专题 8.8 乘法公式（专项练习）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.8 乘法公式（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列式子中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的形式为． 判断各选项是否符合的形式即可． 解：A．，不符合的形式； B．，符合的形式； C．，不符合的形式； D．，不符合的形式； 故选：B． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，幂的乘方运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据平方差公式、完全平方公式及幂的乘方法则，对四个式子逐一分析，再作判断． 解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 3．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的应用，将视作整体是解题的关键． 通过设，将原式按平方差公式进行化简，然后解方程求解即可． 解：∵， 设， ∴， ， ， 得， 即， 故选D． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，将一个正方形分成面积为、、、四部分，则原正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何意义，熟练运用完全平方公式是做题的关键．四部分的面积和正好是大正方形的面积，根据面积公式即可求得边长． 解：由题意和图可知，， ∴原正方形的边长为． 故选：A． 5．（25-26九年级上·全国·期末）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，平方差公式，多项式的乘法，同底数幂的乘法． 逐一计算后判断即可． 解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，与右边一致，正确； 选项D：，错误； 故选：C． 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）小明在做作业时，发现有一道题抄题时没有注意少抄了一部分：，而这道题计算的结果是，你觉得小明少抄的这一部分应是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的乘法运算及其逆运算的含义，由逆运算可得，再与条件比对可得答案． 解：∵， ∴由完全平方公式的逆运算可得：， ∵， ∴由平方差公式的逆运算可得： ； ∴， ∴小明少抄的这一部分应是：， 故选：C 7．（2024七年级下·江苏无锡·专题练习）若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么原有战士（   ）人． A．904 B．480 C．240 D．360 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用，设原来每一列中有n人，则8列一共有人，增加120人后组成一个方阵的边长为a，减少120人后组成一个方阵的边长为b，由题意得，，，且a、b都是4的倍数，进而得，再利用240的约数情况进行讨论，求出a、b的值即可求解． 解：设原来每一列中有n人，则8列一共有人，增加120人后组成一个正方形队列的边长为a，减少120人后组成一个正方形队列的边长为b， ∴增加120人后组成一个正方形队列总人数为，减少120人后组成一个正方形队列总人数为，且a、b都是4的倍数， 由此可得，， ∴， ， ∴当时，满足， 则人， 当时，满足， 则人， ∴原有战士有904人或136人， 故选：A． 8．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，由已知得，即得，进而得到，即得到，再利用完全平方公式即可求解，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 两边除以 ，得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故选：． 9．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（     ） A．97 B．95 C．64 D．65 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握． 如果一个数是杨梅数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是杨梅数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“杨梅数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“杨梅数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是“杨梅数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“杨梅数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“杨梅数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“杨梅数”， 此后，每连续四个数中有三个“杨梅数”． ，， 64是第46个“杨梅数”， 65是第47个“杨梅数”． 故选∶D． 10．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求几何图形面积；设扩大后的广场的长为米，宽，可得，，进而可得，再由圆面积公式计算即可． 解：设扩大后的广场的长为米，宽米，依题意得：， ， ∴ ∵花圃的总面积， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 解： ， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知多项式是完全平方式，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特点列出关于的方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：∵多项式是完全平方式， ∴， 解得或， 故答案为：或． 13．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）已知，，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是将所求式子转化为含与的形式，再代入已知条件计算． 先将变形为，再代入与进行计算． 解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若是一个完全平方式，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义，将表达式与标准形式比较系数，得出关于k的方程并求解即可 解：∵是完全平方式， ∴可表示为， 可知， 即． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值和单项式乘多项式等，掌握降幂求解是解题的关键． 先将进行化简，再对进行降幂求解即可． 解：∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·天津北辰·月考）若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握知识点是解题的关键． 将已知等式左边用完全平方公式展开，得到关于的表达式，再通过代数运算求解即可． 解：， ， ， ∴． 故答案为：16． 17．（25-26七年级下·全国·周测）若，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，掌握整体代入的方法，通过已知方程变形直接代入代数式，避免了复杂的解方程过程，是解题的关键． 由已知方程 变形得到 ，代入代数式化简，利用 求值． 解：由 ，得 ． 代入代数式 ． 又∵ ，即 ， ∴ ． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·福建漳州·期末）若，则下列说法： （1）；（2）； （3）；（4）． 其中正确结论的序号为 ． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘法的系数问题，熟练掌握利用特殊值法求系数和是解题的关键．本题可通过代入特殊值、、来分别求出、各项系数和、奇数项与偶数项系数和，再通过联立方程求出，从而逐一判断各结论的正确性． 解：（1）令，， ， ，故（1）正确． （2）令，， ， ，故（2）正确． （3）令，得， 即， 两边同乘得，即， 故（3）正确． （4）由（2）得， 由可得， 得，即， 又，代入得， 所以，故（4）错误． 故答案为：（1）（2）（3）． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，将103表示为100与3的和进行计算； （2）先将5化为6-1，再连续应用平方差公式逐步化简式子． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】第（1）题：核心技巧是凑整 + 完全平方公式，将接近整百的数拆分，简化计算；第（2）题：核心技巧是构造平方差公式，通过将 5 转化为 6−1，连续使用平方差公式，实现 “连锁化简”． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·天津·月考）运用乘法公式计算 (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式、以及平方差公式． （1）根据完全平方公式即可求出答案； （2）根据平方差公式即可求出答案； （3）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案； （4）根据完全平方公式即可求出答案． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东临沂·月考）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)．其中，． 【答案】(1)；4 (2)；4 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式进行化简，再将，代入化简后的式子，计算求解即可； （2）根据完全平方公式和除法分配律进行化简，再将所给值代入化简后的式子，计算求解即可． （1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·天津蓟州·月考）已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （2）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （3）根据，即可求解． （1）解：，， ； （2）解：，， ； （3）解：，， ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）先化简，再求值 (1)，其中． (2)化简求值，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质． （1）先根据单项式与多项式的乘法法则、乘法公式化简，再去括号合并同类项，然后把代入计算； （2）先根据整式的运算法则化简，再根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可． （1）解：原式 ， 当，b＝－1时， 原式 ； （2）解：原式 ＝ ＝ ＝， ∵， ∴， ∴， 原式． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级上·广东江门·月考）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________． （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 【答案】（1） （2）①1，，② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键． （1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到； （2）①由（1）得到，把，，代入求，再利用完全平方公式求的值； ②由完全平方公式可知，，即则的值可求． （1）方法一：图②中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即； 方法二：图②中的阴影部分的正方形的边长等于，所以其面积为； ∴； 故答案为：； （2）①由（1）可知 ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． ②∵， ∴ 即， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.8 乘法公式（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列式子中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，将一个正方形分成面积为、、、四部分，则原正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·全国·期末）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）小明在做作业时，发现有一道题抄题时没有注意少抄了一部分：，而这道题计算的结果是，你觉得小明少抄的这一部分应是（   ） A．a B．b C． D． 7．（2024七年级下·江苏无锡·专题练习）若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么原有战士（   ）人． A．904 B．480 C．240 D．360 8．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（     ） A．97 B．95 C．64 D．65 10．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中） ． 12．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知多项式是完全平方式，则的值是 ． 13．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）已知，，则 ． 14．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若是一个完全平方式，则k的值为 ． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则代数式的值是 ． 16．（25-26八年级上·天津北辰·月考）若，则 ． 17．（25-26七年级下·全国·周测）若，代数式的值是 ． 18．（25-26七年级上·福建漳州·期末）若，则下列说法： （1）；（2）； （3）；（4）． 其中正确结论的序号为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·天津·月考）运用乘法公式计算 (1)； (2) (3)； (4) 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东临沂·月考）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)．其中，． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·天津蓟州·月考）已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）先化简，再求值 (1)，其中． (2)化简求值，其中 24．（本小题满分12分）（23-24八年级上·广东江门·月考）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________． （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $