2.1 两条直线的位置关系（题型专练）（基础达标11大题型+能力提升4大题型+拓展培优）数学新教材北师大版七年级下册

2.1 两条直线的位置关系 题型一 平面内两直线的位置关系 1．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 2．同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 3．下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有 ．（填序号） 4．将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 5．在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是（    ） A．1个或3个 B．0个或2个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 题型二 对顶角的识别 1．下列各图中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”） 4．如图，直线，相交于点，则图中的对顶角有 ．    5．如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 题型三 对顶角的性质 1．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，轮船B在的反向延长线的方向上，同时轮船在东南方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图是某古城墙的一角，因墙角内设有石雕，无法直接测量墙角的度数，小莉分别延长、至点、，测得，则 ． 5．如图，已知直线相交于点O，，，求的度数．    题型四 求一个角的余角 1．若，则的余角为（    ） A． B． C． D． 2．一个角的度数是，则它的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．若，与互为余角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．乐山地处岷江、青衣江、大渡河中下游，介于北纬与之间，那么角的余角为 5．如图，已知∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=38°19′，求∠AOD的度数． 题型五 求一个角的补角 1．若，则的补角度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知一个角为，则它的补角度数为（   ） A． B． C． D． 3．一个角的补角是，则这个角为 ． 4．若与互补，， 则 ． 5．若一个角的补角比这个角大，求这个角的度数． 题型六 与余角、补角有关的计算 1．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，与互余的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度，则关于与的关系表述正确的是（    ） A．互余 B．互补 C．相等 D．无法判断 3．一副三角板按如图方式摆放，若，则的度数为 ． 4．如图，已知点是直线上一点，，平分，，请写出下列正确结论的序号 ． ①；②；③；④． 5．如图，直线，被直线所截，如果与互补，且，那么，的度数各是多少? 题型七 同（等）角的余（补）角相等的应用 1．若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 2．如图所示的是某交叉路口的示意图．若，则，理由是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 3．如图所示，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（　　） A．同角的余角相等 B．平角的定义 C．对顶角相等 D．同角的补角相等 4．如果与互补，与互补，且，，那么 ． 5．小颖在进行数学探究活动时，将一副直角三角尺如图所示摆放．摆放过程中，小颖惊奇地发现一个有趣的现象：与的度数始终相等．那么，能对这一现象作出合理解释的依据是 ． 题型八 垂线的定义 1．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，于点E，是过点E的直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，从直线上一点O分别引射线，已知，，则的度数是 ． 4．如图，直线与交于点，于点，若，则 ． 5．如图，直线、交于点，，平分，，求的度数． 题型九 画垂线 1．如图，在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 2．如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 3．下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 4．经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢 5．在下列各图中，分别过点P画的垂线． 题型十 垂线段最短 1．体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 2．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 3．如图，要把水渠中的水引到点，在渠岸的（   ）处开沟，才能使沟最短 A．点 B．点 C．点 D．点 4．如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，用几何知识解释其道理正确的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 5．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 题型十一 点到直线的距离 1．如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若， ，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 3．下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，垂足分别是、，那么点到的距离是线段 的长度． 5．如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ． 题型一 相交线与平行线 1．下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 2．若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 3．在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（    ）个． A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．0或1或2或3 4．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 5．