专题 8.3 多项式乘多项式（知识梳理+题型精析+模拟真题）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.3 多项式乘多项式（知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 基础篇 2 【知识点一】多项式乘多项式 2 ★【题型 1】直接进行多项式乘多项式进行运算 2 【知识点二】型多项式乘法 2 ★【题型 2】利用进行运算或求字母的值 2 【知识点三】多项式乘多项式的化简求值 3 ★【题型 3】多项式乘多项式化简求值 3 培优篇 4 【知识点四】已知多项式乘积不含某一项求字母的值 4 ★【题型 4】多项式乘多项式不含某项字母的值问题 4 【知识点五】多项式乘多项式与图形面积 5 ★【题型 5】多项式乘多项式与图形面积问题 5 【知识点六】多项式乘法中的规律性问题 6 ★【题型 6】多项式乘多项式规律探究 6 【知识点七】整式乘法混合运算 8 ★【题型 7】整式乘法混合运算 8 二.中考模拟真题 8 （一）单选题（5题） 8 （二）填空题（5题） 9 （三）填空题（3题） 10 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 基础篇 【知识点一】多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即： ★【题型 1】直接进行多项式乘多项式进行运算 【例题1】（苏科版七下第15页练习第5题改编）（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【知识点二】型多项式乘法 公式： 核心：一次项系数是两常数之和，常数项是两常数之积. ★【题型 2】利用进行运算或求字母的值 【例题2】（2026七年级下·全国·专题练习）已知．请用表示p． 【变式1】（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 【变式2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）若，则 ． 【变式3】（20-21七年级下·湖南张家界·期末）回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【知识点三】多项式乘多项式的化简求值 步骤：先按法则展开并合并同类项，再代入数值计算。 ★【题型 3】多项式乘多项式化简求值 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 【变式1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）若，，则的值是 ． 【变式3】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 培优篇 【知识点四】已知多项式乘积不含某一项求字母的值 解题方法：展开后令对应项的系数为 0，解方程求字母。 ★【题型 4】多项式乘多项式不含某项字母的值问题 【例题4】（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【变式1】（25-26七年级下·全国·单元测试）若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【变式2】（25-26八年级上·天津南开·月考）若的展开式不含x的二次项，则a的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【知识点五】多项式乘多项式与图形面积 用多项式乘法表示图形面积，或通过面积验证乘法公式。 ★【题型 5】多项式乘多项式与图形面积问题 【例题5】（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积（化为最简）； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积（化为最简）； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图是一块长方形菜地，在菜地中修有两条互相交叉的长方形小路，剩余部分种植蔬菜．种植蔬菜每平方米的种子成本是4元，人工成本是16元，当，，则这块菜地种植蔬菜的成本是（   ）元 A．11400 B．12000 C．12600 D．13200 【变式2】（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为 ． 【变式3】（25-26八年级上·江西宜春·月考）某社区利用一块长方形空地修建了一个停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺水泥花砖，剩余部分均是宽度为米的道路． (1)求铺水泥花砖部分的面积．（用含的代数式表示，结果需要化简） (2)已知水泥花砖的铺设成本为每平方米元，当时，求铺设水泥花砖的费用． 【知识点六】多项式乘法中的规律性问题 探究特殊形式多项式相乘的规律，如(x+a)(x+b)(x+c)等。 ★【题型 6】多项式乘多项式规律探究 【例题6】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（    ） A．6 B．64 C．15 D．20 【变式2】（25-26八年级上·四川广元·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．若，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·江西宜春·期末）探索题： 根据前面的规律，回答下列问题： (1)_________； (2)当时，________； (3)求：的值．（请写出解题过程）； 【知识点七】整式乘法混合运算 综合运用单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式法则进行运算。 ★【题型 7】整式乘法混合运算 【例题7】（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·月考）已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【变式2】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则= ． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 二.中考模拟真题 （一）单选题（5题） 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 2．（2025·河南·模拟预测）如图，一张大正方形纸片的边长为，现将其中相邻两边都剪去宽为的矩形纸片，剩下的小正方形纸片的面积比原来的大正方形纸片面积减少了（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北石家庄·一模）如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（2025·河南周口·三模）观察下列式子：，，，…下列代数式中能表示其中蕴含规律的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n是非负整数）展开式的项数及各项系数有关的规律如下图： 例如：，那么展开式中的系数为（    ） A．27 B． C．108 D． （二）填空题（5题） 6．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 7．（2025·重庆·一模）已知，则 ． 8．（2025·湖北·二模）若，，则＝ ． 9．（2025·山东淄博·二模）如果是关于x的多项式的一个因式，则常数m的值为 ． 10．（2025·陕西铜川·模拟预测）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与下侧的等式图，根据图中各式的规律可得展开的多项式中各项系数之和为 ． （三）填空题（3题） 11．（2024·陕西·中考真题）计算：． 12．（2025·安徽亳州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 13．（2025·安徽滁州·二模）观察下列等式． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)仿照上面的书写格式：______． (2)设等式左边的两个两位数分别是，，其中，用含m，a，b的等式表示上述规律，并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.3 多项式乘多项式（知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 基础篇 1 【知识点一】多项式乘多项式 1 ★【题型 1】直接进行多项式乘多项式进行运算 2 【知识点二】型多项式乘法 4 ★【题型 2】利用进行运算或求字母的值 4 【知识点三】多项式乘多项式的化简求值 7 ★【题型 3】多项式乘多项式化简求值 7 培优篇 9 【知识点四】已知多项式乘积不含某一项求字母的值 9 ★【题型 4】多项式乘多项式不含某项字母的值问题 10 【知识点五】多项式乘多项式与图形面积 12 ★【题型 5】多项式乘多项式与图形面积问题 12 【知识点六】多项式乘法中的规律性问题 16 ★【题型 6】多项式乘多项式规律探究 16 【知识点七】整式乘法混合运算 19 ★【题型 7】整式乘法混合运算 19 二.中考模拟真题 22 （一）单选题（5题） 22 （二）填空题（5题） 25 （三）填空题（3题） 27 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 基础篇 【知识点一】多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即： ★【题型 1】直接进行多项式乘多项式进行运算 【例题1】（苏科版七下第15页练习第5题改编）（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法，掌握多项式乘多项式法则、乘法公式是解题关键． （1）（2）（3）（4）利用多项式乘多项式法则展开计算即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 对每个选项运用多项式乘法法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出结果错误的选项． 解：A、与右边相等，正确，不符合题意； B、与右边相等，正确，不符合题意； C、而选项右边是，错误，符合题意； D、与右边相等，正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，根据整式的运算法则即可求出答案，熟练掌握整式的运算法是解决此题的关键． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号，掌握相应的运算法则是关键． （1）利用多项式乘多项式的法则即可解答； （2）先提取第二个多项式中的负号，然后利用多项式乘多项式的法则进行计算，最后去括号即可解答； （3）先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项，即可解答． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【知识点二】型多项式乘法 公式： 核心：一次项系数是两常数之和，常数项是两常数之积. ★【题型 2】利用进行运算或求字母的值 【例题2】（2026七年级下·全国·专题练习）已知．请用表示p． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；先把等式右边进行化简，然后对比等式两边的系数，进而问题可求解． 解：由题意得：， ∵， ∴， 即． 【变式1】（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘法的应用，代数式求值等知识点，掌握多项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 按照多项式的乘法法则进行计算后可得，然后代入代数式求解即可． 解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【变式2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】这道题是一个多项式乘法与等式的问题．需要通过展开左边的乘积，并将其与右边的表达式进行比较，从而确定和的值．然后利用这些值计算．本题主要考查了多项式乘法，熟练掌握多项式展开及系数比较方法是解题的关键． 解： ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 【变式3】（20-21七年级下·湖南张家界·期末）回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【答案】(1)①；②； ③； (2)； (3)①；② (4)7或或5或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子； （2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式； （3）利用（2）总结的公式直接计算； （4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值． （1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：① ； ② ； （4）解：因为， 所以，． 因为，均为整数，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 所以的所有可能值为7或或5或． 【知识点三】多项式乘多项式的化简求值 步骤：先按法则展开并合并同类项，再代入数值计算。 ★【题型 3】多项式乘多项式化简求值 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键． （1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值； （2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算． （1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解： ． 当，时， 原式． 【变式1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和求代数式的值，利用整体思想降幂是解题的关键． 先表示出，的值，然后代入代数式降幂计算即可． 解：， ，， 故选：C 【变式2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）若，，则的值是 ． 【答案】// 本题考查代数式的求值、多项式乘多项式的运算法则，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式法则将展开即可得出结果． 【分析】解： ∵，， ∴原式 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)58 【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解． （1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 培优篇 【知识点四】已知多项式乘积不含某一项求字母的值 解题方法：展开后令对应项的系数为 0，解方程求字母。 ★【题型 4】多项式乘多项式不含某项字母的值问题 【例题4】（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． （1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 【变式1】（25-26七年级下·全国·单元测试）若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，掌握不含某一项即该项的系数为的原则，以及准确找出所有生成目标项的项是解题的关键． 展开多项式乘积，找出所有产生项的项，令其系数之和为零，解出的值． 解：∵原式为， 项来源于： ∴项系数为， ∵计算结果不含项， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·天津南开·月考）若的展开式不含x的二次项，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式的乘法． 将多项式展开后，根据不含项的条件，令项的系数为零，求解a的值即可． 解：， ∵的展开式不含x的二次项， ∴， 解得． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 【知识点五】多项式乘多项式与图形面积 用多项式乘法表示图形面积，或通过面积验证乘法公式。 ★【题型 5】多项式乘多项式与图形面积问题 【例题5】（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积（化为最简）； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积（化为最简）； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题考查了整式混合运算的应用； （1）由图得，化简即可求解； （2）由图得，化简即可求解； （3）将，代入（2）中所求的面积，再求出费用，即可求解． （1）解：花园的面积为 （）； （2）解：由题意得 （）； 故铺设地砖的面积为； （3）解：当，时， （）， （元）， 故购买所需地砖需要元． 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图是一块长方形菜地，在菜地中修有两条互相交叉的长方形小路，剩余部分种植蔬菜．种植蔬菜每平方米的种子成本是4元，人工成本是16元，当，，则这块菜地种植蔬菜的成本是（   ）元 A．11400 B．12000 C．12600 D．13200 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，以及代数式求值等知识． 根据种植蔬菜的部分的面积菜地的面积两条小路的面积表示出种植蔬菜的部分的面积，再代入求出面积，再根据面积乘以每平方米的费用计算即可． 解：种植蔬菜的部分的面积菜地的面积两条小路的面积， 即： ， 当时， ， 所以这块菜地种植蔬菜需要的成本是元． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式、整式混合运算等知识，根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形，分别求出新长方形长和宽，再计算面积即可． 根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形， 新长方形的长为， 新长方形的宽为， 则阴影部分的面积为 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江西宜春·月考）某社区利用一块长方形空地修建了一个停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺水泥花砖，剩余部分均是宽度为米的道路． (1)求铺水泥花砖部分的面积．（用含的代数式表示，结果需要化简） (2)已知水泥花砖的铺设成本为每平方米元，当时，求铺设水泥花砖的费用． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查了平移的性质，多项式乘以多项式与图形的面积，代数式求值． （1）用平移法，计算阴影部分的面积为长为米，宽为的长方形的面积； （2）将代入（1）中代数式，再乘以，即可求解． （1）解：铺水泥花砖部分的面积为平方米 （2）解：当时，铺设水泥花砖的费用为元 【知识点六】多项式乘法中的规律性问题 探究特殊形式多项式相乘的规律，如(x+a)(x+b)(x+c)等。 ★【题型 6】多项式乘多项式规律探究 【例题6】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1) (2)11，45； (3) (4)32 【分析】本题考查了二项式乘方的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第三项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； （1）解：依题意，， ∴图中括号内的数为； （2）解：展开式有项， ，展开式有项，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为3，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为6，第三项系数为； 展开式有项，第3项系数为，第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，第三项的系数， ∴展开式共有11项，第3项系数为， 故答案为：11，45； （3）解：根据图示，， 故答案为：； （4）解：依题意， 当时，， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（    ） A．6 B．64 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 根据，，，等的规律，可判断出的展开式，由此得出答案． 解：通过观察已给出的表达式， 可推出每下一阶的系数为它上方两个数之和， 故时，其系数为1，5，10，10，5，1， 时，其系数为1，6，15，20，15，6，1， 故， 故的系数为， 故选D． 【变式2】（25-26八年级上·四川广元·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键：分别令和，进行求解即可． 解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江西宜春·期末）探索题： 根据前面的规律，回答下列问题： (1)_________； (2)当时，________； (3)求：的值．