第五章 数列（高效培优单元自测·强化卷）数学人教B版选择性必修第三册

第五章 数列（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．数列的第6项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一项： 第二项： 第三项： 第四项： 所以通项公式为：，则第六项为：. 故选：A 2．数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，因为，所以解得， 所以数列的前3项为负，第四项起为正， 的最小值为. 故选：B 3．在等差数列中，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由等差数列的性质得，则， 又，所以． 故选：D. 4．观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（     ）. A．； B． C．； D． 【答案】C 【详解】注意到， 则可猜想：，AD错误， 或，B错误C正确. 故选：C 5．已知正项等比数列，满足，若存在两项，使得，则的最小值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】由等比数列性质可得：，又因为正项等比数列，所以， 又因为，所以，即公比， 所以正项等比数列的通项公式为：， 再由，可得， 则， 当且仅当取等号， 故选：D 6．已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当且仅当时最大， 所以，即， 所以， 故选：C. 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：，称为卡西尼恒等式，根据卡西尼恒等式，（    ） A．1 B．-1 C．2026 D．2027 【答案】A 【详解】由得， 当为偶数时，；当为奇数时，， 所以. 故选：A. 8．在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．25 B．27 C．29 D．31 【答案】D 【详解】设的公比为，由， 则， 由， 所以，所以， 令，则， 记， 当为偶数时，， 无正整数解； 当为大于2的奇数时， ，由 ， 解得，又为奇数，所以的最小值为31， 故选：D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的前项和公式为， 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确， 当时，是关于的二次函数，且该二次函数的图象过原点， 则是过原点的抛物线上的点，所以选项A、D正确． 故选：ABD． 10．记是公差为的等差数列的前项和，已知，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D．对于任意正整数， 【答案】ACD 【详解】由题知，，可得， 即，， 又，令，得，， 解得，所以， 所以，， 所以，，数列是为首项，为公差的等差数列， 所以，， 所以， 因为，所以.故ACD正确. 故选：ACD 11．已知数列均为递增数列，它们的前项和分别为，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由是递增数列，得；又，所以， 所以，所以，故A正确； ，故B不正确； 由是递增数列，得，又， 由可得，即，解得，故C正确； 由，可得，则， 即数列和均为公比为的等比数列， 所以 ， 所以，又，所以， 而， 当时，； 当时，可验证， 所以对于任意的，都有，即，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知数列满足，且，则 . 【答案】2 【详解】因为，且， 则，，，，， 可知数列的一个周期为5，所以. 故答案为：2. 13．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 14．已知等差数列共有10项，前三项的和为6，后3项的和为，则的通项公式 ; 记，则的最大值为 . 【答案】 64 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，即，解得， 所以的通项公式为， 则， 则 ，其中，， 因为，且，所以当或时，取得最大值， 此时取得最大值为. 故答案为：；. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1)； (2)30 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 16．（15分）已知等比数列的各项均为正数，满足：，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为是与的等差中项，所以，即， 设的公比为，则，即，解得或（舍）， 因为，所以，即，解得， 所以. （2） . ， . 17．（15分）设数列的前项和为，，且，. (1)求； (2)求最小的正整数，使得. 【答案】(1) (2)6 【分析】 【详解】（1）由题意，， 用累加法可得 利用等比数列求和公式得 而当时，，满足上式. 故，化简得 故. （2）因为，所以. 利用等比数列求和公式得 . 由于，因此随着的增大，也增大. 当时，. 当时，. 因此当时，.所以整数的最小值为，使得. 18．（17分）记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若等差数列满足，，，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，可知是公比为2的等比数列，故， 当时，，，故 由得，又，所以， 故； （2）记的公差为，由可知， 由得，即， 整理得，即，解得或， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 故的通项公式为.所以. 当时，， , 两式相减，得到. 又注意到时，. 故. 19．（17分）已知正项数列的前项和为，满足，. (1)证明：数列为等差数列； (2)已知，求数列的前项的和； (3)已知，在数列中是否存在不同的三项，使这三项依次成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）因为 当时， 所以. 又，有，又， 所以，所以， 因为，所以， 又，可知，. 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可得，. 当为偶数时，. 当为奇数时，. ∴ （3）假设存在不同的三项，，依次成等差数列，不妨设 则有，∴ 两边同除以，可得. 又为偶数，为偶数，为奇数， ∴不可能成立. 假设不成立，即不存在不同的三项，使这三项成等差数列. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 数列（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．数列的第6项是（    ） A． B． C． D． 2．数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（     ）. A．； B． C．； D． 5．已知正项等比数列，满足，若存在两项，使得，则的最小值为（   ） A． B．2 C．1 D． 6．已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：，称为卡西尼恒等式，根据卡西尼恒等式，（    ） A．1 B．-1 C．2026 D．2027 8．在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．25 B．27 C．29 D．31 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（   ） A． B． C． D． 10．记是公差为的等差数列的前项和，已知，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D．对于任意正整数， 11．已知数列均为递增数列，它们的前项和分别为，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知数列满足，且，则 . 13．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 14．已知等差数列共有10项，前三项的和为6，后3项的和为，则的通项公式 ; 记，则的最大值为 . 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 16．（15分）已知等比数列的各项均为正数，满足：，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．（15分）设数列的前项和为，，且，. (1)求； (2)求最小的正整数，使得. 18．（17分）记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若等差数列满足，，，求的前项和. 19．（17分）已知正项数列的前项和为，满足，. (1)证明：数列为等差数列； (2)已知，求数列的前项的和； (3)已知，在数列中是否存在不同的三项，使这三项依次成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $