1.1 二次根式的意义讲义（知识梳理+4题型突破）2025-2026学年 浙教版八年级数学下册

1.1 二次根式的意义 基础知识梳理 1. 二次根式的定义 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，其中 叫做被开方数。 注意： 根指数为 （通常省略不写）； 被开方数 必须满足 ，否则二次根式无意义； 二次根式 的值本身也是非负数，即 （）。 2. 二次根式有意义的条件 要使二次根式 有意义，必须满足： 注意： 若式子中含有多个二次根式，则每个被开方数都必须非负； 若二次根式在分母中，则被开方数必须大于 （分母不能为 ）。 3. 二次根式的值 当 时， 表示 的算术平方根，因此： 特别地，常见的非负数形式： 绝对值： 平方数： 二次根式：（） 若几个非负数的和为 ，则每个非负数都等于 。 典例精讲 典例1：二次根式的识别 题目：下列式子中，哪些是二次根式？ (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 。 变式1 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 典例2：求二次根式中的参数 题目：若 是二次根式，求 的取值范围。 变式2 若 是二次根式，求 的最小整数值。 典例3：二次根式有意义的条件 题目：求使式子 有意义的 的取值范围。 变式3 求使式子 有意义的 的取值范围。 典例4：求二次根式的值 题目：已知 ，求 的值。 变式4 已知 ，求 的值。 【技巧总结】 · 判断二次根式：先看根指数是否为 ，再看被开方数是否非负。 · 求参数范围：根据“被开方数非负”列不等式（组）求解；若在分母中，还需满足分母不为 。 · 非负数和为0：若 ，则 ，，。 【易错提醒】 · 误区1：认为 中 必须是正数。实际上 时， 也是二次根式。 · 误区2：忽略分母不为 的条件。如 中， 必须大于 ，而不是大于等于 。 · 误区3：在 中直接写成 。正确的是 ，需根据 的正负去绝对值。 题型一 二次根式的定义 1．（2025秋•江北区校级期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2025春•襄阳期末）请任意写一个二次根式：　 　 ． 题型二 二次根式有意义的条件 1．（2025秋•玉田县期末）在二次根式中，a的取值可以是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2 2．（2025秋•西固区校级期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0 3．（2025秋•金山区校级期末）若二次根式有意义，则实数x满足的条件是　 　 ． 题型三 二次根式求值 1．（2025春•汉阴县校级期末）当x＝12时，二次根式的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025春•鹿城区校级月考）当x＝　 　时，二次根式的值为0． 3．（2025春•游仙区月考）当x分别取下列值时，求二次根式的值． （1）x＝0； （2）x； （3）x＝﹣2． 题型四 根据二次根式求参数 1．（2025春•龙沙区期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025春•海淀区校级期中）若是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是　 　 ． 3．（2025春•温州期中）已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 二次根式的意义 基础知识梳理 1. 二次根式的定义 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，其中 叫做被开方数。 注意： 根指数为 （通常省略不写）； 被开方数 必须满足 ，否则二次根式无意义； 二次根式 的值本身也是非负数，即 （）。 2. 二次根式有意义的条件 要使二次根式 有意义，必须满足： 注意： 若式子中含有多个二次根式，则每个被开方数都必须非负； 若二次根式在分母中，则被开方数必须大于 （分母不能为 ）。 3. 二次根式的值 当 时， 表示 的算术平方根，因此： 特别地，常见的非负数形式： 绝对值： 平方数： 二次根式：（） 若几个非负数的和为 ，则每个非负数都等于 。 典例精讲 典例1：二次根式的识别 题目：下列式子中，哪些是二次根式？ (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 。 【解析】判断二次根式的两个关键：①根指数为 ；②被开方数非负。 (1) ：根指数为 ，被开方数 ，是二次根式。 (2) ：被开方数 ，无意义，不是二次根式。 (3) ：根指数为 ，是三次根式，不是二次根式。 (4) ：根指数为 ，且 ，故 ，是二次根式。 (5) ：根指数为 ，但被开方数 的符号取决于 的值，只有当 时才是二次根式。 【答案】(1)、(4) 是二次根式；(2)、(3) 不是二次根式；(5) 不一定是二次根式（需满足 ）。 变式1 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【解析】A：被开方数 ，无意义，不是二次根式。 B：被开方数 的符号取决于 ，当 时，，不是二次根式。 C：被开方数 ，当 时，，不是二次根式。 D：，故 ，一定是二次根式。 【答案】D。 典例2：求二次根式中的参数 题目：若 是二次根式，求 的取值范围。 【解析】要使 是二次根式，被开方数必须非负： 解得： 【答案】。 变式2 若 是二次根式，求 的最小整数值。 【解析】要使 是二次根式，被开方数必须非负： ， 大于 的最小整数是 。 【答案】 的最小整数值为 。 典例3：二次根式有意义的条件 题目：求使式子 有意义的 的取值范围。 【解析】式子有意义需同时满足两个条件： 二次根式的被开方数非负：； 分母不为 ：。 综合两个条件， 的取值范围是： 且 【答案】 且 。 变式3 求使式子 有意义的 的取值范围。 【解析】要使式子有意义，被开方数 必须非负，且分母不为 ： 解得： 【答案】。 典例4：求二次根式的值 题目：已知 ，求 的值。 【解析】要使 和 同时有意义，必须满足： 解得 。 将 代入原式： 计算 ： 【答案】。 变式4 已知 ，求 的值。 【解析】 和 都是非负数，它们的和为 ，则每一项都为 ： 解得 ，。 代入计算： 【答案】。 【技巧总结】 · 判断二次根式：先看根指数是否为 ，再看被开方数是否非负。 · 求参数范围：根据“被开方数非负”列不等式（组）求解；若在分母中，还需满足分母不为 。 · 非负数和为0：若 ，则 ，，。 【易错提醒】 · 误区1：认为 中 必须是正数。实际上 时， 也是二次根式。 · 误区2：忽略分母不为 的条件。如 中， 必须大于 ，而不是大于等于 。 · 误区3：在 中直接写成 。正确的是 ，需根据 的正负去绝对值。 题型一 二次根式的定义 1．（2025秋•江北区校级期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义逐项分析即可． 【解答】解：A、﹣3＜0，则该式子不是二次根式，不符合题意； B、该式子符合二次根式的定义，符合题意； C、当a+3＜0时，该式子不是二次根式，不符合题意； D、该式子是开3次方，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案． 【解答】解：，，是二次根式，共3个． 故选：B． 3．（2025春•襄阳期末）请任意写一个二次根式：　（答案不唯一）　 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据二次根式的定义即可求解． 【解答】解：由题意得，一个二次根式可写为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 题型二 二次根式有意义的条件 1．（2025秋•玉田县期末）在二次根式中，a的取值可以是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数必须为非负数，进行判定即可． 【解答】解：根据题意可知，a≥0， ∴a的取值可以是2， 而选项A、B、C均为负数，不满足条件． 故选：D． 2．（2025秋•西固区校级期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0 【答案】D 【分析】根据分式、二次根式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， ∴x≥﹣2且x≠0， 故选：D． 3．（2025秋•金山区校级期末）若二次根式有意义，则实数x满足的条件是x≥﹣4.5　 ． 【答案】x≥﹣4.5． 【分析】根据二次根式（a≥0）可得：2x+9≥0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：2x+9≥0， 解得：x≥﹣4.5， 故答案为：x≥﹣4.5． 题型三 二次根式求值 1．（2025春•汉阴县校级期末）当x＝12时，二次根式的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝12时，3． 故选：C． 2．（2025春•鹿城区校级月考）当x＝　2　 时，二次根式的值为0． 【答案】2． 【分析】根据题意易得：x﹣2＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：当x﹣2＝0，即x＝2时，二次根式的值为0， 故答案为：2． 3．（2025春•游仙区月考）当x分别取下列值时，求二次根式的值． （1）x＝0； （2）x； （3）x＝﹣2． 【分析】直接将（1）x＝0；（2）x；（3）x＝﹣2；代入二次根式求出即可，注意开方时容易出错． 【解答】解：（1）把x＝0，代入二次根式3； （2）把x，代入二次根式； （3）把x＝﹣2，代入二次根式5． 题型四 根据二次根式求参数 1．（2025春•龙沙区期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【解答】解：2， ∵是整数， ∴n的最小值是5， 故选：D． 2．（2025春•海淀区校级期中）若是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是　10　 ． 【答案】10． 【分析】先根据算术平方根的非负性得到10﹣a≥0，即可求出a的取值范围，再根据是有理数得到10﹣a是完全平方数，即可求解． 【解答】解：根据算术平方根的非负性可得，10﹣a≥0， 解得：a≤10， 由条件可知正整数a＝10或9或6或1， 则满足条件的最大正整数a的值是10， 故答案为：10． 3．（2025春•温州期中）已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为　3　 ． 【答案】3． 【分析】先化简二次根式，再根据题意求出n的最小值即可． 【解答】解：， ∵二次根式的值是正整数，其中n为整数， ∴n的最小值为3， 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司 $