1.2 二次根式的性质讲义（知识梳理+2题型突破）2025-2026学年 浙教版八年级数学下册

1.2 二次根式的性质 基础知识梳理 1. 二次根式的核心性质 （1）双重非负性 对于二次根式 ，有： 即：被开方数 非负，二次根式的值也非负。 （2）平方与开方的互逆性 性质1：， 性质2： （3）积与商的开方性质 积的开方：， 商的开方：， 2. 最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 典例精讲 典例1：利用二次根式的性质化简 题目：化简下列各式： (1) ；(2) ；(3) ，。 变式1 化简下列各式： (1) ；(2) ；(3) ，。 典例2：最简二次根式的判断 题目：下列二次根式中，哪些是最简二次根式？ (1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 变式2 下列二次根式中，一定是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 典例3：化为最简二次根式 题目：将下列二次根式化为最简二次根式： (1) ；(2) ；(3) ，。 变式3 将下列二次根式化为最简二次根式： (1) ；(2) ；(3) ，。 典例4：已知最简二次根式求参数 题目：若 与 是同类最简二次根式，求 的值。 变式4 若 与 是同类最简二次根式，求 的最小正整数值。 【核心技巧】 · 化简 ：牢记 ，先写成绝对值，再根据 的正负去绝对值。 · 化简 或 ：利用积、商的开方性质，将能开得尽方的因数/因式移出根号。 · 化为最简二次根式： a. 若被开方数是分数，先进行分母有理化； b. 分解被开方数，将所有能开得尽方的因数/因式移出根号。 【易错提醒】 · 误区1：混淆 与 。 · ，前提是 ； · ，对任意实数 都成立。 · 误区2：在化简 时，直接写成 。正确的是 。 · 误区3：忽略被开方数非负的前提。在使用 时，必须保证 且 。 题型一 最简二次根式 1．（2025秋•衡阳期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•张家口期末）若（ㅤㅤ），则“（ㅤㅤ）”内的最简二次根式是　 　． 3．（2025春•丰宁县期末）若是最简二次根式，则整数m的最小值为　 　 ． 4．（2025春•宿城区校级月考）二次根式，，，，中是最简二次根式的是 　 　． 题型二 二次根式的性质与化简 1．（2025秋•仁寿县期末）化简的结果是（　　） A．2 B．±2 C． D．± 2．（2025•雁峰区校级自主招生）若3﹣x成立，则x满足的条件是（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 3．（2025•四川校级模拟）若1＜x＜2，则|x﹣3|的值为（　　） A．2x﹣4 B．2 C．4﹣2x D．﹣2 4．（2025春•望花区期末）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b 5．（2025秋•醴陵市期末）化简　 　． 6．（2025•克什克腾旗一模）若x3，则的值为　 　． 7．（2025春•云梦县期中）我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则n＝ 　 　． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 9．（2025秋•金水区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，若6，求a的值． 10．（2025秋•福州校级期末）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|， 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去） 所以，a的取值范围是1≤a≤3 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当2≤a≤5时，化简：　 　 ； （2）若等式4成立，则a的取值范围是　 　 ； （3）若8，求a的取值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 二次根式的性质 基础知识梳理 1. 二次根式的核心性质 （1）双重非负性 对于二次根式 ，有： 即：被开方数 非负，二次根式的值也非负。 （2）平方与开方的互逆性 性质1：， 性质2： （3）积与商的开方性质 积的开方：， 商的开方：， 2. 最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 典例精讲 典例1：利用二次根式的性质化简 题目：化简下列各式： (1) ；(2) ；(3) ，。 【解析】(1) 利用性质1： ，， (2) 利用性质2： ，= |-5| = 5 (3) 利用性质2： ，已知 ，所以 ， = |2a| = 2|a| = -2a 【答案】(1) ；(2) ；(3) 。 变式1 化简下列各式： (1) ；(2) ；(3) ，。 【解析】(1) 利用性质1： = 0.5 (2) 利用性质2，因为 ，所以 ， = (3) 利用性质2，因为 ，所以 ，： = |m - 1| = m - 1 【答案】(1) ；(2) ；(3) 。 典例2：最简二次根式的判断 题目：下列二次根式中，哪些是最简二次根式？ (1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 【解析】判断最简二次根式的两个条件：①不含分母；②不含能开得尽方的因数/因式。 (1) ，被开方数含能开得尽方的因数 ，不是最简。 (2) ，被开方数是分数，含分母，不是最简。 (3) ，被开方数 不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简。 (4) ，被开方数 不含分母，且 不能再分解出完全平方因式，是最简。 【答案】(3)、(4) 是最简二次根式；(1)、(2) 不是。 变式2 下列二次根式中，一定是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【解析】A：，不是最简。 B：，被开方数是小数，含分母，不是最简。 C： 不含分母，且不能分解出完全平方因式，一定是最简。 D：，不是最简。 【答案】C。 典例3：化为最简二次根式 题目：将下列二次根式化为最简二次根式： (1) ；(2) ；(3) ，。 【解析】(1) 分解被开方数，将能开得尽方的因数移出： (2) 分母有理化，使被开方数不含分母： (3) 分解被开方数，将能开得尽方的因式移出，注意 ： = = · = 2x 【答案】(1) ；(2) ；(3) 。 变式3 将下列二次根式化为最简二次根式： (1) ；(2) ；(3) ，。 【解析】(1) (2) (3) 【答案】(1) ；(2) ；(3) 。 典例4：已知最简二次根式求参数 题目：若 与 是同类最简二次根式，求 的值。 【解析】同类最简二次根式的定义是：化为最简二次根式后，被开方数相同。 因为 已是最简，所以 也必须是最简，且被开方数 。 2a - 1 = = 4 ，a = 2 【答案】。 变式4 若 与 是同类最简二次根式，求 的最小正整数值。 【解析】根据同类最简二次根式的定义，被开方数必须相等： 5a - 3 = 2 ， 5a = 5 ， a = 1 是正整数，满足条件。 【答案】 的最小正整数值为 。 【核心技巧】 · 化简 ：牢记 ，先写成绝对值，再根据 的正负去绝对值。 · 化简 或 ：利用积、商的开方性质，将能开得尽方的因数/因式移出根号。 · 化为最简二次根式： a. 若被开方数是分数，先进行分母有理化； b. 分解被开方数，将所有能开得尽方的因数/因式移出根号。 【易错提醒】 · 误区1：混淆 与 。 · ，前提是 ； · ，对任意实数 都成立。 · 误区2：在化简 时，直接写成 。正确的是 。 · 误区3：忽略被开方数非负的前提。在使用 时，必须保证 且 。 题型一 最简二次根式 1．（2025秋•衡阳期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数． 【解答】解：是最简二次根式，符合题意； ，不是最简二次根式，不符合题意； ，被开方数为分数，不是最简二次根式，不符合题意； ，含平方因数4，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．（2025秋•张家口期末）若（ㅤㅤ），则“（ㅤㅤ）”内的最简二次根式是　　 ． 【答案】． 【分析】最简二次根式，用除以即可求解． 【解答】解：根据题意可知，“（　　）”内的最简二次根式是． 故答案为：． 3．（2025春•丰宁县期末）若是最简二次根式，则整数m的最小值为　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【解答】解：根据二次根式的定义可得：3m﹣6≥0， ∴m≥2， ∵m为整数， ∴当m＝2时，，不符合题意； 当m＝3时，，符合题意； 故答案为：3． 4．（2025春•宿城区校级月考）二次根式，，，，中是最简二次根式的是 　　 ． 【答案】． 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：2，5，3，2， ∴二次根式，，，，中是最简二次根式的是， 故答案为：． 题型二 二次根式的性质与化简 1．（2025秋•仁寿县期末）化简的结果是（　　） A．2 B．±2 C． D．± 【答案】A 【分析】结合二次根式的性质进行求解即可． 【解答】解：2． 故选：A． 2．（2025•雁峰区校级自主招生）若3﹣x成立，则x满足的条件是（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质得到|3﹣x|＝3﹣x，利用绝对值的意义得到3﹣x≥0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵|3﹣x|＝3﹣x， ∴3﹣x≥0，解得x≤3． 故选：B． 3．（2025•四川校级模拟）若1＜x＜2，则|x﹣3|的值为（　　） A．2x﹣4 B．2 C．4﹣2x D．﹣2 【答案】B 【分析】根据题意确定x﹣3和x﹣1的符号，根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣3＜0，x﹣1＞0， 则|x﹣3| ＝3﹣x+x﹣1 ＝2， 故选：B． 4．（2025春•望花区期末）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b 【答案】B 【分析】先根据数轴得到b＜c＜0＜a，|a|＜|b|，则a+b＜0，a﹣c＞0，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【解答】解：由数轴可知a+b＜0，a﹣c＞0， ∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣c） ＝﹣c﹣a﹣b﹣a+c ＝﹣2a﹣b， 故选：B． 5．（2025秋•醴陵市期末）化简　2025　 ． 【答案】2025 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【解答】解：原式＝|﹣2025|＝2025， 故答案为：2025． 6．（2025•克什克腾旗一模）若x3，则的值为　1　 ． 【答案】1 【分析】先将被开方数分解因式，再把x代入二次根式，运用平方差公式进行计算． 【解答】解：∵x3， ∴ 1． 7．（2025春•云梦县期中）我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则n＝ 　80　 ． 【答案】80． 【分析】根据已知条件中的等式，找出规律，然后按照此规律，求出n即可． 【解答】解：∵①； ②； ③； ...， ∴第k个式子为：， ∵， ∴k+1＝9， 解得：k＝8， ∴n＝（8+1）2﹣1 ＝92﹣1 ＝81﹣1 ＝80， 故答案为：80． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【分析】根据数轴上点的位置判断出a+1，b﹣1，a﹣b的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：﹣1＜a＜0＜b＜1， ∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0， 则原式＝|a+1|﹣|b﹣1|﹣|a﹣b|＝a+1+b﹣1+a﹣b＝2a． 9．（2025秋•金水区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，若6，求a的值． 【分析】直接利用三角形三边关系得出a+c﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0，进而化简二次根式求出答案． 【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边， ∴a+c﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0， 则a﹣b+c﹣（c﹣a﹣b）＝6， 整理得：2a＝6， 解得：a＝3． 10．（2025秋•福州校级期末）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|， 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去） 所以，a的取值范围是1≤a≤3 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当2≤a≤5时，化简：　3　 ； （2）若等式4成立，则a的取值范围是　3≤a≤7　 ； （3）若8，求a的取值． 【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； 【解答】解：（1）∵2≤a≤5， ∴a﹣2≥0，a﹣5≤0， ∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5| ＝a﹣2﹣（a﹣5） ＝3； （2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4， 当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0， ∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4， ∴a＝3，符合题意； 当3＜a＜7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7＜0， ∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4， ∴4＝4，故3＜a＜7符合题意； 当a≥7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7≥0， ∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4， ∴a＝7，符合题意； 综上所述，3≤a≤7； （3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8， 当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0， ∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8， ∴a＝﹣2，符合题意； 当﹣1＜a＜5时， ∴a+1＞0，a﹣5＜0， ∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8， ∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意； 当a≥5时， ∴a+1＞0，a﹣5≥0， ∴a+1+a﹣5＝8， ∴a＝6，符合题意； 综上所述，a＝﹣2或a＝6； 故答案为：（1）3；（2）3≤a≤7 学科网（北京）股份有限公司 $