（请写出解题过程）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究及应用，解题的关键是通过已知等式总结出与多项式相乘的规律，并利用规律解题． （1）根据所给的四个等式归纳规律解答即可； （2）把，代入（1）中的等式求值即可； （3）根据（1）中得到的规律，在所求的代数式前添加，然后再计算即可． （1）解：由所给的四个等式，可归纳出：； 故答案为：； （2）解：当时，； 故答案为：； （3）解：原式 ． 【知识点七】整式乘法混合运算 综合运用单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式法则进行运算。 ★【题型 7】整式乘法混合运算 【例题7】（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． （1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·月考）已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则= ． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以多项式，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 二.中考模拟真题 （一）单选题（5题） 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先展开，再结合，则，即可作答． 解：依题意，， ∵， ∴， 故选：A 2．（2025·河南·模拟预测）如图，一张大正方形纸片的边长为，现将其中相邻两边都剪去宽为的矩形纸片，剩下的小正方形纸片的面积比原来的大正方形纸片面积减少了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的加减法，表示出面积是解答关键． 根据题意分别表示出剩下的小正方形纸片的面积比原来的大正方形纸片面积，再利用整式加减法的运算法则求解． 解：原大正方形纸片的边长为，现小正方形纸片的边长为， 则原大正方形纸片的面积为， 现小正方形纸片的面积为， 面积减少了， 化简为， 故选：B． 3．（2025·河北石家庄·一模）如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据矩形的面积公式列式计算，算出每个选项的结果，再与进行比较，即可作答． 解：A、，故该选项不符合题意， B、，故该选项符合题意， C、，故该选项不符合题意， D、，故该选项不符合题意， 故选：B． 4．（2025·河南周口·三模）观察下列式子：，，，…下列代数式中能表示其中蕴含规律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律型：数字的变化，解题的关键是观察题目中的各式子的结果发现其中的规律，运用类比的数学思想得到类似的规律． 观察各算式中的乘数及乘积规律，发现两个乘数的十位数字相同，个位分别为4和6，乘积末两位恒为24，前几位为十位数字与其下一个数的乘积． 解：两个十位数字相同，个位数字分别为4和6的两位数相乘，设十位数字为，则两乘数分别为和． 计算乘积：， 验证选项A的等式成立，且符合所有例子中的规律． 其他选项展开后均无法匹配该规律， 故选：A． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n是非负整数）展开式的项数及各项系数有关的规律如下图： 例如：，那么展开式中的系数为（    ） A．27 B． C．108 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘法运算，数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，每一行第二项的系数等于上一行第一项与第二项的系数之和，即可求出的展开式中从左起第二项的系数，即可求解． 解：展开式中第二项为 故选：D． （二）填空题（5题） 6．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用法则去括号，再合并同类项即可． ， ， ， ， 故答案为：． 7．（2025·重庆·一模）已知，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了多项式与多形式的乘法，单项式与多项式的乘法，及整体代入法求代数式的值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多形式的乘法、单项式与多项式的乘法运算法则化简，再把代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：16． 8．（2025·湖北·二模）若，，则＝ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再代入相应的值运算即可． 解： ， 当，时， 原式． 故答案为：2． 9．（2025·山东淄博·二模）如果是关于x的多项式的一个因式，则常数m的值为 ． 【答案】1 解：根据题意可得，多项式分解因式后含有因式， ， 则， 故答案为：1． 10．（2025·陕西铜川·模拟预测）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与下侧的等式图，根据图中各式的规律可得展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了乘方及数字变化规律．根据图形中的规律，即可求出的各项系数的和． 解：展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， ∴展开的多项式中各项系数之和为， 故答案为：32． （三）填空题（3题） 11．（2024·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则进行展开，再合并同类项，即可作答． 解： 12．（2025·安徽亳州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，化简求值，先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，得到化简的结果，再把代入计算即可． 解： ； 当时， 原式． 13．（2025·安徽滁州·二模）观察下列等式． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)仿照上面的书写格式：______． (2)设等式左边的两个两位数分别是，，其中，用含m，a，b的等式表示上述规律，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，多项式与多项式的乘法，单项式与多项式的乘法，解题的关键是找到规律，正确推理． （1）观察规律：题目中的例子均为十位数字相同、个位数字之和为10的两位数相乘，其结果可分解为两部分：十位数字与比十位数字大1的乘积扩大100倍，加上个位数字的乘积． （2）代数表达：将具体数字抽象为代数形式，通过展开验证规律的正确性． （1）和41的十位均为4，个位，符合题目规律． 按照规律，结果应为：； 故答案为：； （2）规律表达式：， 证明：展开左边：， 代入条件：由，得：， 整理右边：， 左右两边相等， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $