2.1 两条直线的位置关系（第2课时 垂线）（培优教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

2.1 两条直线的位置关系 第2课时 垂线 第二章 相交线与平行线 章节导读 2.1 两条直线的位置关系 对顶角 、补角和余角 垂 线 2.2 探索直线平行的条件 同位角与平行线的判定 内 错与 角平 、行 同线 旁的 内判 角定 2.3 平行线的性质 平行线的性质 平 行 线的 的综 判合 定应 与用 性 质 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握在同一平面内，两条直线互相垂直的定义、表示方法及垂足的概念。 能运用“如果两条直线相交成直角，则互相垂直”的判定方法，以及“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等性质，进行简单的推理和判断。 能运用三角尺、量角器等工具，画出已知直线的垂线；能理解点到直线的距离的概念，并解决生活中与垂直相关的实际问题，感受数学与生活的联系。 复习回顾 忆一忆 上节课我们学习了同一平面内两条直线的位置关系，谁能说一说有哪两种？ 相交和平行 相交的直线会形成什么角？这些角有什么性质？ 会形成对顶角和补角，对顶角相等，互为补角的两个角，它们的和是 180 ° 。 情景导入 相交的直线形成的角有大有小，如果其中一个角是直角，会是什么情况呢？今天我们就来研究这种特殊的相交关系 —— 垂直。 观察下面的图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 新知探究 归纳总结 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 90 ° 垂足 新知探究 图1 图2 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如图1，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD；如图2，直线l与直线m垂直，记作l⊥m。其中，点O是垂足。 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 新知探究 注 意 1．垂直是两条直线的位置关系，如果 l 是 m 的垂线，那么 m 也是 l 的垂线。　　 2．垂线是直线，不是线段或射线，不能测量其长度。 3．线段、射线的垂直是指它们所在的直线垂直。 新知探究 思考 · 交流（P37） 如图所示，O为直线AB上的一点。 （1）如果∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？ （2）以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知道她每一步的依据吗？与同伴进行交流。 我是这样思考的： 由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°， 可得∠AOC=∠BOC=90°， 所以OC⊥AB。 新知探究 思考 · 交流（P37） （3）如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？与同伴进行交流。 由OC⊥AB，可得∠AOC=90° 因为∠AOC+∠BOC=180°， 所以∠BOC=90°， 所以∠AOC=∠BOC 。 新知探究 尝试·思考（P37） （1）你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！ 用下面的方法可以折出互相垂直的直线。 新知探究 尝试·思考（P37） （2）如果只用直尺，你能画出如图所示的方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？ 新知探究 尝试 · 交流（P37） （1）如图所示，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？如果点A在直线l外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流。 新知探究 尝试 · 交流（P37） （1）如图所示，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？如果点A在直线l外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流。 一条 一条 新知探究 尝试 · 交流（P37） 归纳总结 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性。 典例分析 例1： 如图所示，过点P画出射线AB或线段AB的垂线． 解：如图所示。 画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线。 方法技巧 尝试 · 交流（P38） 新知探究 （2）如图所示，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？ PO最短 归纳总结 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 图1 新知探究 如图1所示，过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离。 在图2中，哪条线段的长度可以表示点P到直线l的距离？ 图2 线段PO的长度可以表示点P到直线l的距离。 典例分析 例2：如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 【解析】本题考查两点之间线段最短、垂线段最短： （1）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点M，此时的值最小； （2）根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，只需作于点N即可； 解：（1）如图所示，点M即为所求： （2）如图所示． 随堂练习 1．画一条直线l，在直线l上取一点A，在直线l外取一点B，用三角尺或量角器分别经过点A，B画直线l的垂线。 基础过关（P38） 【解析】过一点画已知直线的垂线，其本质就是利用三角尺（或量角器），使过一点的直线与已知直线所形成的夹角为 90°． 解：如图所示，就是经过点A，B所画直线l的垂线。 随堂练习 2．下面是画在方格纸上的两个图形，请分别找出图中互相垂直的线段。 基础过关（P39） 解：（1）OA⊥OC，OB⊥OD。 （2）AC⊥BC，AC⊥CE，AC⊥BE， DC⊥BC，DC⊥CE，DC⊥BE， DA⊥BC，DA⊥CE，DA⊥BE， AB⊥DE。 随堂练习 基础过关（P39） 3．请你说说体育课上老师是怎样测量跳远成绩的，并解释其中的道理。 解：在距离踏板最近的跳远落地点插上作为标记的小旗，以小旗的位置为尺子的零点，将尺子拉直，并与踏板边沿所在直线垂直，则垂足点上尺子表示的数字即为跳远成绩。 【解析】本题考查了点到直线的距离在实际生活中的应用．熟练掌握点到直线的距离的定义是解题的关键。 随堂练习 基础过关 4．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【解析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． B 解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意；故选：B． 随堂练习 创新应用 5．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段_______的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为____（填“”“”或“”），理由：____________． 解：（1）如图所示： 【解析】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案。 垂线段最短 课堂小结 感谢聆听! $