观察如图所示的长方体，回答下列问题： （1）用符号表示下列两条棱的位置关系： ；（填“”或“”） （2）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 （填“是”或“不是”）平行线．由此可知，只有在 内，两条不相交的直线才能叫作平行线． 题型二 与对顶角、余角和补角有关的计算 1．如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 2．如图，点O在直线上，平分，若，在同侧，且，则下列说法不一定正确的是（    ） A．与互余 B．与互余 C．与∠互补 D．与互补 3．如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线与交于点O，平分，，，那么 °． 5．已知点是直线上的一点，平分． (1)如图1，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：， ___________． ． ___________． 是直线上的一点． ___________． 平分． ．（理由：___________） ___________． (2)如图2，若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 题型三 同（等）角的余（补）角相等的应用 1．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，家用衣架支杆、交于，若、分别平分，，则下列结论不正确的是（   ） A．与互余 B． C． D． 3．如图，于点，射线在内，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为 ． 5．把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 题型四 与垂线段有关的问题 1．如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 4．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 5．如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 1．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．已知点是直线上一点，射线在直线上方，平分平分，，则下列说法：①；②图中互补的角共有6对；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 5．以直线上一点为端点作射线，使，如图，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．且直角三角板在直线的上方．将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，则此时的度数为 ． 6．如图，A，B，C，D，E是直线l上顺次排列的五个点，点F是直线l外一点，连接．平分交于点M，平分交于点N，连接，且． 下列五个结论： ①图中以F为顶点的角共有10个； ②； ③图中互为余角的角共有5对； ④若，则； ⑤若图中直线l上所有线段之和为62，，则． 其中正确的是 （填写序号）． 7．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）． (1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________； (2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数． 8．数学活动课上，小明将一块直角三角形纸板的直角顶点按如图1放在直线上，三角形纸板绕点在直线上方旋转，射线平分． (1)当三角形纸板绕点旋转到图1的位置时，，求的度数． (2)当三角形纸板绕点旋转过程中，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，当平分时，找出三角形纸板在旋转过程中以为顶点的所有角中度数不变的角（除和平角外），并求出这个角的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.1两条直线的位置关系 相交线与平行线 题型一平面内两直线的位置关系 题型二对打顶角的识别 对顶角 题型三对顶角的性质 题型四求一个角的余角 题型五求一个角的补角 两条直线的位置关系 补角和余角 题型六与余角、补角有关的计算 题型七同（等）角的余 (补)角相等的应用 题型八垂线的定义 题型九画垂线 垂线 题型十垂线段最短 题型十一点到直线的距离 A 基础达标题 题型一平面内两直线的位置关系 1.C 2.2;相交、平行 3.①③④ 4.A 5.D 题型二对顶角的识别 1.D 2.A 3.不是 4.∠A0C与∠B0D,∠A0D与∠C0B 5.解：图中对顶角有：∠AOC与∠BOD;∠A0E与∠BOF;∠D0E与∠COF;∠A0D与∠BOC; ∠EOB与∠AOF;∠DOF与∠COE; 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 共6对. 题型三对顶角的性质 1.B 2.A 3.C 4.140 5.解：∠1=15°，∠B0D=90°， ∴∠B0C=90°， ∠B0E=∠B0C-∠1=90°-15°=75°， ∠2=∠B0E=75°. 题型四求一个角的余角 1.D 2.C 3.A 4.62° 5.141°41 题型五求一个角的补角 1.B 2.C 3.88 4.100 5.解：设这个角为x°，则它的补角为(180-x)°， 依题意得180-x)-x=20, 解得x=80 答：这个角的度数为80°. 题型六与余角、补角有关的计算 1.B 2.A 3.65° 4.①②③ 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.解：“∠1与∠2互补，且∠1=120°， ∠1+∠2=120°+∠2=180°， ∠2=60°， ∠2和∠3是对顶角， ∠2=∠3=60°， ∠1+∠4=180°，∠1=120°， 120°+∠4=180°， ∠4=60°. 题型七同（等）角的余（补）角相等的应用 1.C 2.B 3.A 4.55 5.同角的余角相等 题型八垂线的定义 1.A 2.A 3.42° 4.60° 5.解：：0F平分∠A0E ·∠A0F=∠E0F=号∠AOE, :OE⊥CD, ÷∠C0E=∠D0E=90°， :∠C0F=30°， :∠E0F=90°-30°=60°=∠A0F, ·∠A0C=60°-30°=30°， ÷∠B0D=∠A0C=30°. 题型九画垂线 1.A 2.A 3/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.A 4.解：三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线！重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一 条直角边过点A(或点B),过点A(或点B)沿直角边向己知直线画直线即可，这条直线就是的垂线，在 同一平面内，过一点只能画一条直线的垂线： 量角器画法：将量角器的0·刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使90·刻度线经过已知点， 作出90°刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线： 故经过直线！上一点A,能用三角板或量角器画1的垂线，这样的垂线能画出1条；经过直线外一点B,能用 三角板或量角器画1的垂线，这样的垂线能画出1条 5.解：如图所示： B B 题型十垂线段最短 1.C 2.B 3.B 4.A 5.垂线段最短 题型十一点到直线的距离 1.A 2.C 3.B 4.AE 5.5 B 能力提升题 题型一相交线与平行线 1.C 2.C 4/8 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.D 4.D 5.(1)‖；1；1；‖. (2)不是；同一平面 题型二与对顶角、余角和补角有关的计算 1.D 2.C 3.B 4.52 5.(1)90°，30°，150，角平分线定义，75 (2)解：：0CL0D, ÷∠C0D=90o, :∠BOC=, ∠B0D=90°-， :O是直线AB上的一点， :∠A0D=180°-∠B0D=180°-(90°-&)=90°+a, :OM平分∠A0D, ∠A0M=克∠A0D=克(90°+a)=45°+号 题型三同（等）角的余（补）角相等的应用 1.C 2.B 3.C 4.∠1+∠2+∠3=90° 5.(1)148°； (2)∠A0D=∠B0C; 理由如下： 因为∠A0D=90·-∠C0D,∠B0C=90°-∠C0D, 所以∠A0D=∠B0C (3)如图，过点0，分别作0B,OC的垂线0E,OF,∠E0F即为所求的角. 5/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 O B 题型四与垂线段有关的问题 1.C 2.C 3.A 4.4.8 5.(1)M0 (2)>;垂线段最短. (3)解：：∠B0D=∠A0C=50°，OM平分∠B0D, ÷∠B0M=25°， ·∠A0N=180°-∠B0M-∠M0N=180°-25°-90°=65°. 拓展培优题 1.D 2.C 3.A 4.兽 5.15°或52.5° 6.①②④⑤ 7.(1)∠AOD;∠BOD,∠C0E (2)解：设∠A0E的度数为x,则∠B0E的度数为(180°-x) :∠A0E的垂角比∠B0E大40°， .90°+x-(180°-x)=40°， 解得x=65·,则∠A0E的度数是65°. 8.(1)解：∠BCA=90°，∠BCF=25°， ∴∠ACF=65°， 射线CF平分∠ACE, 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACF=∠ECF=65°， ∠BCE=40°； (2)解：∠BCA=90°， ∠BCE+∠ACD=90 ∠BCE=90°-∠ACD, ∠BCA=90°， ∴∠ACF=90o-∠BCF, ~射线CF平分∠ACE, ∴∠ACF=∠ECF=90·-∠BCF, ∴∠BCE=90°-∠BCF-∠BCF=90°-2∠BCF 即90·-∠ACD=90°-2∠BCF, ∴∠ACD=2∠BCF (3)解：以C为顶点的所有角（除∠ACB和平角外）有∠ECB,∠ECF,∠ECG,∠ECA, ∠BCF,∠BCG,∠BCD,∠FCG,∠FCA∠FCD,∠GCA,∠GCD,∠ACD, CB、CA移动， ∴∠ECB,∠ECA,∠BCD,∠ACD度数改变， ∴∠BCD的角平分线CG移动， ∠ECG,∠GCD,∠BCG度数改变， CF移动， ∴∠ECF,∠FCD度数改变， ∠ACD=2∠BCF, ∠BCF度数改变， ∠ACF=∠ECF=90·-∠BCF, “∠FCA度数改变， CG平分∠BCD时， ∴LBCG=LDCG=∠BCD=(180°-LBCE)=90·-∠BCE, LGCA=90°-∠BCG=90-（90°-LBCE)=克∠BCE, 即∠GCA度数改变， ∠BCE=90°-2∠BCF 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BCF=90-∠BCE 2 ∠FCG=∠BCG-∠BCF=90°-BCE--CE=450, 2 即∠FCG度数不变，为45·. 8/8 2.1 两条直线的位置关系 题型一 平面内两直线的位置关系 1．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系． 同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行． 【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况． 只有平行的直线无公共点； 故选：C． 2．同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 【答案】 2 相交、平行 【分析】本题主要考查了同一平面内的两条直线的位置关系，根据同一平面内的两条直线的位置关系有2种，分别是相交、平行回答即可． 【详解】解：同一平面内的两条直线的位置关系有2种，分别是相交、平行， 故答案为：2；相交、平行． 3．下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：①交通路口的斑马线，是平行线，符合题意； ②天上的彩虹，不是直线，所以不是平行线，不符合题意； ③百米跑道线，是平行线，符合题意； ④火车的平直铁轨线，是平行线，符合题意； 综上：属于平行线的有①③④，三个． 故答案为：①③④． 4．将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 5．在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是（    ） A．1个或3个 B．0个或2个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 【答案】D 【分析】本题考查直角的交点个数问题，当三条直线平行时，三条直线没有交点，三条直线两两相交时至少有一个交点，至多有3个交点，即可得出结果． 【详解】解：由题意，如图：当三条直线平行时，三条直线没有交点， 三条直线两两相交时，如图： 可能有1个，2个或3个交点， 故选D． 题型二 对顶角的识别 1．下列各图中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键． 根据对顶角的判定条件依次判断各选项． 【详解】解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和没有公共顶点，不是对顶角； 选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角． 故选：． 2．下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项A． 故选：A． 3．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义直接判断即可． 【详解】解：由对顶角的定义可知：与不是对顶角． 故答案为：不是． 4．如图，直线，相交于点，则图中的对顶角有 ．    【答案】与，与． 【分析】根据对顶角的定义即可求得答案． 【详解】根据对顶角的定义可知，图中的对顶角有与，与． 故答案为：与，与． 【点睛】本题主要考查对顶角，牢记对顶角的定义（两角有公共顶点，且一个角的两边是另外一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的角，互为对顶角）是解题的关键． 5．如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【答案】6对，分别是与；与；与；与；与；与 【分析】此题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义找出对顶角即可． 【详解】解：图中对顶角有：与；与；与；与；与；与； 共6对． 题型三 对顶角的性质 1．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，轮船B在的反向延长线的方向上，同时轮船在东南方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与方向角有关的计算，对顶角，根据方向角的定义结合对顶角相等，得到，，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知：，， ∴； 故选：B． 2．如图，直线，相交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．由对顶角的性质得，进而可得出的度数． 【详解】解：∵直线，相交于点， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 3．如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的性质，解题关键是利用“对顶角相等”． 观察可知与是对顶角，由此求出的度数． 【详解】解：∵点、、共线，点、、共线， ∴与互为对顶角， ∴． 故选：C． 4．如图是某古城墙的一角，因墙角内设有石雕，无法直接测量墙角的度数，小莉分别延长、至点、，测得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查对顶角的性质，关键是准确识别出与是对顶角，利用“对顶角相等”的性质即可直接求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角，， ∴； 故答案为：． 5．如图，已知直线相交于点O，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了角度的计算，以及对顶角相等这一性质，正确进行角度的计算是解题的关键． 根据，即可求得的度数，然后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 题型四 求一个角的余角 1．若，则的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个角的余角．根据余角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为余角，即可求解． 【详解】解：已知，则的余角为， 故选：D． 2．一个角的度数是，则它的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余角的定义，准确的计算是解决本题的关键． 利用互余两角之和为的性质计算即可求解． 【详解】解：∵互余的两个角的度数和为， 又∵已知角的度数为， ∴它的余角的度数为， 故选C． 3．若，与互为余角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个角的余角，根据余角的性质：两个角互为余角时，它们的和为，因此用减去已知角即可求解． 【详解】解：∵与互为余角， ∴ 又∵， ∴， 故选：A． 4．乐山地处岷江、青衣江、大渡河中下游，介于北纬与之间，那么角的余角为 【答案】/62度 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，根据余角的定义，两个角之和为则互余，进行求解即可． 【详解】解：， 即的余角为． 故答案为：． 5．如图，已知∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=38°19′，求∠AOD的度数． 【答案】141°41′ 【分析】利用角的和差关系计算，先求得∠COD=51°41′，再由∠AOD=∠AOC+∠COD即可求解． 【详解】解：∵∠BOD=90°，∠BOC=38°19′ ∴∠COD=∠BOD-∠BOC=51°41′ ∵∠AOC=90° ∴∠AOD=∠AOC+∠COD=141°41′ 答：∠AOD的度数为141°41′． 【点睛】本题主要考查了余角，正确得出∠COD的度数是解题关键． 题型五 求一个角的补角 1．若，则的补角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查补角的定义，利用“互为补角的两个角之和为”这一性质，通过减法运算即可求出的补角度数． 【详解】解：∵互为补角的两个角的和为， ∴的补角度数为． 故选B． 2．已知一个角为，则它的补角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：∵一个角为， ∴它的补角度数为， 故选：C． 3．一个角的补角是，则这个角为 ． 【答案】 【分析】本题考查补角的定义，核心知识点是互为补角的两个角的和为．已知一个角的补角度数，求原角，只需用减去该补角的度数即可得到结果． 【详解】解：根据补角的定义，这个角的度数为； 故答案为：． 4．若与互补，， 则 ． 【答案】100 【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．若一个角的补角比这个角大，求这个角的度数． 【答案】 【分析】设这个角的度数为，根据互补两角之和等于，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为， 依题意得， 解得． 答：这个角的度数为． 【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键在于熟练掌握互补两角之和等于180°． 题型六 与余角、补角有关的计算 1．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，与互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角，理解其定义是解题的关键． 根据余角的定义解题即可． 【详解】解：A：图中的，与互补，故该选项不合题意； B：图中的，与互余，故该选项符合题意； C：图中的与相等，故该选项不合题意； D：图中的，，不互余，故该选项不合题意． 故选：B ． 2．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度，则关于与的关系表述正确的是（    ） A．互余 B．互补 C．相等 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了与余角、补角有关的计算，几何图形中角度计算问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据图中各射线的位置，分别求出与，再作判断． 【详解】解：∵射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度， ∴， ， ， 所以与互余， 故选：A． 3．一副三角板按如图方式摆放，若，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查角度计算，观察三角板的摆放方式，发现、与一个直角共同组成平角()，利用平角的定义和三角板的直角特征，从而建立角度和的等式求解． 【详解】解：∵两个三角板均为直角三角板， ∴它们的直角顶点重合时，，即． ∵， ∴． 故答案为：． 4．如图，已知点是直线上一点，，平分，，请写出下列正确结论的序号 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查角平分线的定义，理解图示，掌握角平分线的定义，角的和差计算方法是解题的关键． 根据角平分线的定义、邻补角和直角的概念求解可得． 【详解】解：， ，故①正确； 平分， ，故②项正确； ，故③正确； ， ，故④错误； 故答案为：①②③． 5．如图，直线，被直线所截，如果与互补，且，那么，的度数各是多少? 【答案】， 【分析】本题考查角的计算，解题的关键是掌握补角的性质，对顶角的性质，平角的性质；根据补角的性质，求出，根据对顶角的性质，根据平角的性质，求出，即可． 【详解】解：∵与互补，且， ∴， ∴， ∵和是对顶角， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型七 同（等）角的余（补）角相等的应用 1．若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了同角的补角相等，根据同角的补角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 2．如图所示的是某交叉路口的示意图．若，则，理由是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查了补角的性质，判断与互补，与互补即可求解, 【详解】解：, 与互补. , 与互补. （同角的补角相等）。 故选：． 3．如图所示，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（　　） A．同角的余角相等 B．平角的定义 C．对顶角相等 D．同角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，根据同角的余角相等即可得到答案． 【详解】解：∵都是以为顶点的直角， ∴， ∴（同角的余角相等）， 故选：A． 4．如果与互补，与互补，且，，那么 ． 【答案】55 【分析】本题考查等角的补角相等，解题的关键是熟练掌握补角的性质．根据“等角的补角相等”进行求解即可． 【详解】解：∵与互补，与互补， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 5．小颖在进行数学探究活动时，将一副直角三角尺如图所示摆放．摆放过程中，小颖惊奇地发现一个有趣的现象：与的度数始终相等．那么，能对这一现象作出合理解释的依据是 ． 【答案】同角的余角相等 【分析】本题考查了同角的余角相等，解题关键是能读懂图． 先根据两个直角相等，两个直角分别转化为两角之和，再利用等式性质变形即可得结果． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴（同角的余角相等）， 故答案为： 同角的余角相等． 题型八 垂线的定义 1．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵为， ∴， 故选：A． 2．如图，于点E，是过点E的直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，垂直的定义，由对顶角相等可得，再由可知，由此即可解出的度数． 【详解】解：和是对顶角， ， ， ， ． 故选：A． 3．如图，从直线上一点O分别引射线，已知，，则的度数是 ． 【答案】/42度 【分析】本题考查垂直的定义和性质，平角度数，掌握相关知识是解决问题的关键．由知，又因为，利用平角定义即可求解． 【详解】解：, ， ， ． 故答案为：． 4．如图，直线与交于点，于点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，根据垂直得到，根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 5．如图，直线、交于点，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查对顶角、垂直的定义以及角平分线的定义，根据角平分线的性质，垂直的定义求得，进而由对顶角相等进行计算即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 题型九 画垂线 1．如图，在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】A 【分析】本题考查了平面内垂线的基本性质，掌握在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 根据平面内垂线的基本性质，判断过直线外一点作已知直线垂线的数量． 【详解】解：在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； 因此，只能画出1条垂线． 故选：A． 2．如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线的定义与性质，根据垂线的定义结合图形得出是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：，，则与重合， 其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：A． 3．下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，符合题意； B、表示点A到的距离，不符合题意； C、表示不是点B到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：A． 4．经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢 【答案】经过直线上一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条；经过直线外一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条． 【分析】本题主要考查了画已知直线的垂线，熟练掌握同一平面内，过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边过点A（或点B），过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可 ，这条直线就是的垂线；量角器画法：将量角器的刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使刻度线经过已知点，作出刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线． 【详解】解：三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边过点A（或点B），过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可 ，这条直线就是的垂线，在同一平面内，过一点只能画一条直线的垂线； 量角器画法：将量角器的刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使刻度线经过已知点，作出刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线； 故经过直线上一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条；经过直线外一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条． 5．在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查过一点画已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键．利用直角三角板即可完成作图． 【详解】解：如图所示： 题型十 垂线段最短 1．体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短这一几何性质在实际测量中的应用，需要分析跳远成绩测量的依据，从选项中选出正确的几何原理； 本题考查了垂线段最短的性质，掌握垂线段最短这一性质，以及其在实际测量中的应用是解题的关键． 【详解】解：跳远成绩是测量运动员落地点到起跳线的垂直距离， ∵从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短， ∴测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 2．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：根据题意，若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 故选：． 3．如图，要把水渠中的水引到点，在渠岸的（   ）处开沟，才能使沟最短 A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段的性质（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短），解题的关键是将“引水到C点使沟最短”的实际问题转化为“找直线上到点C的垂线段的垂足”的几何问题． 要使沟最短，需依据垂线段最短的性质，找到直线上与点C连接形成垂线段的点；由题意知E是点C到直线的垂足，即为垂线段，故在E处开沟最短． 【详解】解：点E是点C到直线的垂足，连接的线段是垂线段，根据“垂线段最短”，在此处开沟最短； 故选：B． 4．如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，用几何知识解释其道理正确的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离相关知识，判断选择路线的几何原理．本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：选择P—C路线是利用了垂线段最短． 故选：A． 5．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 题型十一 点到直线的距离 1．如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若， ，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：A． 2．如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离． 根据高的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． 3．下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 点到的距离就是过向作垂线的垂线段的长度． 【详解】解：A、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； B、表示点到的距离，故此选项正确，符合题意； C、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； D、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．如图，中，，，垂足分别是、，那么点到的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查 点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度是解题的关键．根据点到直线的距离的定义，即可得到答案． 【详解】解：因为，垂足是， 所以点到线段的距离是线段的长度． 故答案为：． 5．如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的定义是解题的关键．根据点C到直线的距离即为的长求解即可． 【详解】解：∵，即， 又， ∴点C到直线的距离是5， 故答案为：5． 题型一 相交线与平行线 1．下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线、相交线的基本概念，解题的关键在于准确理解并运用这些概念； 根据平行线、相交线的定义及性质，对各选项逐一进行分析． 【详解】A．平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，而线段有长度限制，即使两条线段不相交，它们所在的直线也可能相交，所以两条不相交的线段不一定是平行线，故该选项说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，二者不能同时成立，不存在既平行又相交的情况，故该选项说法错误，不符合题意； C．根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故该选项说法正确，符合题意； D．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，在同一平面内，两条射线没有交点，它们所在的直线也可能相交，所以仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 3．在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（    ）个． A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．0或1或2或3 【答案】D 【分析】根据平面内相交线和平行线的特点分类讨论即可得出答案． 【详解】因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论： ①三条直线互相平行，有0个交点； ②一条直线与两平行线相交，有2个交点；     ③三条直线都不平行，有1个或3个交点； 所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个． 故选：D． 【点睛】本题考查平面内直线的位置关系．掌握相交线和平行线的特点是解题的关键． 4．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义，结合图形与平行线的定义求解即可． 【详解】解：在正方体中，与棱平行的是，，， 故选D 5．观察如图所示的长方体，回答下列问题： （1）用符号表示下列两条棱的位置关系： ；（填“”或“”） （2）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 （填“是”或“不是”）平行线．由此可知，只有在 内，两条不相交的直线才能叫作平行线． 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查平行线及垂线定义，熟练掌握定义及长方体的性质是解题关键． （1）由平行线及垂线定义可得答案． （2）由平行线定义可得答案． 【详解】解：（1）∵该图是长方体， ∴， 故答案为：；；；． （2）∵与所在的直线是两条不相交的直线，与不在同一平面内， ∴它们不是平行线， ∴只有在同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 故答案为：不是；同一平面． 题型二 与对顶角、余角和补角有关的计算 1．如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 【答案】D 【分析】利用对顶角、垂直的性质、角平分线的定义以及余角和补角的概念，逐一分析每个选项，结合已知条件计算相关角度来判断结论是否正确． 【详解】解：A、和是对顶角，根据对顶角相等，，符合题意； B、由得，平分，故，符合题意； C、，∴与互为补角，符合题意； D、的余角为，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角、垂直的性质、角平分线定义及余角补角的概念，解题关键是结合已知条件，利用相关性质准确计算角度，进而判断选项的正确性． 2．如图，点O在直线上，平分，若，在同侧，且，则下列说法不一定正确的是（    ） A．与互余 B．与互余 C．与∠互补 D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据角平分线的定义可得，然后利用角的和差关系以及平角定义可得，，从而可得，最后根据，和不一定相等，从而可得不一定等于，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴与互余， 故A正确，不符合题意； ∴， ∴与互余， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴与互补， 故D正确，不符合题意； ∵，和不一定相等， ∴不一定等于， 故C不正确，符合题意； 故选：C． 3．如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的关系，角平分线的定义，垂直的定义以及对顶角的性质．运用以上知识点求出的度数，再根据角的和差关系得出所求角的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ． 故选． 4．如图，直线与交于点O，平分，，，那么 °． 【答案】52 【分析】根据垂直的定义可得，，又由可得，由角平分线的定义可得，则可得，由对顶角的性质可得．本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义，对顶角的性质，以及角的和差．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵直线与交于点O， ∴． 故答案为：52． 5．已知点是直线上的一点，平分． (1)如图1，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：， ___________． ． ___________． 是直线上的一点． ___________． 平分． ．（理由：___________） ___________． (2)如图2，若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)，角平分线定义， (2) 【分析】（1）由垂直定义及互余定义求出，再由平角定义及角平分线定义得到即可得到答案； （2）由（1）的求解过程，同理即可得到的度数（用含的式子表示）． 【详解】（1）解：， ． ． ． 是直线上的一点． ． 平分． ．（理由：角平分线定义） ． 故答案为：，角平分线定义，； （2）解：， ， ， ， 是直线上的一点， ， 平分， ． 【点睛】本题考查几何图形中求角度，涉及垂直定义、互余定义、平角定义及角平分线定义，数形结合，准确表示图中各个角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 题型三 同（等）角的余（补）角相等的应用 1．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角尺的角度特征、余角与补角的性质，解题的关键是结合三角尺的固定角度，利用角度和差关系判断与的大小． 对每个图形依次分析：第一个图形通过平角与直角的角度和差计算，与比较；第二个图形利用同角的余角相等判断；第三个图形通过补角计算两角大小；第四个图形直接根据三角尺角度及互补关系判断． 【详解】解：第一个图形： ． 第二个图形：，， （同角的余角相等）． 第三个图形： ，， ． 第四个图形：，， ． ． 综上，满足的图形有3个． 故选：C． 2．如图，家用衣架支杆、交于，若、分别平分，，则下列结论不正确的是（   ） A．与互余 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线定义，补角和余角，同角的余角相等，根据角平分线定义，补角和余角，同角的余角相等逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴与互余，该选项正确，不符合题意； 、无法得到，该选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∵，， ∴，该选项正确，不符合题意； 故选：． 3．如图，于点，射线在内，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直定义，同角的余角相等，角平分线定义，根据垂直定义，同角的余角相等，角平分线定义逐一排除即可，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：、题中没有说明是平分线，故与不一定相等，该选项错误，不符合题意； 、题中没有说明是平分线，故与不一定相等，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项错误，不符合题意； 故选：． 4．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查的是角的和差关系，互为余角的含义，三角尺特点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解，即可解题； （2）根据同角的余角相等，即可解题； （3）根据同角的余角相等，以及三角尺特点作图，即可解题； 【详解】解：（1）因为，， 所以， 故答案为：； （2）； 理由如下： 因为，， 所以． （3）如图，过点，分别作，的垂线，，即为所求的角． 题型四 与垂线段有关的问题 1．如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 2．有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了 “垂线段最短” 与 “两点之间线段最短” 的概念，解题关键是区分两种性质的适用场景：“两点之间线段最短” 适用于两点间的连线，“垂线段最短” 适用于直线外一点到直线的线段． 3．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：如图，，点是边上的动点， ，即． ， 的长不可能为． 故选：A． 4．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 5．如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 【答案】(1)MO (2)>  垂线段最短 (3) 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的定义，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）、（2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：由垂线段最短可知，线段的长度表示点到的距离； 故答案为：． （2）解：故答案为： ；垂线段最短． （3）解：，平分， ， ． 1．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 2．已知点是直线上一点，射线在直线上方，平分平分，，则下列说法：①；②图中互补的角共有6对；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线、角的互补以及角的和差关系，通过角平分线计算角度，列举互补角对数，利用等式性质推导角相等以及角的和差关系逐项分析即可． 【详解】解：平分，平分， ，． ， 即． 故①正确． ，，，， ，， ， ． ∴图中互补的角共有9对． 故②错误． ，， ． ． 故③正确． ，， ， ． 故④正确． 故选：C． 3．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴，，，②错误， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， ∴与互补，故③正确， ∵， ∴．故④正确． 综上所述：错误的结论是②，共1个． 故选A ． 4．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 【答案】 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短。此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当时，最短． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质和三角形面积公式的应用，解题关键是利用 “垂线段最短” 确定的最短位置，再通过面积法建立等式求解长度． 5．以直线上一点为端点作射线，使，如图，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．且直角三角板在直线的上方．将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，则此时的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义，可分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差可求解． 【详解】解：可分两种情况，①当在的内部时， ，而， ， ，， ， 又 ， ， ； ②当在的外部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 6．如图，A，B，C，D，E是直线l上顺次排列的五个点，点F是直线l外一点，连接．平分交于点M，平分交于点N，连接，且． 下列五个结论： ①图中以F为顶点的角共有10个； ②； ③图中互为余角的角共有5对； ④若，则； ⑤若图中直线l上所有线段之和为62，，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，线段的和差计算，角的定义，余角的定义，根据角的定义可判断①；由角平分线的定义得到，由平角的定义可得，则，据此可判断②；根据余角的定义可判断③④；找出直线l上的所有线段，再根据线段的和差关系求出的长即可判断⑤． 【详解】解：图中以F为顶点的角有，，共10个，故①正确； ∵平分交于点M，平分交于点N， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴，， ∵， ∴，， ∴与互余，与互余，与互余， 与互余，与互余，与互余， ∴图中共有6对互余的角，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 直线l上的所有线段为线段， ∵图中直线l上所有线段之和为62， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 7．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）． (1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________； (2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数． 【答案】(1)  ， (2) 【分析】本题考查了角的相关定义以及角度计算，一元一次方程求解等知识点，解题的关键是准确理解垂角的定义，并根据题目条件列出一元一次方程来求解角度． （1）根据垂角定义两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，即可求得； （2）设的度数为，则的度数为，根据的垂角比大40°，列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：；，． ， ， ，即的垂角是． ，即的垂角是． ， ， ，即的垂角是． ∴的垂角是，的垂角是和． （2）解：设的度数为，则的度数为． 的垂角比大40°， ， 解得，则的度数是． 8．数学活动课上，小明将一块直角三角形纸板的直角顶点按如图1放在直线上，三角形纸板绕点在直线上方旋转，射线平分． (1)当三角形纸板绕点旋转到图1的位置时，，求的度数． (2)当三角形纸板绕点旋转过程中，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，当平分时，找出三角形纸板在旋转过程中以为顶点的所有角中度数不变的角（除和平角外），并求出这个角的度数． 【答案】(1) (2) (3)度数不变，为． 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，求一个角的余角． （1）根据余角的定义得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数； （2）根据余角的定义得到，，根据角平分线的定义得到，进而得到，可知，即； （3）先列出除和平角外所有以为顶点的角，再根据已知条件及角平分线的定义逐一判断即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴ 即， ∴； （3）解：以为顶点的所有角（除和平角外）有，，，，， ∵、移动， ∴，，，度数改变， ∴的角平分线移动， ∴，，度数改变， ∵移动， ∴，度数改变， ∵， ∴度数改变， ∵， ∴度数改变， ∵平分时， ∴， ∴， 即度数改变， ∵ ∴ ∴， 即度数不变，为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $