1.6.3 探究A对y=Asin(ω x+φ)的图象的影响 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 1.6.3 探究A对y=Asin(𝛚x+𝛗)的图象的影响 互动设计课程 1 学 习 目 标 掌握函数 y = sin x 的图象变换为 y = A sin x 图象的方法。。。 返回主页 1 理解参数 A（振幅）对正弦函数 y = A sin(ωx + φ) 图象的影响规律掌握函数 y = sin x 的图象变换为 y = A sin x 图象的方法 能够准确画出 y = A sin(ωx + φ) 的简图，并指出其振幅 2 通过”五点法”和信息技术工具，经历从具体到抽象的探究过程体会数形结合、从特殊到一般的数学思想方法 情 境 引 入 【情境一：生活实例】 返回主页 【情境二：物理背景】 【情境一：生活实例】 时刻 t (h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深 y 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 某港口水深随时间变化的数据如下表（单位：米）： 思考问题： 这个变化规律可以用什么函数模型刻画？ 如果用 y = A sin(ωt) + b 表示，这里的 A 代表什么实际意义？ 与标准的 y = sin x 相比，图象发生了什么变化？ 【情境二：物理背景】 简谐运动的位移公式： A：振幅（物体离开平衡位置的最大距离） ω：角频率 φ：初相位 核心问题：当振幅 A 改变时，弹簧振子的运动图象如何变化？ 互 动 设 计 【活动1：动手画图，直观感知】 返回主页 【活动2：小组讨论，发现规律】 【活动3：信息技术验证】 【活动1：动手画图，直观感知】 任务：在同一坐标系中画出下列函数的图象： 操作步骤： 列表取值（x 取 0, π/2, π, 3π/2, 2π） 2. 描点连线 3. 观察比较 x 0 π 2π sin x 0 1 0 1 0 2sin x 0 2 0 2 0 sin x 0 0.5 0 0.5 0 sin x 0 1 0 1 0 【活动2：小组讨论，发现规律】 讨论提纲： 比较 y = 2sin x 与 y = sin x 的图象，纵坐标有何关系 y = sin x 的图象可以看作 y = sin x 图象怎样变换得到？ 3. y = sin x 与 y = sin x 的图象有何关系？ 4. 你能归纳出 y = A sin x 与 y = sin x 图象的关系吗？ 【活动3：信息技术验证】 使用 图形计算器： 建立参数A，观察当 A 变化时，函数 y = A sin x 图象的动态变化 验证猜想的正确性 探 求 新 知 1. 振幅变换的规律 返回主页 2. 关键概念 3. 注意要点 4. 综合变换（拓展） 1. 振幅变换的规律 一般地，函数 y = A sin x（A > 0 且 A ≠ 1）的图象，可以看作是把 y = sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（当 A > 1 时）或缩短（当 0 < A < 1 时）到原来的 A 倍（横坐标不变）而得到的。 2. 关键概念 概念 定义 说明 振幅 |A| 表示振动的最大幅度 值域 [A, A] 当 A > 0 时 周期 2π/ω 与 A 无关，A 不改变周期 3. 注意要点 ① A > 0 的情况： A > 1：纵向伸长 0 < A < 1：纵向缩短 ② A < 0 的情况： 先考虑 |A|，再关于 x 轴对称 例如：y = 2sin x 可看作 y = 2sin x 关于 x 轴对称 ③ A 对函数性质的影响： 性质 y = sin x y = A sin x (A>0) 定义域 R R 值域 [1, 1] [A, A] 最大值 1 A 最小值 1 A 周期 2π 2π（不变） 奇偶性 奇函数 奇函数 4. 综合变换（拓展） 当函数为 时： A 控制 振幅（纵向伸缩） ω 控制 周期（横向伸缩） φ 控制 相位（左右平移） 变换顺序：先平移（φ）→ 再横向伸缩（ω）→ 最后纵向伸缩（A） 典 例 铺 路 【类型一：图象变换】 【类型二：求振幅与值域】 【类型三：综合应用】 【类型一：图象变换】 例1 要得到函数 的图象，只需将 的图象（ ） A. 横坐标伸长到原来的 3 倍 B. 横坐标缩短到原来的 1/3 C. 纵坐标伸长到原来的 3 倍 D. 纵坐标缩短到原来的 解析：A = 3 > 1，故将 y = sin x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍，横坐标不变。 例2 将函数 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变，得到的函数解析式为______。 答案： 【类型二：求振幅与值域】 例3 函数 的振幅是______，最大值是______，最小值是______。 答案：振幅 = 2，最大值 = 2，最小值 = 2 解析：对于 ，振幅为 |A| = 2，值域为 [2, 2]。 例4 已知函数 在区间 上的最大值为 4，最小值为 4，求 A 的值。 解：由题意知振幅 |A| = 4，所以 A = 4 或 A = 4 当 A = 4 时，y = 4sin x 当 A = 4 时，y = 4sin x（图象关于 x 轴对称） 【类型三：综合应用】 例5 用”五点法”画出函数 在一个周期内的简图，并指出其值域。 解： 令 ，列表： x 0 π/2 π 3π/2 2π sin x 0 1 0 1 0 2sin x 0 2 0 2 0 2sin x + 1 1 3 1 1 1 描点连线得图象（略） 值域：[1, 3] 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到的函数是（ ） A. B. C. D. 答案：B 【基础训练】 2. 函数 的振幅是______，值域是______。 答案：振幅 = ，值域 = 【基础训练】 3. 要得到 的图象，需要对 的图象进行怎样的变换？ 答案：先将纵坐标伸长到原来的 2 倍，再将所得图象关于 x 轴对称（或先关于 x 轴对称，再纵向伸长到原来的 2 倍）。 【能力提升】 4. 函数 的最大值为 5，最小值为 1，求 A 和 b 的值。 解：由题意得方程组： 解得：A = 2，b = 3 （若 A < 0，则 A + b = 5，A + b = 1，解得 A = 2，b = 3，此时振幅仍为 2） 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 函数 的值域是（ ） A. [1, 1] B. [4, 4] C. [0, 4] D. [2, 2] 2. 将 的图象纵坐标缩短到原来的 ，所得函数的周期是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数 的最大值与最小值的差为 4，则 A 等于（ ） A. 4 B. 2 C. ±2 D. ±4 4. 下列函数中，图象与 形状相同（只考虑伸缩）的是（ ） A. B. C. D. 【填空题】（每题5分） 5. 函数 的振幅是______。 6. 将 的图象变换为 的图象，需要将纵坐标______（填”伸长”或”缩短”）到原来的______倍。 【解答题】（10分）   7. 已知函数 （A > 0）在 上的图象过点 。 （1）求 A 的值；（5分） （2）用”五点法”画出该函数在一个周期内的简图；（5分） （3）说明该图象可由 的图象经过怎样的变换得到。（5分） 一、选择题 1. B 2. B（振幅变换不改变周期） 3. C（最大值 最小值 = 2|A| = 4，|A| = 2） 4. C 二、填空题 5. 3（振幅为|A| = |3| = 3） 6. 缩短， 三、解答题7. 解： （1）将 代入得：，即 ，∴ A = 3 x 0 π/2 π 3π/2 2π 3sin x 0 3 0 3 0 描点连线得简图（图略，呈标准正弦曲线形状，波峰在(, 3)，波谷在(, 3)）（3）将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍，横坐标不变，即可得到 的图象。 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 思想方法 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 参数 作用 口诀 A 振幅变换 A 大则高，A 小则矮   纵向伸缩 A > 1 伸长，0 < A < 1 缩短 47 2. 思想方法 数形结合：从代数表达式到几何图象的对应 特殊到一般：通过具体例子归纳一般规律 类比迁移：与后续 ω、φ 的探究方法类比 $