专题8.3.3 向量数量积与夹角的坐标表示 （4大知识点+8大题型+强化训练）提升讲义-2025-2026学年高一数学寒假班预修（沪教版必修第二册)

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题8.3.3 向量数量积与夹角的坐标表示 知识点一、向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 知识点二、向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 知识点三、向量夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. 知识点四、向量垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 题型一 向量数量积的坐标表示 【例1】1.已知向量，，则 . 【答案】 【解析】由题意可得：， 所以， 故答案为： 2.已知，，且，则 ． 【答案】1 【解析】,解得， 故答案为:1. 【跟踪训练】 1.已知向量，则（    ） A．12 B． C．17 D． 【答案】C 【分析】根据向量加法和数量积的坐标公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C 2.已知向量，，则（    ）． A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求得的坐标.再根据向量数量积的坐标运算法则，求得的值. 【详解】由题可知:,即，所以. ,即,所以. 所以． 故选：B. 3．已知向量，，若，则实数 . 【答案】 【解析】由，，，得， 所以. 故答案为：2 4.已知向量，，，则 ． 【答案】 【解析】因为向量，， 则， 所以，，解得. 故答案为：. 题型二 向量夹角的坐标表示 【例2】已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量夹角公式的坐标表示即可得解. 【解答过程】因为，， 所以，，， 所以， 又，所以. 故选：D. 【例3】已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为与夹角为钝角， 可以得出，解得：， 且不平行，则， 即且，即. 故答案为： 【跟踪训练】 1.若向量，，则与的夹角为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积和模长的坐标表示、向量的夹角的余弦值公式计算即可. 【详解】，，， 所以，而 所以与的夹角为. 故选：. 2.若平面向量与的夹角是，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得且，利用向量的模长公式即可求解． 【详解】平面向量与的夹角是，和是相反向量， 存在且使，， 又，， ，则,． 故选：A． 3.已知，，，则 ． 【答案】 【分析】首先表示出，，利用夹角公式求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 又，所以，即， 所以. 故答案为： 4.若向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得，且与不共线，从而可求出的取值范围 【详解】因为向量，，且与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 由，得，解得， 若与共线，则，得，所以当时，与不共线， 综上，且， 即的取值范围为， 故答案为： 5.已知，且． (1)求的值； (2)求向量与向量夹角的余弦值． 【解析】（1）因为， 所以． 因为，所以，所以． （2）由（1）知，又，所以， 设与的夹角为，则． 6.已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由平面向量的数量积坐标表示求解即可； （2）由，的夹角为锐角，则，且，不共线，建立不等式组求解即可. 【解答过程】（1）若，则，，所以 所以. （2）向量，， 若，的夹角为锐角，则，且，不共线， 故，所以的取值范围为. 题型三 向量数量积有关的模长问题 【例4】已知向量与的夹角为，则等于 ． 【答案】 【解析】由，得，又， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 【跟踪训练】 1.已知向量，，若，则 ． 【答案】 【分析】由平面向量垂直坐标运算可得，再计算，进而可得. 【详解】因为，所以， 又，，所以，解得， 则，， 所以. 故答案为： 2.已知平面向量满足，则 ． 【答案】 【解析】， ， ， 所以， 故答案为： 3.已知向量，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】因为， 所以， 则. 当时，的最小值为. 故答案为：. 题型四 投影向量的坐标运算 【例5】已知向量和，则在方向上的投影是 . 【答案】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】向量和，则有，， 所以在方向上的投影是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知向量， 向量， 则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算求，再结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为，，则， 所以在上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 2.已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 【答案】 【解析】由得，， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：． 3.已知，向量在上的投影向量为，则向量与的夹角为 ． 【答案】/30° 【分析】根据投影向量的公式求出向量、夹角的余弦值，从而可求其夹角的大小． 【详解】向量在上的投影向量为， 则由题可知， 又，则， ∵． 故答案为： 题型五 向量垂直的坐标表示 【例6】设向量，若，则 ． 【答案】 【分析】由两向量垂直公式即可得到答案. 【详解】，， ，. 故答案为：. 【例7】已知向量，若，则实数（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】先根据平面向量线性运算的坐标表示求出，再根据平面向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 即，解得. 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知平面向量，，满足，则实数 . 【答案】 【分析】根据两向量垂直的关系得，利用向量坐标运算即可求. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为： 2.已知向量，满足，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标运算公式进行计算即可. 【详解】因为向量，满足， 所以，解得. 故答案为： 3.若向量，，，则实数（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据平面向量坐标的线性运算可得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算列方程即可解得实数的值. 【详解】因为向量，， 所以， 由，可得， 故选：B． 4.若向量，，，则实数（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据平面向量坐标的线性运算可得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算列方程即可解得实数的值. 【详解】因为向量，， 所以， 由，可得， 故选：B． 5.向量，，，若，则k的值是（    ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 【答案】D 【分析】运用向量的坐标运算公式和向量垂直的坐标表示，可直接求出的值. 【详解】向量，，则 因为， 所以， 故选：D 题型六 向量的坐标表示的几何应用 【例8】如图，在直角梯形中，，点在边上，且，则 ．    【答案】/0.5 【解析】 依题意，以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系. 则，设点，则， 于是，解得， 即. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】先通过已知求出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解即可. 【解答过程】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以，解得，所以， 又，所以，所以，， 所以． 故选：C． 2.在平面四边形ABCD中，18．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）如图，在平面凸四边形中，，则 ．    【答案】17 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系， 因为， 所以点的坐标分别为，，， 过点作，垂足为， 因为， 所以点也是的中点， 因此， 所以由勾股定理可得， 因此点的坐标为， 所以. 故答案为：    题型七 应用坐标法解决向量数量积的最值和范围问题 【例9】如图，在梯形中，，，，，，分别为边AB，BC上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则.设，，其中，，且 ，，得. 因为，所以， 又因为，所以，则， 当且仅当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点在内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： 2.北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．    【答案】3 【分析】根据正六边形的性质建立合适的平面直角坐标系，将向量用坐标表示出来，再通过向量数量积的坐标运算公式进行计算，最后根据点的位置确定数量积的最大值. 【详解】因为正六边形的边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.    根据正六边形的性质可知：，，. 根据向量坐标运算，可得. 因为是正六边形内部一点（包含边界），设，那么. 所以. 由正六边形的性质可知，点在正六边形内部（包含边界），的最大值在点处取得，此时.代入，可得的最大值为. 故答案为：3. 3.在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为 ． 【答案】12 【分析】先建立平面直角坐标系，写出的坐标表示，再进行数量积运算，由算式判断最大值. 【详解】过作的垂线，垂足分别为， ，则， 以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 等腰梯形ABCD中，，，，， 则有，，所以，， 设，，则， 令，得，，则， 有，当时取到等号. 所以的最大值为12. 故答案为：12. 4.在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【解析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 题型八 解答综合题 【例10】已知向量，在下列条件下分别求k的值： (1)与平行； (2)与垂直； (3)与夹角为. 【答案】(1) (2)0 (3) 【解题思路】（1）首先求出与，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解； （3）首先利用向量数量积的坐标运算求出，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可； 【解答过程】（1）解：因为，，所以，， 又与平行， 所以，解得； （2），， 因为与垂直， 所以， 解得：； （3）因为，， 所以， 因为与夹角为，所以， 即， 解得． 【例11】在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. (1)若，，三点共线，求的值； (2)若向量与的夹角为，求的值； (3)若四边形为矩形，求点坐标. 【解析】（1）向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； （2）， 解得， （3）设， 由，， ， ， 若四边形为矩形，则， 即，解得； 由，得， 解得， 故 【跟踪训练】 1.已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以. （2）因为，且， 所以，解得. （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 2.如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，由向量的线性运算可得，结合，列方程组求解即得； （2）由题意可得为等边三角形，以为坐标原点建系，设，表示出相关向量，利用向量数量积的坐标公式代入，计算即得. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，解得. （2）由四边形为菱形，，为等边三角形， 以为坐标原点，以为轴建立如图所示平面直角坐标系， 设，则， 则， 则， 由，可得， 解得， 又，则， 即实数的取值范围为． 一、选择题 1.已知向量，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得. 【解答过程】由，可得， 则. 故选：D. 2.已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量夹角公式的坐标表示即可得解. 【解答过程】因为，， 所以，，， 所以， 又，所以. 故选：D. 3．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，解得. 故选：C. 4．已知向量满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得，，结合模长的平方关系运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，则， 所以. 故选：B. 5. 已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，建立平面直角坐标系，设和，利用向量的数量积的坐标运算公式，得到，即可求解. 【详解】以点为原点，以和所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，， 可得，则． 故选C． 二、填空题 6.已知，，，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】先根据平面向量的加法得出，再根据平面向量的数量积公式计算求参数. 【详解】由，，得， 因为， 所以，即，解得或． 故答案为：或. 7.已知向量，则_______ 【分析】根据向量加法和数量积的坐标公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 8.已知向量，，则_______ 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求得的坐标.再根据向量数量积的坐标运算法则，求得的值. 【详解】由题可知:,即，所以. ,即,所以. 所以． 9.向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由向量夹角为钝角可得且，由向量坐标运算可构造不等式求得结果. 【详解】夹角为钝角，且， 解得：且，的取值范围为. 故答案为：. 10.已知向量，若与的夹角为锐角，其中，则的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】由与的夹角为锐角，得到，求得，再由向量与共线时，求得，即可得到答案. 【详解】由向量，可得且， 则， 因为与的夹角为锐角， 可得，即，解得 当与共线时，可得，所以，解得， 所以且，即实数的取值范围为. 故答案为：. 11.已知，，则 ． 【答案】 【分析】先根据向量的加法坐标运算求出，再根据向量的模计算公式即可求解. 【详解】， ． 故答案为：. 12．已知向量，，且，则_______ 【分析】将垂直转化为数量积为零计算即可. 【详解】，， ， 13．已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为 ．. 【答案】 【分析】根据投影向量公式计算求解. 【详解】，在方向上投影向量的坐标为． 故答案为：. 14．已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】由公式求出投影的数量，在乘与同方向的单位向量得到投影向量. 【详解】在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为：. 15．设向量，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】根据数量投影的概念和公式可解． 【详解】在方向上的数量投影为． 故答案为： 16.在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则________ 【分析】建立平面直角坐标系，求出，利用数量积的坐标公式即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    因为在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则， 所以， 所以. 17.已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是________ 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点得坐标，设，利用向量数量积的坐标运算求出，配方求得取值范围. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为菱形得边长为1，，所以，，， 设，则，，， 所以 ， ，，当且仅当时，取等号， 所以的取值范围是. 故选：A. 18.已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是 . 【答案】9 【分析】在正方形中建立平面直角坐标系，设，结合向量数量积的概念可得结果. 【详解】以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 设， 可得，所以， 故，当时，最大，最大值为9. 故答案为：9. 3、 解答题 19.已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由平面向量的数量积坐标表示求解即可； （2）由，的夹角为锐角，则，且，不共线，建立不等式组求解即可. 【解答过程】（1）若，则，，所以 所以. （2）向量，， 若，的夹角为锐角，则，且，不共线， 故，所以的取值范围为. 20.已知向量， (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示求出m，即可求得，即可求解答案； （2）根据向量平行的坐标表示求出m，再利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【解答过程】（1）由于向量，，故，， 由，得， 即，解得，则， 故， （2）由于向量，，，则， 则，故， 故与夹角的余弦值为. 21.已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【解题思路】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和； （2）由向量平行的坐标表示列方程求参数； （3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【解答过程】（1）由题设，； （2）由题设，又， 所以，则，可得； （3）由（2）及，则，可得. 22.已知向量，在下列条件下分别求k的值： (1)与平行； (2)与垂直； (3)与夹角为. 【答案】(1) (2)0 (3) 【解题思路】（1）首先求出与，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解； （3）首先利用向量数量积的坐标运算求出，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可； 【解答过程】（1）解：因为，，所以，， 又与平行， 所以，解得； （2），， 因为与垂直， 所以， 解得：； （3）因为，， 所以， 因为与夹角为，所以， 即， 解得． 23.已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【解题思路】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和； （2）由向量平行的坐标表示列方程求参数； （3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【解答过程】（1）由题设，； （2）由题设，又， 所以，则，可得； （3） 由（2）及，则，可得. 24.在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点的坐标，借助平行四边形性质列式计算即得. （2）求出直线方程后可设出的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数的性质求解即得. 【详解】（1）设，由，，， 则，， 由四边形是平行四边形，则， 即，解得， 即点的坐标是； （2）由，故直线的方程为，设， 则，， 故 ， 故. 25.在长方形中，，，点，分别为边和上两个动点（含端点），设，． (1)当时，求的取值范围； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，设，用表示出的坐标，进而表示出目标式，换元后利用对勾函数性质求解可得； （2）设，根据已知可得动点的轨迹，然后利用三角代换转化为三角函数最值问题可解. 【详解】（1）以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 设，则，易知， 则，即， 所以， 令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以，即的取值范围为. （2）设，则由题可得， 即，表示以为圆心，为半径的四分之一个圆. 令， 因为，则有 ， 其中， 因为，所以， 所以当时，取得最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题8.3.3 向量数量积与夹角的坐标表示 知识点一、向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 知识点二、向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 知识点三、向量夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. 知识点四、向量垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 题型一 向量数量积的坐标表示 【例1】1.已知向量，，则 . 2.已知，，且，则 ． 【跟踪训练】 1.已知向量，则（    ） A．12 B． C．17 D． 2.已知向量，，则（    ）． A．0 B．2 C． D． 3．已知向量，，若，则实数 . 4.已知向量，，，则 ． 题型二 向量夹角的坐标表示 【例2】已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1.若向量，，则与的夹角为（ ）． A． B． C． D． 2.若平面向量与的夹角是，且，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，，，则 ． 4.若向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为 5.已知，且． (1)求的值； (2)求向量与向量夹角的余弦值． 6.已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，的夹角为锐角，求的取值范围. 题型三 向量数量积有关的模长问题 【例4】已知向量与的夹角为，则等于 ． 【跟踪训练】 1.已知向量，，若，则 ． 2.已知平面向量满足，则 ． 3.已知向量，则的最小值为 ． 题型四 投影向量的坐标运算 【例5】已知向量和，则在方向上的投影是 . 【跟踪训练】 1.已知向量， 向量， 则在上的投影向量的坐标为 . 2.已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 3.已知，向量在上的投影向量为，则向量与的夹角为 ． 题型五 向量垂直的坐标表示 【例6】设向量，若，则 ． 【例7】已知向量，若，则实数（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【跟踪训练】 1.已知平面向量，，满足，则实数 . 2.已知向量，满足，则 . 3.若向量，，，则实数（   ） A． B． C．0 D． 4.若向量，，，则实数（   ） A． B． C．0 D． 5.向量，，，若，则k的值是（    ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 题型六 向量的坐标表示的几何应用 【例8】如图，在直角梯形中，，点在边上，且，则 ．    【跟踪训练】 1.如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 2.在平面四边形ABCD中，18．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）如图，在平面凸四边形中，，则 ．      题型七 应用坐标法解决向量数量积的最值和范围问题 【例9】如图，在梯形中，，，，，，分别为边AB，BC上的动点，且，则的最小值为 . 【跟踪训练】 1.已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为 . 2.北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．    3.在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为 ． 4.在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 题型八 解答综合题 【例10】已知向量，在下列条件下分别求k的值： (1)与平行； (2)与垂直； (3)与夹角为. 【例11】在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. (1)若，，三点共线，求的值； (2)若向量与的夹角为，求的值； (3)若四边形为矩形，求点坐标. 【跟踪训练】 1.已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 2.如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 一、选择题 1.已知向量，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 4．已知向量满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 5. 已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6.已知，，，若，则的值为 ． 7.已知向量，则_______ 8.已知向量，，则_______ 9.向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 10.已知向量，若与的夹角为锐角，其中，则的取值范围是 ． 11.已知，，则 ． 12．已知向量，，且，则_______ 13．已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为 ．. 14．已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 15．设向量，则在方向上的数量投影为 . 16.在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则________ 17.已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是________ 18.已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是 . 3、 解答题 19.已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，的夹角为锐角，求的取值范围. 20.已知向量， (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 21.已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 22.已知向量，在下列条件下分别求k的值： (1)与平行； (2)与垂直； (3)与夹角为. 23.已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 24.在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 25.在长方形中，，，点，分别为边和上两个动点（含端点），设，． (1)当时，求的取值范围； (2)当时，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $