8.3.1 向量基本定理-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2023-2024学年高一数学下学期同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 8.3.1 向量基本定理 班级 姓名 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具； 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 考点一 向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，都可唯一表示为，的线性组合， 即存在唯一的一对实数，，使； 注意：若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底； 理解 1、结论：已知向量，，不共线，则A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1． 2、基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量，同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． 3、基底给定时，分解形式唯一，是被，，唯一确定的数值． 4、{，}是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，； 5、由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量； 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量， 一对实数使 ，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底； 【提示】； 【答案】； 2、如图所示，向量可用向量，表示为 . 【说明】本题考查了平面向量基本定理与与向量加法的几何意义的整合； 3、已知＝＋，＝2－，＝－2＋4 (，是同一平面内的两个不共线向量)，则＝_ ．(用，表示) 【说明】本题考查了平面向量的基本定理及其应用； 4、如图，，不共线，且，用，表示； 【说明】本题主要考查了向量的三角形法则； 5、如图所示，用向量，表示向量为(　 　) A．－4－2 B．－2－4 C. －3 D．3－ 【说明】本题考查了平面向量的基本定理与线性运算的几何意义的结合； 6、已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【说明】本题考查了平面向量基本定理中的基底的概念； 7、已知向量在基底{，}下可以表示为＝2＋3，若a在基底{＋，－}下可表示为＝λ(＋)＋μ(－)，则λ＝________，μ＝________. 【说明】本题考查了对平面向量基本定理的理解；主要考查“基底向量”的非零与不共线的性质； 8、已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是 【说明】本题考查了平面向量基本定理及其应用； 9、设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①与＋；②－2与－2；③－2与4－2；④＋与－； 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 （写出满足条件的序号）． 【说明】本题考查对基底的理解：1、两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；2、一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量与是平面内两个不共线的向量， 若x1＋y1＝x2＋y2，则 特别注意：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样； 10、已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（     ） A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的外心 【说明】本题主要考查了向量的加法法则和运算法则，以及三点共线的充要条件，三角形的五心问题，综合性强； 11、如图，平面内有三个向量，其中与与的夹角为与的夹角为，