8.3向量数量积与夹角的坐标表示（第4课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 8 章 平面向量 8.3向量数量积与夹角的坐标表示（第4课时） 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) 4 向量数量积与夹角的坐标表示 给定两个坐标表示的向量 与 ，它们的数量积是 　　 因为，是互相垂直的单位向量，所以 ，于是 . 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 新课讲解 我们前面给出过用两个向量的数量积表示两个向量夹角的公式，但当时因为数量积的计算依赖于向量的夹角，那个公式的实际意义没有足够地显示出来．现在，给定两个非零向量与 ，把用坐标表示的模的公式和数量积公式代入原来的向量夹角公式，我们得到 这样，把向量夹角用它们的坐标表示出来，使用上就很方便了． 例７ 已知△ABC中A、B、C三点的坐标分别为（２，－２）、（－２，３）、（３，７），求证：△ABC为直角三角形 所以 ，即△ABC为直角三角形 例６ 已知向量＝（1，2）， ＝（２，－２）．求与 利用坐标形式的向量夹角公式，我们可以得到两个向量垂直和平行的充要条件： 证明 如果 中有零向量，结论是显然的．因此，只要考虑 均不为零向量的情况． （１）根据向量夹角公式 用坐标形式的向量夹角公式，并模仿这里所用的把公式两边同时平方的方法，可以证明一个重要的代数不等式．这是向量工具在代数中应用的一个实例． =1 =0或1，仍根据向量夹角公式 （２） 因为 例８ 已知x１、x２、y１、y２都是实数，求证： 并且等式成立的充要条件是x１y２＝x２y１． 证明 构造向量＝（x１，y１），＝（x２，y２）．如果其中有零向量，那么结论显然成立，从而只要考虑都是非零向量的情况．把坐标形式的向量夹角公式两边同时平方，整理后可得 课本练习 解：∵A、B、C三点的坐标分别为(-2,3)、(0,-1)、(1,k), 随堂检测 14 7.若点A(1,2), B(2,3), C(-2,5), 则△ABC是什么形状？证明你的猜想. x y O C A B 设非零向量与的夹角为，则有: 坐标表示 数量积 模 或 两点间 距离公式 设则 垂直 夹角 课堂小结 $$