专题 8.4 乘法公式（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.4 乘法公式（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 基础篇 2 【知识点一】完全平方公式 2 ★【题型 1】直接利用完全平方公式进行运算 2 ★【题型 2】完全平方公式的辨析 3 ★【题型 3】利用完全平方公式进行简便运算 5 【知识点二】平方差公式 6 ★【题型 4】利用平方差公式进行计算 7 ★【题型 5】平方差公式的辨析 10 ★【题型 6】利用平方差公式进行简便运算 12 培优篇 14 ★★【题型 7】求完全平式中的字母 14 ★★【题型 8】平方差公式与完全平方公式运用的辨析 17 ★★【题型 9】构造平方差公式进行运算化简 18 ★★【题型 10】利用完全平方公式变形公式化简求值 21 ★★【题型 11】利用完全平方公式和平方差公式综合计算 24 ★★【题型 12】利用完全平方公式和平方差公式综合化简求值 26 ★★【题型 13】图形面积中的完全平方公式 29 二.中考模拟真题 33 （一）单选题（6题） 33 （二）填空题（6题） 36 （三）填空题（4题） 39 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 基础篇 【知识点一】完全平方公式 两数和（差）的平方等于这两数的平方和与这两数积的2倍的和（差）.即 . ★【题型 1】直接利用完全平方公式进行运算 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）（2）利用完全平方公式解答即可． （1）解：原式． （2）解：原式． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）运用完全平方公式计算，则公式中的对应的是（   ） A． B． C．x D． 【答案】B 【分析】此题考查完全平方公式，根据完全平方公式，确定a和b的值，直接计算即可． ∵在公式中，对应，有，， ∴， 故公式中的对应的是， 故选B． 【变式2】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式计算，即可求解． 解： 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）利用完全平方公式计算即可． 解：（1）原式． （2）原式． ★【题型 2】完全平方公式的辨析 【例题2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列选项与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，掌握完全平方公式是解题的关键．通过对每个选项进行变形，比较与的关系，逐项判断即可． 解：A、，相等，不符合题意； B、，相等，不符合题意； C、，相等，不符合题意； D、，与不一定相等，符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了完全平方公式．直接利用完全平方公式化简即可得出答案． 解：． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 【变式3】（24-25七年级上·上海·月考）下列算式能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的特征是解题的关键． 根据平方差公式、完全平方公式的特征，逐项判断即可求解． 解：A、中各项不相同，不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、，能用完全平方公式计算，符合题意； C、中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，不符合题意； D、中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，不符合题意； 故选：B． ★【题型 3】利用完全平方公式进行简便运算 【例题3】（25-26七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算． (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用． （1）（2）运用完全平方公式计算即可． （1）解： ； （2）解： 【变式1】（25-26八年级上·福建南平·期末）下列等式中，成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为或，然后利用完全平方公式求解即可． 解：或． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·开学考试）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过观察表达式结构，将其转化为完全平方形式以简化计算． 解：原式 ． 故答案为：1. 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法进行计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察到，将原式凑成完全平方公式的形式，简化计算； （2）将原式通分，观察分子特点，利用完全平方公式的形式简化计算． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式的综合应用，掌握观察数字特征，通过凑完全平方、转化为整数形式、用中间数表示对称数等技巧，结合公式简化计算是解题的关键． 【知识点二】平方差公式 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.即 . ★【题型 4】利用平方差公式进行计算 【例题4】（2026七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查平方差公式，掌握是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算； （2）根据平方差公式进行计算； （3）先根据平方差公式分别计算，再加减即可； （4）根据平方差公式依次进行计算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握相关运算． 通过同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、平方差公式简化表达式，将原式化为与相关的形式． 解：， ， ， ， 又， 原式． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式正确变形是解题关键．利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可得答案． 解：∵，， ∴ ． 故答案为： 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查平方差公式，掌握是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算； （2）根据平方差公式进行计算； （3）根据平方差公式进行计算； （4）根据平方差公式进行计算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ★【题型 5】平方差公式的辨析 【例题5】（25-26八年级上·天津和平·月考）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 解：A、，符合公式，该选项符合题意； B、，不符合公式，该选项不符合题意； C、，是完全平方公式，非平方差，该选项不符合题意； D、∵， ∴，非平方差公式，该选项不符合题意． 故选A． 【变式1】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列算式中不能利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，根据逐项计算，即可求解． 解：选项A：，符合平方差公式； 选项B：，符合平方差公式； 选项C：，不符合平方差公式； 选项D：，符合平方差公式； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）不能用平方差公式运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题关键． 平方差公式适用于两个二项式相乘，且需满足一项相同，另一项互为相反数．逐一检查各选项是否符合此条件即可． 解：A、，相同，与相反，符合公式，不符合题意； B、， ∵， ∴原式为，不符合平方差形式，符合题意； C、，相同，与相反，符合公式，不符合题意； D、，重组为，相同，与相反，符合公式，不符合题意． 故选B． 【变式3】（23-24七年级下·北京房山·期中）下列整式乘法中，能运用完全平方公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式的结构特征． 根据平方差公式和完全平方公式的结构特征进行计算和判断． 解：A．，运用平方差公式进行计算，此选项不符合题意； B．，运用平方差公式进行计算，此选项不符合题意； C．，能运用完全平方公式进行计算，此选项符合题意； D．，运用平方差公式进行计算，此选项不符合题意； 故选：C． ★【题型 6】利用平方差公式进行简便运算 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （2）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （3）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （4）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，将各式进行正确地变形是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 先将原式变形为，再根据平方差公式进行简便计算即可． 解： ， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握公式特点并灵活运用是关键； 观察到1002025、1002026和1002027是三个连续整数，设，则，，原式，利用平方差公式简化计算． 解：设，则，， 原式， ， 故答案为． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将写成，写成，再利用平方差公式计算即可； （2）将写成，写成，再利用平方差公式计算即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 培优篇 ★★【题型 7】求完全平公式中的字母 【例题7】（25-26八年级上·河南安阳·月考）代数式是一个完全平方式，则 ． 【答案】或19 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式，代数式为完全平方式时，其形式应为，比较系数求解． 解：∵代数式是一个完全平方式，且， ∴可设为， 比较中间项系数，得， 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或19． 【变式1】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）若代数式可以配方为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过展开完全平方式，对比对应项系数求出m和n的值，进而计算． 解：∵， ， 可得，， 解得，， ， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若是完全平方式，则m的值为（ ） A． B．5 C． D．或5 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，解一元一次方程，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键． 根据完全平方式的定义，将表达式与展开式比较系数，建立方程求解m即可． 解：设完全平方式为． ∵ 给定多项式为， ∴． 由， 得； 由， 得． 则． 又∵， ∴或， 解得 或 ． ∴ m的值为或5， 故选：D． 【变式3】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，设原式为某个整式的平方，通过比较系数建立方程组求解 设整式为，则其平方为，与原式比较系数，得：，，，， 由得， 由且得， 代入得， 将代入得， 即， 解得， 则， 故答案为：． ★★【题型 8】平方差公式与完全平方公式运用的辨析 【例题8】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下列应用乘法公式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，平方差公式：，完全平方公式．熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特征，不要把两个公式弄混淆是解题的关键，利用平方差公式计算A选项，利用完全平方公式计算B、C、D选项，即可得解． 解：，则A不符合题意； ，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·江西赣州·期末）下列各式使用乘法公式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，根据平方差公式和完全平方公式的结构特征进行判断即可． 解：A. ，计算正确，故选项A不符合题意； B. ，计算正确，故选项B不符合题意； C. ，计算错误，故选项C符合题意； D. ，计算正确，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·山东德州·月考）下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式． 平方差公式适用于形如的乘法，需满足两项中一项相同，另一项互为相反数，据此作答即可． 解：选项A：，两括号均为，属于完全平方式，不符合平方差公式． 选项B：，可整理为，其中相同，与互为相反数，符合平方差公式． 选项C：，可化为，属于完全平方式，不符合平方差公式． 选项D：，两项均无相同或相反数关系，无法应用平方差公式． 故选：B． 【变式3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·月考）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式是，利用平方差公式的结构特征判断即可． 解：A、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式，故此选项符合题意； C、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，故此选项不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：B． ★★【题型 9】构造平方差公式进行运算化简 【例题9】（24-25七年级下·广西来宾·期中）数学课上在学习乘法公式应用时，王老师和同学们一起应用乘法公式计算： 请借鉴以上方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用，根据材料中的方法正确运用平方差公式是解题的关键． 先乘以，再除以，依次按照平方差公式计算即可． 解：原式= = 故答案为：. 【变式1】（23-24八年级上·北京·期中）丽丽在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式，很快得到计算结果． ① ； 请参考丽丽的方法进行运算： ②的值为 ． 【答案】 【分析】（1）添加因式，然后依次按照平方差公式计算即可； （2）将原式化为，依次按照平方差公式计算即可． 解：① 故答案为： ② = = = = = = 故答案为： 【点睛】本题考查平方差公式的应用，能够根据定义观察得出需要添加的因式并能进行准确计算是解题关键． 【变式2】（23-24八年级上·福建泉州·月考）用乘法公式计算的结果（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先乘以，再依次根据平方差公式进行计算即可． 解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生运用公式进行计算的能力，注意：，难度适中． 【变式3】（23-24七年级下·湖南衡阳·月考）求的值，可以采用下面方法： 解：令 由等式的基本性质二得： 由平方差公式得： 请仿照上面的推理，计算出： ．（补充：平方差公式：，例） 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再利用平方差公式一步步进行计算即可得到答案． 解： ， 故答案为：． ★★【题型 10】利用完全平方公式变形公式化简求值 【例题10】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，计算下列各式的值： （1） ； （2） ． 【答案】 1 12 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形公式，是解题的关键． （1）已知两等式左边利用完全平方公式展开，相减即可求出的值； （2）已知两等式左边利用完全平方公式展开，相加即可求出的值，然后展开，最后将、整体代入即可． 解：（1）， 得，， ，， ， 解得：， 故答案为：； （2）， 得，， ，， ， 解得：， ，， ∴原式， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，那么的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，观察已知，等式左右两边同除以，并移项可转化为，再对等式两边平方化简即可求出的值． 解：∵，且， ∴两边除以得，即， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 先由平方差公式进行两次计算，再由完全平方公式计算． 解： ， 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·重庆黔江·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，多项式的乘法． （1）根据完全平方公式得到，进而计算即可； （2）先计算多项式的乘法，再化为，进而计算即可． （1）解： ； （2）解： ． ★★【题型 11】利用完全平方公式和平方差公式综合计算 【例题11】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握乘法公式的结构特征以及整体代换的思想是解题的关键． （1）将原式变形为，利用平方差公式展开，再对使用完全平方公式展开并化简． （2）将原式变形为，利用完全平方公式展开，再对使用完全平方公式展开并化简． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子中，不能运用乘法公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的特点是解题的关键． 根据平方差公式和完全平方公式的特点进行选择即可． 解：A、，符合平方差公式，故本选项不符合题意； B、符合完全平方公式，故本选项不符合题意； C、符合平方差公式，故本选项不符合题意； D、不能运用乘法公式计算，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）运用乘法公式计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】（25-26八年级上·天津河西·月考）利用乘法公式计算： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式是解题的关键． （1）先利用完全平方公式与平方差公式计算，再合并同类项； （2）利用完全平方公式与平方差公式计算． （1）解： ； （2）解： ． ★★【题型 12】利用完全平方公式和平方差公式综合化简求值 【例题12】（25-26八年级上·江西赣州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算和代数式的求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键．利用完全平方公式、平方差公式、去括号法则展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 解： 当时，原式 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式与平方差公式的应用，多项式除以单项式，化简求值，熟记运算法则是解本题的关键． 先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把，代入化简后的代数式进行计算即可． 解： ， 当，时， 原式． 【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知与 是同类项，先化简，再求值． 【答案】， 【分析】本题考查同类项的概念，代数式的化简求值，熟练掌握相关知识是解题关键． 先根据代数式的混合运算的法则进行化简，再根据同类项的定义求出和的值，代入求值即可． 解： ， ∵与 是同类项， ∴，， ∴，， 当，时， 原式， ， ． 【变式3】（23-24七年级上·上海·期中）代数式： (1)当时，求代数式的值； (2)如果代数式的值等于10时，求x的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则化简，合并同类项后再代入求值即可； （2）根据题意可得，解方程即可求出x的值． （1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解：由题意得，， 解得， ∴x的值是． ★★【题型 13】图形面积中的完全平方公式 【例题13】（25-26七年级上·山东济南·期末）数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题． 例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：． (1)观察图2，根据图中阴影部分的面积可以解释数学乘法公式____________； (2)观察图3，根据图中大正方形的面积可以解释数学乘法公式____________； (3)若，根据（2）中所得的公式，求的值； (4)若满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)41 (4)10 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法计算图形中阴影部分的面积即可； （2）用两种方法计算图形中阴影部分的面积即可； （3）根据，求解即可； （4）设，，则，，根据进行计算即可． （1）解：图2阴影部分的面积可以解释数学公式：， 故答案为：； （2）解：图3阴影部分的面积可以解释数学公式： ， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 把代入，得， ∴； （4）解：设，，则，， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，阴影部分是两个正方形．若两个正方形面积的和与周长的和分别为5，12，则图中两个空白长方形的面积之和等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查完全平方公式的变形．设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，根据题意得，，然后得出的值即可． 本题考查完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 解：设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵空白部分的面积为， ∴空白部分的面积共等于4． 故答案为：4． 【变式3】（24-25六年级上·上海·期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形；           (1)A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为 平方厘米； ①从这10块纸板中拿掉一块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为 厘米； ②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的边长是多少厘米？（计算说明） (2)A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉一块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出三个相同形状的大正方形，请接写出大正方形的边长． 【答案】(1)，①，②C类型，厘米 (2)厘米 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，能够通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是解题的关键． （1）首先表示出A、B、C、三种型号每块的面积，然后表示出A型2块，B型4块，C型4块纸板的面积和即可；①把减去，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长；②把减去2，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长； （2）首先表示出A型12块，B型12块，C型4块的总面积然后减去一块C型，根据完全平方公式得到此时正方形的边长为． （1）解：A型边长为a厘米的正方形；B型长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型边长为1厘米的正方形， 1块A型的面积为平方厘米，B块型的面积为a平方厘米，C块型的面积为1平方厘米， 所以A型2块，B型4块，C型4块的总面积为平方厘米； 故答案为：； ①这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．剩下纸板的总面积为，而，则此正方形的边长为厘米； 故答案为：； ②从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下： ， 此时正方形的边长为厘米， （2）解：从这28块纸板中拿掉1块C类型的纸板可满足要求， A型12块，B型12块，C型4块的总面积为， 拿掉1块C类型的纸板后面积为： ， ∴此时正方形的边长为厘米． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式逐项计算判断即可． 解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，包括同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握各类运算的法则，明确同类项的定义及不同公式的区别，避免运算错误． 根据相关运算法则逐项判断即可． 解：A.，故运算正确． B.与，不是同类项，不能合并，不符合题意； C.，运算错误，不符合题意； D.，运算错误，不符合题意． 故选：A． 3．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 4．（22-23八年级上·湖北黄冈·期末）若，则（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式，平方根计算解答即可． 本题考查了平方差公式，平方根，熟练掌握公式是解题的关键． 解：， ， 故 故，（舍去）， 故选：B． 5．（2025·山东聊城·二模）发现：……依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．7 B．9 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意7的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用． 解：， ， ， ， ， 根据题中规律可得从到，结果的个位数字四个一循环，分别为， ， 的结果的个位数字为， 故答案为：D． 6．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． （二）填空题（6题） 7．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．利用平方差公式分解，结合已知，推出，再将式子变形为，据此可得答案． 解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 8．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 解：由题意知，， 故答案为：． 9．（2024·天津·模拟预测）已知，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查完全平方公式，完全平方式非负性的应用，利用完全平方公式将等式化为两个完全平方式的和，根据完全平方式的非负性即可求解． 解： ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：2． 10．（2025·江苏无锡·一模）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并灵活应用． 利用完全平方公式进行求解即可． 解：根据题意得， 或 解得或， 故答案为：11或． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，整式乘法；掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得，，，进而即可求解． 解：设正方形 A，B 的边长分别为，则 图①中阴影部分面积为 图②中阴影部分面积为 ∴ ∴ ∴． 故答案为： 12．（2025·安徽滁州·二模）观察下列各式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题． (1)第五个等式：____________________． (2)猜想第个等式：____________________（用含的代数式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】本题考查整数的运算，数字类规律探究． （1）根据题干给定的等式，作答即可； （2）根据给定的等式，得到规律，利用整数的运算法则进行计算，证明即可． （1）解：由题意，第五个等式为：； 故答案为：； （2）由题意，第个等式为：； 证明：∵左边， 右边， ∴左边右边， ∴等式成立． 故答案为：． （三）填空题（4题） 13．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 解： ． 当时，原式． 14．（2024·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． 根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到，由所给条件得到，整体代入，即可得到结果． 解： ， ， ， ∴原式． 15．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，绝对值的非负性．利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解的值，然后代入求解即可． 解： ∵，即， ∴，， 解得，， 将，，代入原式． 16．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， (1)写出第个式子： ． (2)按照以上规律，第个等式为 ，写出证明过程． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（）通过题干中的等式找出规律解答即可； （）根据（）找出规律写出等式，并通过计算进行证明即可； 本题考查了数字的变化规律，完全平方公式，根据题干的式子找出规律是解题的关键． （1）解：第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 故答案为：； （2）解：由（）的规律可得，第个等式为． 证明：∵， ， ∴， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.4 乘法公式（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 基础篇 2 【知识点一】完全平方公式 2 ★【题型 1】直接利用完全平方公式进行运算 2 ★【题型 2】完全平方公式的辨析 2 ★【题型 3】利用完全平方公式进行简便运算 3 【知识点二】平方差公式 3 ★【题型 4】利用平方差公式进行计算 3 ★【题型 5】平方差公式的辨析 4 ★【题型 6】利用平方差公式进行简便运算 4 培优篇 5 ★★【题型 7】求完全平公式中的字母 5 ★★【题型 8】平方差公式与完全平方公式运用的辨析 5 ★★【题型 9】构造平方差公式进行运算化简 6 ★★【题型 10】利用完全平方公式变形公式化简求值 6 ★★【题型 11】利用完全平方公式和平方差公式综合计算 7 ★★【题型 12】利用完全平方公式和平方差公式综合化简求值 7 ★★【题型 13】图形面积中的完全平方公式 8 二.中考模拟真题 9 （一）单选题（6题） 9 （二）填空题（6题） 10 （三）填空题（4题） 11 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 基础篇 【知识点一】完全平方公式 两数和（差）的平方等于这两数的平方和与这两数积的2倍的和（差）.即 . ★【题型 1】直接利用完全平方公式进行运算 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）运用完全平方公式计算，则公式中的对应的是（   ） A． B． C．x D． 【变式2】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算： ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． ★【题型 2】完全平方公式的辨析 【例题2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列选项与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·上海·月考）下列算式能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． ★【题型 3】利用完全平方公式进行简便运算 【例题3】（25-26七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算． (1) (2)； 【变式1】（25-26八年级上·福建南平·期末）下列等式中，成立的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·开学考试）计算： ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法进行计算： (1)． (2)． 【知识点二】平方差公式 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.即 . ★【题型 4】利用平方差公式进行计算 【例题4】（2026七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）已知，则 ． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ★【题型 5】平方差公式的辨析 【例题5】（25-26八年级上·天津和平·月考）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列算式中不能利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）不能用平方差公式运算的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·北京房山·期中）下列整式乘法中，能运用完全平方公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． ★【题型 6】利用平方差公式进行简便运算 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D．2026 【变式2】（25-26七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式计算： (1)； (2)． 培优篇 ★★【题型 7】求完全平公式中的字母 【例题7】（25-26八年级上·河南安阳·月考）代数式是一个完全平方式，则 ． 【变式1】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）若代数式可以配方为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若是完全平方式，则m的值为（ ） A． B．5 C． D．或5 【变式3】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是 ． ★★【题型 8】平方差公式与完全平方公式运用的辨析 【例题8】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下列应用乘法公式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·江西赣州·期末）下列各式使用乘法公式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东德州·月考）下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·月考）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． ★★【题型 9】构造平方差公式进行运算化简 【例题9】（24-25七年级下·广西来宾·期中）数学课上在学习乘法公式应用时，王老师和同学们一起应用乘法公式计算： 请借鉴以上方法计算： ． 【变式1】（23-24八年级上·北京·期中）丽丽在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式，很快得到计算结果． ① ； 请参考丽丽的方法进行运算： ②的值为 ． 【变式2】（23-24八年级上·福建泉州·月考）用乘法公式计算的结果（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·湖南衡阳·月考）求的值，可以采用下面方法： 解：令 由等式的基本性质二得： 由平方差公式得： 请仿照上面的推理，计算出： ．（补充：平方差公式：，例） ★★【题型 10】利用完全平方公式变形公式化简求值 【例题10】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，计算下列各式的值： （1） ； （2） ． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，那么的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 【变式2】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·重庆黔江·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． ★★【题型 11】利用完全平方公式和平方差公式综合计算 【例题11】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子中，不能运用乘法公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）运用乘法公式计算： (1)． (2)． 【变式3】（25-26八年级上·天津河西·月考）利用乘法公式计算： (1) (2). ★★【题型 12】利用完全平方公式和平方差公式综合化简求值 【例题12】（25-26八年级上·江西赣州·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知与 是同类项，先化简，再求值． 【变式3】（23-24七年级上·上海·期中）代数式： (1)当时，求代数式的值； (2)如果代数式的值等于10时，求x的值． ★★【题型 13】图形面积中的完全平方公式 【例题13】（25-26七年级上·山东济南·期末）数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题． 例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：． (1)观察图2，根据图中阴影部分的面积可以解释数学乘法公式____________； (2)观察图3，根据图中大正方形的面积可以解释数学乘法公式____________； (3)若，根据（2）中所得的公式，求的值； (4)若满足，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，阴影部分是两个正方形．若两个正方形面积的和与周长的和分别为5，12，则图中两个空白长方形的面积之和等于 ． 【变式3】（24-25六年级上·上海·期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形；           (1)A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为 平方厘米； ①从这10块纸板中拿掉一块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为 厘米； ②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的边长是多少厘米？（计算说明） (2)A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉一块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出三个相同形状的大正方形，请接写出大正方形的边长． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·湖北黄冈·期末）若，则（   ） A．3 B．6 C． D． 5．（2025·山东聊城·二模）发现：……依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．7 B．9 C．3 D．1 6．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是 ． 8．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 9．（2024·天津·模拟预测）已知，则 ． 10．（2025·江苏无锡·一模）若是一个完全平方式，则 ． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为 ． 12．（2025·安徽滁州·二模）观察下列各式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题． (1)第五个等式：____________________． (2)猜想第个等式：____________________（用含的代数式表示），并证明． （三）填空题（4题） 13．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 14．（2024·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 15．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 16．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， (1)写出第个式子： ． (2)按照以上规律，第个等式为 ，写出证明过程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $