8.3向量基本定理（第1课时）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 8 章 平面向量 8.3向量基本定理（第1课时） 学习目标 1.了解平面向量基本定理；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示. 2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示. 平面向量共线定理 若向量(≠ )与共线, 则当且仅当有唯一一个实数λ, 使得=λ. 即 与共线= . (1) 当λ>0时, 与共线同向; (2)当λ<0时, 与共线反向. 复习回顾 ８．３ 向量的坐标表示 我们知道平面上的向量是该平面上一个有大小和方向的量， 我们还知道在平面上可以建立直角坐标系．能否利用平面直角坐标系来研究平面上的向量呢？取定一个平面直角坐标系，就可以把平面上的点与有序实数对（点的坐标）一一对应．如果把向量的起点都放在坐标原点上，那么向量的终点的坐标就完全把这个向量确定了．这样，平面上的点与有序实数对的一一对应就可以转化为平面上的向量与有序实数对的一一对应．这样的对应就是本节要讨论的向量的坐标表示．形式地定义这样的表示并不难，重要的是如何以这样的表示为工具，进一步讨论向量的性质和运算，使我们对向量的相关认识得到升华． 1 向量基本定理 上面我们谈到了通过平面直角坐标系，可以把平面上的向量和有序实数对一一对应起来．下面我们要用向量的语言建立和表述这个一一对应 如图８-３-１，把向量a的起点放在坐标原点O上，设其终点是A（ x， y ）．如前所述，就可以把向量 a 与一个有序实数对（x，y）相对应．这个实数对对于向量a的实际意义是什么呢？ 设分别是轴与轴正方向上的单位向量，把向量在的方向上作投影.其中，分别是点在轴与轴上的投影.显然，而且是一个矩形，是对角线.于是我们把表示成了向量的线性组合： . 这就是上面所述的向量与有序实数对相对应的实际意义. 从这里可以看到另一个事实：给定上面所说的两个向量，平面上的任意一个给定的向量都可以写成的一个线性组合.我们可以更一般地考虑：如果把换成其他两个非零向量，那么平面上任意给定的一个向量是否都是的线性组合呢？ 平面向量的基本定理：如果, 是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量, 有且只有一对实数λ1, λ2,使 λ1+ λ2 . 如果，那么结论显然不成立，因为这时的任意一个线性组合都是与平行的向量，所以不可能表示平面上的所有向量.然而，除了这个例外， 的线性组合确实可以把平面上任意一个向量表示出来.更准确地说，我们有如下定理： 证明 本证明是前面关于把写成的证明的推广.不过，由于所给的不一定互相垂直，因此必须用构建平行四边形的方法来代替做投影. 给定不平行的两个向量和任意一个向量，如图8-3-2（1）所示.从任意给定的一点出发，作向量，如图8-3-2（2）所示.过点作平行于直线的直线，交直线于点，并作平行于直线的直线，交直线于点，则是平行四边形，是其对角线，从而于，因此存在实数使同理，存在实数使.于是， 给定平面上的一组向量 ， 如果平面上的任意向量都可以唯一地表示成这组向量的线性组合 ， 那么就称这组向量是平面向量的一个 基 ． 用这个术语 ， 向量基本定理可以表述成 ： 平面上任意两个不平行的向量都组成平面向量的一个基 ． 下面再证明这个实数对是唯一的，假设还成立，就有 由于不平行，因此，即. 例1 如图8-3-3，在平行四边形中，两条对角线的交点是， 设， .试用的线性组合分别表示 1.如图,分别是平面直角坐标系中轴与轴正方向上的单位向量，点在第一象限内，与坐标原点的距离为，与轴的夹角为，又设是关于轴的对称点.把向量表示成向量的线性组合. 2.已知平行四边形的对角线交于点，且.把向量表示成的线性组合. 3.设为的重心，用向量的线性组合来表示向量. 课本练习 1.若 ， 是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是( ____ ) A. + 和 - B.3 -2 和-6 +4 C. +2 和2 + D. 和 + 【解析】解：在A中，∵ ， 是两不共线的向量， B 随堂检测 ∴ + 和 - 不共线，∴ + 和 - 能作为平面向量的一组基底； 在B中，∵ ， 是两不共线的向量， ∴3 -2 和-2(3 -2 )共线，∴3 -2 和-6 +4 不能作为平面向量的一组基底； 在C中，∵ ， 是两不共线的向量，∴ +2 和2 + 不共线， ∴ +2 和2 + 为平面向量的一组基底； 在D中，∵ ， 是两不共线的向量，