3个黄色小球，抽奖者先从甲抽奖箱内随机摸出1个小球放入乙抽奖箱内，然后把乙抽奖箱内的小球重新搅拌均匀后，再从乙抽奖箱内随机摸出1个小球，即完成一次抽奖，若抽奖者从乙抽奖箱内摸出的小球为红色，则该抽奖者中奖，当上一个人抽奖结束后，需要将2个抽奖箱内的小球复原并搅拌均匀，下一个人再进行抽奖，每人只能完成一次抽奖.所有小球的外观质地都相同，其中. (1)设. ①若某抽奖者中奖，求该抽奖者从甲抽奖箱内摸出的小球为红色的概率； ②若有216人依次抽奖，求这216人抽奖全部结束后中奖人数的数学期望. (2)试问当为何值时，抽奖者的中奖概率最大？并求抽奖者中奖的最大概率. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 概率与统计 能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 【答案】C 【详解】因为成绩近似服从正态分布，所以其对称轴为， 由，根据对称性可得， 因此，成绩在分的概率为， 则此次考试成绩在分的人数约为， 故选：C． 2．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示： 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间 40 50 60 70 90 由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（   ） A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 【答案】B 【详解】由题意得，， 因为经验回归直线必过点，即点， 所以可得，解得. 故选；B 3．算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动， 基本事件为1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种， 事件“表示的四位数为偶数”，包含基本事件1000，1010，1050，1100，1500，5000，5010，5050，5100，5500共10种， 则，事件“表示的四位数不小于5010”， 则事件=“表示的四位偶数不小于5010”，包含基本事件5010，5050，5100，5500共4种， 则， 所以， 故选：A． 4．设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】 【详解】方法一：因为， 所以 ， 因为，，所以先增大后减小， 方法二：设随机变量，则的分布列为 －1 0 1 所以， 所以， 得到先增大后减小. 故选：D 5．一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】A 【详解】由题意，的值可以为：6,7,9 表示取出的两个球上的数字为2,4，相当于将三个球排序，2,4排在前两位，所以； 表示取出的两个球上的数字为3,4，相当于将三个球排序，3,4排在前两位，所以； 表示三个球全部取出，相当于将三个球排序，2，3排在前两位，所以. 所以的分布列为： 6 7 9 所以. 故选：A 6．掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 【答案】C 【详解】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则， 对于， 而， 显然事件A与事件互斥但不对立，如，但，故A错误； 对于B，易得，故， 因为，所以， 而，则，则， 即事件与事件不相互独立，故B错误； 对于C，，而，则， 因为，所以，而 ， 所以事件A与事件不相互独立，故C正确； 对于D，由以上分析可知，那么事件与事件不互斥，故D错误. 故选：C. 7．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25] 男性人数 15 22 14 9 女性人数 5 11 17 7 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为， 则，其中，， 当时，由， 得，化简得， 解得，又，∴，∴这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4. 故选：C. 8．已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（   ） A．数列和都严格增 B．数列严格增，数列严格减 C．数列严格减，数列严格增 D．数列和都严格减 【答案】B 【详解】从甲盒中随机抽取n个球，这n个球中黑球的个数设为， 服从超几何分布，且， 乙盒中有1个球且为黑球，放入n个球后，， 因为，所以， 因为，所以当从增加到时， 随的增大而增大，所以数列严格增； 从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，乙盒中此时有个球，黑球有个， 所以 ， 因为，所以当从增加到时， 单调递减，所以严格减. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．华山、少华山、渭华起义纪念馆是华州区的三大文化地标．现有甲、乙、丙、丁4位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件A为“甲同学前往华山研学”，事件B为“乙同学前往少华山研学”．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．事件A与事件B不独立 【答案】BCD 【详解】由题可知，总基本事件数为，事件为“甲同学前往华山”，此时其余3名同学的分配需保证少华山和渭华起义纪念馆都有人前往，一类是从其余3人中任选1人与A同往华山，其余2人在少华山和渭华起义纪念馆一人一处排列，第二类是其余3人，选出2人合成一组，与其与1人在少华山和渭华起义纪念馆排列，共有种， 所以，同理可得，故A错误； 事件：当甲同学前往华山研学，乙同学前往少华山研学时，有两种情况， ①渭华起义纪念馆有两位同学研学，即丙丁，只有1种情况； ②华山或少华山有两位同学研学， 在丙丁2人中先选1人去渭华起义纪念馆，另1人去华山或少华山，共有种情况； 所以事件共有种情况， 所以，故C正确； 因为，，，， 所以，故B正确； 因为， 所以事件A与事件B不独立，故D正确； 故选：BCD． 10．下列命题成立的是（    ） A．已知，若，则 B．若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D．对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 【答案】AB 【详解】A.已知，且，则，故正确； B.若一组样本数据对应的样本点都在直线上，说明这组数据完全线性相关，又因为直线斜率是负相关，所以这组样本数据的相关系数为-1，故正确； C.由两边取自然对数得，求得线性回归方程为，所以，，则，故错误； D.对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，“与有关系”的可能性越大，所以判断“与有关系”的把握性越大，故错误； 故选：AB 11．人类对简单刺激的反应时间近似服从正态分布，记人类对两类不同简单刺激的反应时间（单位：ms）分别为随机变量，，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】∵，∴，故选项A正确； ∵，∴，故选项B错误； ∵，该正态曲线的对称轴为直线，∴由对称性可得，故选项C错误； 令，， ∵，，∴，， ∴，， ∵，∴根据正态曲线的特点可知：，∴，故选项D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据: 单位:名　　　　 性别 疗效 合计 无效 有效 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合计 21 79 100 α 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 设:服用此药的效果与患者的性别无关，（小数点后保留3位有效数字），从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于 . 【答案】0.05 【详解】由公式计算得，根据小概率值的独立性检验，认为服用此药的效果与患者的性别有关，判断出错的概率不大于0.05. 故答案为：0.05. 13．有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过对面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望 .    【答案】 【详解】当时，共有6人围坐在圆桌旁，不妨按顺时针方向标记为， 用表示i和j握手， 若1和2握手，则6人共有两种握手方法，即和； 若1和6握手，则6人共有两种握手方法，即和； 若1和4握手，则6人共有一种握手方法，即， 故当时，共有5种握手方法； 由题意可知Y的取值可能为， 时，握手方式为：和以及， 此时； 则时，握手方式有2种，此时； 故Y的分布列为： Y 2 3 P 则， 故答案为： 14．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子朝上面的点数．记事件“两个点数不相同”，事件“两个点数都没有出现5点”，则 ；设表示两个点数中奇数的个数，则随机变量的数学期望为 ． 【答案】 1 【详解】记I号骰子朝上面的点数为，记II号骰子朝上面的点数为，则样本空间共有36个样本点，各样本点出现的可能性相同，此试验为古典概型. 记事件“两个点数不相同”，则事件“两个点数相同”，事件共有6个样本点，所以事件A包含30个样本点. 因为事件“两个点数都没有出现5点”，所以事件“两个点数不相同，且都没有出现5点”，即事件共20个样本点. 所以，. 由题可知，的取值为0，1，2. 因为每枚骰子向上的点数中有3个奇数，3个偶数， 所以，，. 所以随机变量的分布列为： X 0 1 2 P 所以. 所以随机变量的数学期望为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某工厂新引进了一套设备用于提高产品的质量，现将新设备生产的1000件产品的质量指标值统计如图所示. (1)为了比较新旧设备生产的产品之间的质量是否有差异，研究人员将旧设备生产的产品情况和新设备生产的这1000件产品情况进行比较（以质量指标值是否超过75为依据），得到的数据统计如下表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认定产品质量与设备的新旧有关联? 设备 产品质量指标值 超过75 不超过75 新设备 旧设备 100 900 (2)以频率估计概率，若从新设备生产的产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为，求的分布列以及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，产品的质量指标值超过的频率为， 所以产品的质量指标值超过的有件， 所以产品的质量指标值不超过的有件， 2分 故列联表如下： 设备 产品质量指标值 合计 超过75 不超过75 新设备 250 750 1000 旧设备 100 900 1000 合计 350 1650 2000 3分 假设：产品质量与设备的新旧无关联， ， 5分 所以依据小概率值的独立性检验，能认定产品质量与设备的新旧有关联. 6分 （2）解：新设备产品质量指标值在的频率为：， 故根据频率估计概率，质量指标值在的概率为， 所以随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为， 8分 所以；； ；； ， 11分 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 4 12分 所以，数学期望. 13分 16．（15分）2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 (1)根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； (2)在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． 【详解】（1）因为 1分 所以． 3分 5分 所以回归方程为：， 6分 当时， 7分 当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元． （2）由题意可知， 9分 则 12分 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 13分 . 15分 17．（15分）某校举办技能大赛，比赛包含，，三个项目，按顺序依次进行，参赛学生在每一项的得分高于85分时记为合格，只有在当前项目合格才可以进入下一项．已知甲、乙、丙3名学生在项目中合格的概率分别为，，，在项目中合格的概率分别为，，，且3人比赛结果互不影响． (1)要使甲进入项目的概率达到最大，求实数的值； (2)当时，设甲、乙、丙3人中能进入项目的人数为，求的分布列与数学期望． 【详解】（1）由，解得 ． 2分 由题意得，甲进入C项目，则甲在A，B项目均合格， 所以甲进入C项目的概率为． 4分 因为二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，且， 所以当时，甲进入C项目的概率最大． 6分 （2）当时，， 所以甲能进入C项目的概率为， 乙能进入C项目的概率为， 丙能进入C项目的概率为． 8分 因为随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 且， ， ， ； 11分 所以的分布列为 0 1 2 3 13分 所以数学期望为． 15分 18．（17分）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 【详解】（1）当时，盒中有6个白球，14个黑球，， ，， 3分 ， 6分 则，所以事件与相互不独立. 8分 （2）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 10分 设，当时，， ， 13分 当时，， 当时，， 因此， 15分 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 17分 19．（17分）某商场为了回馈新老客户，举办消费抽奖活动，其规则如下：现有甲，乙两个抽奖箱，在甲抽奖箱内共放有个红色小球和4个黄色小球，乙抽奖箱内共放有个红色小球和3个黄色小球，抽奖者先从甲抽奖箱内随机摸出1个小球放入乙抽奖箱内，然后把乙抽奖箱内的小球重新搅拌均匀后，再从乙抽奖箱内随机摸出1个小球，即完成一次抽奖，若抽奖者从乙抽奖箱内摸出的小球为红色，则该抽奖者中奖，当上一个人抽奖结束后，需要将2个抽奖箱内的小球复原并搅拌均匀，下一个人再进行抽奖，每人只能完成一次抽奖.所有小球的外观质地都相同，其中. (1)设. ①若某抽奖者中奖，求该抽奖者从甲抽奖箱内摸出的小球为红色的概率； ②若有216人依次抽奖，求这216人抽奖全部结束后中奖人数的数学期望. (2)试问当为何值时，抽奖者的中奖概率最大？并求抽奖者中奖的最大概率. 【详解】（1）①当时，，此时甲抽奖箱内共放有5个红色小球和4个黄色小球，乙抽奖箱内共放有2个红色小球和3个黄色小球， 设事件:从甲箱摸出红球，事件：从甲箱摸出黄球，事件:中奖（从乙箱摸出红球）， 则，， 3分 由全概率公式可得，， 5分 由贝叶斯公式可得，, 则某抽奖者中奖，该抽奖者从甲抽奖箱内摸出的小球为红色的概率为. 7分 ②设每人中奖概率为，令中奖人数为，则， 根据二项分布的期望公式可得. 9分 （2）由， 则，， 11分 由全概率公式可得，中奖概率为， 13分 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，中奖概率最大，最大概率为. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 概率与统计 能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A D A C C B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BCD AB AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．0.05 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，产品的质量指标值超过的频率为， 所以产品的质量指标值超过的有件， 所以产品的质量指标值不超过的有件， 2分 故列联表如下： 设备 产品质量指标值 合计 超过75 不超过75 新设备 250 750 1000 旧设备 100 900 1000 合计 350 1650 2000 3分 假设：产品质量与设备的新旧无关联， ， 5分 所以依据小概率值的独立性检验，能认定产品质量与设备的新旧有关联. 6分 （2）解：新设备产品质量指标值在的频率为：， 故根据频率估计概率，质量指标值在的概率为， 所以随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为， 8分 所以；； ；； ， 11分 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 4 12分 所以，数学期望. 13分 16．【详解】（1）因为 1分 所以． 3分 5分 所以回归方程为：， 6分 当时， 7分 当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元． （2）由题意可知， 9分 则 12分 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 13分 . 15分 17．【详解】（1）由，解得 ． 2分 由题意得，甲进入C项目，则甲在A，B项目均合格， 所以甲进入C项目的概率为． 4分 因为二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，且， 所以当时，甲进入C项目的概率最大． 6分 （2）当时，， 所以甲能进入C项目的概率为， 乙能进入C项目的概率为， 丙能进入C项目的概率为． 8分 因为随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 且， ， ， ； 11分 所以的分布列为 0 1 2 3 13分 所以数学期望为． 15分 18．【详解】（1）当时，盒中有6个白球，14个黑球，， ，， 3分 ， 6分 则，所以事件与相互不独立. 8分 （2）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 10分 设，当时，， ， 13分 当时，， 当时，， 因此， 15分 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 17分 19．【详解】（1）①当时，，此时甲抽奖箱内共放有5个红色小球和4个黄色小球，乙抽奖箱内共放有2个红色小球和3个黄色小球， 设事件:从甲箱摸出红球，事件：从甲箱摸出黄球，事件:中奖（从乙箱摸出红球）， 则，， 3分 由全概率公式可得，， 5分 由贝叶斯公式可得，, 则某抽奖者中奖，该抽奖者从甲抽奖箱内摸出的小球为红色的概率为. 7分 ②设每人中奖概率为，令中奖人数为，则， 根据二项分布的期望公式可得. 9分 （2）由， 则，， 11分 由全概率公式可得，中奖概率为， 13分 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，中奖概率最大，最大概率为. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 概率与统计 能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 2．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示： 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间 40 50 60 70 90 由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（   ） A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 3．算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 4．设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 5．一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（    ） A． B．7 C． D．6 6．掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 7．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25] 男性人数 15 22 14 9 女性人数 5 11 17 7 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（   ） A．数列和都严格增 B．数列严格增，数列严格减 C．数列严格减，数列严格增 D．数列和都严格减 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．华山、少华山、渭华起义纪念馆是华州区的三大文化地标．现有甲、乙、丙、丁4位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件A为“甲同学前往华山研学”，事件B为“乙同学前往少华山研学”．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．事件A与事件B不独立 10．下列命题成立的是（    ） A．已知，若，则 B．若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D．对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 11．人类对简单刺激的反应时间近似服从正态分布，记人类对两类不同简单刺激的反应时间（单位：ms）分别为随机变量，，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据: 单位:名　　　　 性别 疗效 合计 无效 有效 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合计 21 79 100 α 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 设:服用此药的效果与患者的性别无关，（小数点后保留3位有效数字），从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于 . 13．有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过对面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望 .    14．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子朝上面的点数．记事件“两个点数不相同”，事件“两个点数都没有出现5点”，则 ；设表示两个点数中奇数的个数，则随机变量的数学期望为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某工厂新引进了一套设备用于提高产品的质量，现将新设备生产的1000件产品的质量指标值统计如图所示. (1)为了比较新旧设备生产的产品之间的质量是否有差异，研究人员将旧设备生产的产品情况和新设备生产的这1000件产品情况进行比较（以质量指标值是否超过75为依据），得到的数据统计如下表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认定产品质量与设备的新旧有关联? 设备 产品质量指标值 超过75 不超过75 新设备 旧设备 100 900 (2)以频率估计概率，若从新设备生产的产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为，求的分布列以及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16．（15分）2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 (1)根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； (2)在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． 17．（15分）某校举办技能大赛，比赛包含，，三个项目，按顺序依次进行，参赛学生在每一项的得分高于85分时记为合格，只有在当前项目合格才可以进入下一项．已知甲、乙、丙3名学生在项目中合格的概率分别为，，，在项目中合格的概率分别为，，，且3人比赛结果互不影响． (1)要使甲进入项目的概率达到最大，求实数的值； (2)当时，设甲、乙、丙3人中能进入项目的人数为，求的分布列与数学期望． 18．（17分）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 19．（17分）某商场为了回馈新老客户，举办消费抽奖活动，其规则如下：现有甲，乙两个抽奖箱，在甲抽奖箱内共放有个红色小球和4个黄色小球，乙抽奖箱内共放有个红色小球和3个黄色小球，抽奖者先从甲抽奖箱内随机摸出1个小球放入乙抽奖箱内，然后把乙抽奖箱内的小球重新搅拌均匀后，再从乙抽奖箱内随机摸出1个小球，即完成一次抽奖，若抽奖者从乙抽奖箱内摸出的小球为红色，则该抽奖者中奖，当上一个人抽奖结束后，需要将2个抽奖箱内的小球复原并搅拌均匀，下一个人再进行抽奖，每人只能完成一次抽奖.所有小球的外观质地都相同，其中. (1)设. ①若某抽奖者中奖，求该抽奖者从甲抽奖箱内摸出的小球为红色的概率； ②若有216人依次抽奖，求这216人抽奖全部结束后中奖人数的数学期望. (2)试问当为何值时，抽奖者的中奖概率最大？并求抽奖者中奖的最大概率. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $