23.1～23.2一次函数的概念、一次函数的图象和性质寒假预习讲义-2025-2026学年人教版八年级下学期数学（知识点归纳+核心考点+综合

23.1～23.2一次函数的概念、一次函数的图象和性质 寒假预习讲义(人教版) 💦 预习内容速览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.巩固提升★综合测试 ✅ 课前预习★目标 1.理解一次函数的定义，掌握一次函数的一般形式 y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）； 2.明确正比例函数与一次函数的联系与区别，知道正比例函数是特殊的一次函数； 3.认识一次函数的图象是一条直线，掌握一次函数图象的基本画法； 4.初步感知 k、b 对一次函数图象位置与增减性的影响； 5.经历画函数图象的过程，体会数形结合思想在一次函数中的应用； 6.感受一次函数与实际生活的联系，提升学习函数的兴趣。 ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1一次函数的定义】 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数． 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx（k ≠0），叫做正比例函数。正比例函数是一种特殊的一次函数． 【知识点2一次函数图象和性质】 一次函数图象与性质用表格概括如下： 增减性 k>0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b>0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b>0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1．若两直线平行，则； 2．若两直线垂直，则 【知识点3正比例函数的定义】 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 【知识点4正比例函数图像和性质】 正比例函数图象与性质用表格概括如下： k的符号 图像 经过象限 性质 k>0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 2．确定正比例函数表达式的一般步骤： （1）设--设出函数表达式，如y=kx(k≠0)； （2）代--把已知条件代入y=kx中； （3）求--解方程求未知数k； （4）写--写出正比例函数的表达式 【知识点5常用题型思路】 1.求解析式：待定系数法，设 y=kx+b，代入两点列方程组； 2.比较函数值大小：看 k 正负，直接用增减性判断； 3.求交点：联立两个解析式解方程。 ✏ 核心考点★精讲精练 题型1正比例函数的定义 例1．下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如果函数是正比例函数，那么 ． 变式2．个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数（千克）与售价（元）的关系如下表： 1 2 3 4 5 (1)售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为_____． (2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款多少元？ 题型2识别一次函数 例2．下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．下列关系：①汽车以的速度行驶，行驶路程ykm与行驶时间xh之间的关系；②圆的面积与它的半径xcm之间的关系；③一棵树现在高50cm，每个月长高2cm，x个月后这棵树的高度为ycm；④某种大米的单价是2.2元，花费y元与购买大米xkg之间的关系．其中，y是x的一次函数的是 （填序号）． 变式2．分别写出下列函数表达式，并指出哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数． (1)面积为10的三角形的底与底边上的高之间的关系； (2)一条边长为8的长方形的周长与它的邻边之间的关系； (3)汽车每小时行驶40km，行驶的路程和时间之间的关系． 题型3根据一次函数的定义求参数 例3．若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 变式1．关于x的函数是一次函数，则m的值为 ． 变式2．已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 题型4求一次函数自变量或函数值 例4．下列各点，在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 变式1．与自变量的关系如图所示，当的值每增加1时，的值增加 ． 变式2．已知点在函数的图像上，求点的坐标． 题型5列一次函数解析式并求值 例5．一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 变式1．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 变式2．已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 题型6正比例函数的图象 例6．正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 变式1．如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用“”号连接） 变式2．已知函数．若该函数图象经过原点： (1)求的值； (2)该函数的图像经过第________象限． 题型7正比例函数的性质 例7．一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为（    ） A． B． C． D． 变式1．已知正比例函数，当时，则的值为 ． 变式2．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)判断点是否在函数图像上． 题型8判断一次函数的图象 例8．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式1．直线经过点，则 变式2．已知一次函数的图象过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上． 题型9根据一次函数解析式判断其经过的象限 例9．若，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的图象不经过第 象限. 变式2．已知一次函数（为常数，）． (1)若该函数的图像经过原点，求一次函数表达式； (2)当时，该函数图像不经过第_______象限． 题型10已知函数经过的象限求参数范围 例10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1．请任意写出一个满足下列两个条件的一次函数的表达式： ． ①图像不经过第一象限；②不是正比例函数． 变式2．已知一次函数 (1)若函数图象在轴上的截距为，求的值 (2)若函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 题型11一次函数图象与坐标轴的交点问题 例11．在一次函数中，的值每增加2，的值就增加1，则一次函数与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且，则的值为 ． 变式2．如图，直线：与x轴交于点A，经过点的直线与直线交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 题型12画一次函数图象 例12．用描点法画一次函数图象时，某同学列了如下表格，有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） x 1 2 y 3 1 A． B． C． D． 变式1．在平面直角坐标系中，过点向直线作垂线，则垂线的最大长度为 ． 变式2．在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． (1)； (2)； (3)； 题型13一次函数图象平移问题 例13．将直线向上平移2个单位长度后得到的函数表达式是（    ）． A． B． C． D． 变式1．直线是由直线向 （填“上”、“下”）平移 个单位长度得到的． 变式2．已知函数． (1)若函数的图象平行于直线，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限，请直接写出一个符合条件的m的值． 题型14一次函数图象与对称问题 例14．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 变式1．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为 ． 变式2．若一次函数与的图像关于y轴对称，则 ， ． 题型15一次函数图象与旋转问题 例15．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 变式1．已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是 ． 变式2．对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 题型16判断一次函数的增减性 例16．下列函数中，的值随着值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知一次函数，当时，的最大值是 ． 变式2．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求x的取值范围． 题型17根据一次函数增减性求参数 例17．在平面直角坐标系中，点A，均在直线上．若，则k的值可能为（    ） A． B． C． D．2 变式1．若一次函数的图像经过点和点，当时，，则的取值范围是 ． 变式2．为进一步强化体育评价，培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式．提升学生身体素质和综合素养．某中学要配足体育训练器材，准备向体育用品批发公司采购一批足球和跳绳．根据以下素材，解决问题： 素材一 素材二 已知每个足球定价150元，每根跳绳定价30元． 该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案： 方案：足球和跳绳都按定价的九折付款； 方案：买一个足球送一根跳绳． 该中学计划购买足球50个，跳绳（大于50）根． 问题解决 （1）任务一：请用含的代数式分别表示出两种方案需付的费用． （2）任务二：若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 题型18根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 例18．若点都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较大小 变式1．已知直线经过点．若，则的取值范围是 ． 变式2．如图，一次函数的图像与轴相交于点，与轴交于点，点的坐标是． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求自变量的取值范围． 题型19比较一次函数值的大小 例19．已知，是直线上的两个点，则、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知点，都在直线上，则 ．（填“＜”或“＞”或“＝”） 变式2．已知，是一次函数的图像上的两点，且，比较与的大小，并说明理由． 题型20一次函数的规律探究问题 例20．正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式1．将正方形，，按如图所示方式放置，点，，……和点，，，……分别在直线和x轴上，则的坐标是 ． 变式2．某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）． (1)按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示） (2)已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少． 题型21求一次函数解析式 例21．一次函数的图像经过点和，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 变式1．某超市购进一批儿童玩具，经市场调研发现每日销售数量y（个）是销售单价x（元）的一次函数，y与x的部分数据如下表： 销售单价x/元 … 20 22 24 … 每日销售数量y/个 … 60 56 52 … 根据上述信息可知，y关于x的函数表达式为 ． 变式2．已知是的正比例函数，且当时，．求与之间的函数表达式． ✍ 巩固提升★综合测试 一、单选题 1．下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．一次函数（，k为常数）的图象关于x轴对称后的图象经过点，则k的值为（    ） A． B．2 C．1 D． 3．已知一次函数，则下列各点中可能在这个函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 4．四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 5．一次函数中，若，且y随着x的增大而减小，则其图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B．5 C．3 D． 7．在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 8．若关于x的一次函数的图象经过点，且不经过第三象限，记，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 10．已知一次函数的图象经过点，点均在一次函数的图象上，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知点在正比例函数的图象上，那么这个函数的解析式为 ． 12．当 时，关于x的函数是一次函数． 13．已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是 ． 14．一次函数的图象向左平移8个单位后经过点，则b的值为 ． 15．当时，函数，为常数有最大值，则的值为 ． 16．A、B、C三名同学观察完某个一次函数的图象，描述如下：：函数的图象经过点；随的增大而减小；函数的图象不经过第一象限．写出满足上述三条性质的一个函数表达式为 ． 17．鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为 （用含的代数式表示）． 18．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，则 ． 19．一次函数的图象如图所示，当 时，；当x 时，． 20．正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是 ． 三、解答题 21．已知与x成正比，且当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，请直接写出x的取值范围为_________． 22．已知是的正比例函数，并且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时，函数y的值． 23．已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 24．一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 25．已知将二元一次方程化为一次函数后，经过画图发现，其图象与x轴的交点的横坐标为． (1)请将二元一次方程化为一次函数的形式． (2)这个函数的图象不经过第几象限？ (3)求这个一次函数的图象与y轴的交点坐标． 26．已知函数是关于的一次函数． (1)求的值． (2)求出一次函数图象与轴、轴的交点坐标，并在下图中画出该函数的图象． (3)的值随的值的增大而____________（填“增大”或“减小”）． 27．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 0 ．．． 则___________，___________； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据图象可知当时，的值是___________； ②观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值： (4)下列关于该函数性质的描述正确的是___________（填序号）． ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，随的增大而增大； ③当时随的增大而减小． 28．如图是函数的一部分图象，利用图象回答： (1)求自变量的取值范围； (2)当取什么值时，的值最小，最小值是多少？ 29．已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； (3)观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． … 1 … 30．正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.1～23.2一次函数的概念、一次函数的图象和性质 寒假预习讲义(人教版) 💦 预习内容速览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.巩固提升★综合测试 ✅ 课前预习★目标 1.理解一次函数的定义，掌握一次函数的一般形式 y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）； 2.明确正比例函数与一次函数的联系与区别，知道正比例函数是特殊的一次函数； 3.认识一次函数的图象是一条直线，掌握一次函数图象的基本画法； 4.初步感知 k、b 对一次函数图象位置与增减性的影响； 5.经历画函数图象的过程，体会数形结合思想在一次函数中的应用； 6.感受一次函数与实际生活的联系，提升学习函数的兴趣。 ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1一次函数的定义】 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数． 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx（k ≠0），叫做正比例函数。正比例函数是一种特殊的一次函数． 【知识点2一次函数图象和性质】 一次函数图象与性质用表格概括如下： 增减性 k>0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b>0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b>0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1．若两直线平行，则； 2．若两直线垂直，则 【知识点3正比例函数的定义】 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 【知识点4正比例函数图像和性质】 正比例函数图象与性质用表格概括如下： k的符号 图像 经过象限 性质 k>0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 2．确定正比例函数表达式的一般步骤： （1）设--设出函数表达式，如y=kx(k≠0)； （2）代--把已知条件代入y=kx中； （3）求--解方程求未知数k； （4）写--写出正比例函数的表达式 【知识点5常用题型思路】 1.求解析式：待定系数法，设 y=kx+b，代入两点列方程组； 2.比较函数值大小：看 k 正负，直接用增减性判断； 3.求交点：联立两个解析式解方程。 ✏ 核心考点★精讲精练 题型1正比例函数的定义 例1．下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，掌握相关知识点是解题的关键． 根据形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一判断选项即可． 【详解】解：根据正比例函数的定义为形如（是常数，且）的函数，可知， A、 含常数项，不符合的形式，不是正比例函数，不符合题目要求； B、中的次数是，不符合的形式，不是正比例函数，不符合题目要求； C、可化为，不符合的形式，不是正比例函数，不符合题目要求； D、符合（）的形式，是正比例函数，符合题目要求． 故选：D． 变式1．如果函数是正比例函数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义，函数形式需为（其中），即指数为1且系数非零，据此列方程求解． 【详解】解：由正比例函数的定义，得且， 解得或且， 即． 故答案为：． 变式2．个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数（千克）与售价（元）的关系如下表： 1 2 3 4 5 (1)售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为_____． (2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款多少元？ 【答案】(1) (2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款378元 【分析】本题考查正比例函数关系式： （1）通过观察表格数据，发现售价y与卖出的苹果数量x成正比例关系，由此可解； （2）将代入（1）中关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由表可知，， 售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为：； （2）解：当时，， 即当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款378元． 题型2识别一次函数 例2．下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如 （、为常数，且）的函数是一次函数是解题的关键． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：①化简得，是一次函数，符合题意； ②不是一次函数，不符合题意； ③是一次函数，符合题意； ④不是一次函数，不符合题意； ⑤是一次函数，符合题意． 综上，一次函数有①③⑤，共3个． 故选：C． 变式1．下列关系：①汽车以的速度行驶，行驶路程ykm与行驶时间xh之间的关系；②圆的面积与它的半径xcm之间的关系；③一棵树现在高50cm，每个月长高2cm，x个月后这棵树的高度为ycm；④某种大米的单价是2.2元，花费y元与购买大米xkg之间的关系．其中，y是x的一次函数的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数的定义，函数关系式，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义：形如（，为常数且），即可解答． 【详解】解：①汽车以的速度行驶，行驶路程km与行驶时间h之间的关系为：，是一次函数，故①符合题意； ②圆的面积与它的半径xcm之间的关系为：，不是一次函数，故②不符合题意； ③一棵树现在高cm，每个月长高cm，x个月后这棵树的高度为ycm为：，是一次函数，故③符合题意； ④某种大米的单价是元，花费元与购买大米kg之间的关系为：，是一次函数，故④符合题意； ∴上述语句中，与是一次函数关系的有①③④． 故答案为：①③④． 变式2．分别写出下列函数表达式，并指出哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数． (1)面积为10的三角形的底与底边上的高之间的关系； (2)一条边长为8的长方形的周长与它的邻边之间的关系； (3)汽车每小时行驶40km，行驶的路程和时间之间的关系． 【答案】(1)，不是一次函数，不是正比例函数 (2)，是一次函数，不是正比例函数 (3)，是一次函数，也是正比例函数 【分析】（1）根据题意列出关系式，再判断即可； （2）根据题意列出关系式，再判断即可； （3）根据题意列出关系式，再判断即可． 【详解】（1）解：由，可得，不是一次函数，不是正比例函数； （2）由，可得，是一次函数，不是正比例函数； （3），是一次函数，也是正比例函数． 【点睛】本题考查的是函数关系式的确定与判定属于哪一种函数的问题，解决本题的关键是熟记函数的定义，掌握函数解析式的含义，以及一些常见的公式． 题型3根据一次函数的定义求参数 例3．若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，x 的系数不能为零，解答即可． 本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ x 的系数， ∴， 故选：A． 变式1．关于x的函数是一次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，正确掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，得且 ，解方程即可求解． 【详解】解：是一次函数， 且 ， 解得，， ． 故答案为． 变式2．已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 题型4求一次函数自变量或函数值 例4．下列各点，在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将各选项的横坐标代入函数解析式，计算出对应的纵坐标，与选项中的纵坐标对比即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解：∵对于函数 A、当时，，∴点不在函数图象上． B、当时，，∴点不在函数图象上． C、当时，，∴点不在函数图象上． D、当时，，∴点在函数图象上． 故选：D． 变式1．与自变量的关系如图所示，当的值每增加1时，的值增加 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的函数值变化知识点，掌握一次函数中自变量变化时函数值变化量的计算方法是解题的关键． 先根据函数表达式求出增加1后的函数值，再用新函数值减去原函数值，得到的增加量． 【详解】解：∵ ∴当的值增加1时，新的值为 ∴对应的新的值为 ∴的增加量为 ∴的值增加2． 故答案为：2． 变式2．已知点在函数的图像上，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 将点代入中，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：点在函数的图像上， ，解得：． ，． 故点的坐标为． 题型5列一次函数解析式并求值 例5．一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：一次函数图象经过点， 解得： 故选：C 变式1．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 【详解】解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 变式2．已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)7 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求自变量的值，求函数值， 对于（1），用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将，分别代入关系式，求出答案； 对于（3），将代入关系式，求出结果即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边都除以2，得； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，， 解得． 题型6正比例函数的图象 例6．正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象，掌握当时，正比例函数的图象经过第二、四象限是解决问题的关键． 根据正比例函数的图象与性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ 正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：B． 变式1．如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正比例函数图象与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图象特征． 正比例函数图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大，先判断，，的正负，再比较绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：正比例函数的图象特征为： 图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大， 由图象可知：①②过第一、三象限，故，， ③过第二、四象限，故， ②比①更靠近轴，故， 综上，． 故答案为：． 变式2．已知函数．若该函数图象经过原点： (1)求的值； (2)该函数的图像经过第________象限． 【答案】(1) (2)一、三 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解； （2）由（1）可得函数解析式为，进而可得该函数的图像经过第一、三象限． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过原点， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴函数解析式为， ∵， ∴该函数的图像经过第一、三象限， 故答案为：一、三． 题型7正比例函数的性质 例7．一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质．本题可先设正比例函数的解析式为（），再将已知点坐标代入解析式求出的值，进而得到函数表达式，匹配选项即可 【详解】解：∵正比例函数的一般形式为（） 又∵该函数图象经过点 ∴将，代入中，得 ∴ ∴该正比例函数的表达式为 故选：C． 变式1．已知正比例函数，当时，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查正比例函数的性质，只需将代入函数解析式中计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：3． 变式2．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)判断点是否在函数图像上． 【答案】(1) (2)点不在函数图像上 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键． （1）由题意可设，代入，求出的值，即可求解； （2）代入，求出对应的值，即可判断． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴， 代入，得，， 解得， ∴， 整理得：； （2）解：当时，， ∴点不在函数图像上． 题型8判断一次函数的图象 例8．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，注意一次项系数与函数的增减性之间的关系． 根据题意，易得，而，结合一次函数的性质，可得答案． 【详解】解：∵函数，，而， ∴图象经过一、二、四象限． 故选：B． 变式1．直线经过点，则 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标，把点代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 故答案为：． 变式2．已知一次函数的图象过，两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个一次函数图象上。 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，计算值，并与比较即可判断点是否在这个一次函数的图象上． 【详解】（1）解：设解析式为， ∵一次函数的图象过，两点， ∴， 解得， ∴解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个一次函数的图象上． 题型9根据一次函数解析式判断其经过的象限 例9．若，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键是掌握一次函数中、的符号对图象的影响：当时，直线从左到右呈下降趋势；当时，直线与轴的交点在轴正半轴． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴直线从左到右呈下降趋势，由此排除选项A、B； ∵， ∴直线与轴的交点在轴正半轴，由此排除选项C； 选项D中直线的特征完全符合的条件， 故选：D． 变式1．已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的图象不经过第 象限. 【答案】三 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 由一次函数的增减性得出，再根据图象与轴的交点位置判断所经象限． 【详解】解：∵随的增大而减小， ∴． 当时，， ∴一次函数的图象与轴交于点，位于轴正半轴上． 又∵， ∴图象经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 变式2．已知一次函数（为常数，）． (1)若该函数的图像经过原点，求一次函数表达式； (2)当时，该函数图像不经过第_______象限． 【答案】(1)； (2)四． 【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及函数图像过点求参数、函数图像所在象限等，熟记一次函数图像与性质，数形结合求解是解决问题的关键． （1）将原点代入，解方程求解即可得到答案； （2）根据一次函数图像与性质判定即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过原点， ，解得， ∴一次函数； （2）解：， ∴ 一次函数的函数值随着的增大而增大，该函数图像经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 题型10已知函数经过的象限求参数范围 例10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴． 故选：C． 变式1．请任意写出一个满足下列两个条件的一次函数的表达式： ． ①图像不经过第一象限；②不是正比例函数． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的性质，设一次函数解析式为，根据图像不经过第一象限，得到，根据不是正比例函数，得到，进而求解即可． 【详解】解：设一次函数解析式为， ∵图像不经过第一象限， ∴，， ∵不是正比例函数， ∴， ∴， ∴符合题意的一次函数表达式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．已知一次函数 (1)若函数图象在轴上的截距为，求的值 (2)若函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系；时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． （1）根据图象在轴上的截距为，列出方程解方程即可； （2）根据图象不在第二象限，，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象在轴上的截距为-3， ， 解得； （2）函数的图象不过第二象限， 由①得，， 由②得，， 所以，． 题型11一次函数图象与坐标轴的交点问题 例11．在一次函数中，的值每增加2，的值就增加1，则一次函数与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解和与轴交点的计算，关键是利用已知两点和求出，再代入函数求交点． 【详解】解：已知一次函数过点， ∵的值每增加2，的值就增加1， ∴一次函数也过点， 将代入解析式，得，解得， ∴函数解析式为． 令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点坐标为． 故选：B． 变式1．一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是解题关键． 根据一次函数与坐标轴的交点特征，求出点A的坐标，利用建立方程求解 【详解】解：∵一次函数 与 轴交于点A， ∴令 ，得 ， 解得 ， ∴点A的坐标为 ． ∵，即点A到原点的距离为3， ∴，即 ． ∴， 解得 ， ∴ 或 ． 故答案为： 变式2．如图，直线：与x轴交于点A，经过点的直线与直线交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，求三角形面积； （1）把代入，得．得出，然后用待定系数法求解析式，即可求解． （2）根据解析式求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴点C的坐标为． 设直线的函数表达式为， 将，分别代入上式， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． （2）对于，令，得． ∴点的坐标为． ∵， ∴． ∵ ∴边上的高线长为， ∴的面积为． 题型12画一次函数图象 例12．用描点法画一次函数图象时，某同学列了如下表格，有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） x 1 2 y 3 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， 则点，，在同一直线上，点没在这条直线上， 故选：A． 变式1．在平面直角坐标系中，过点向直线作垂线，则垂线的最大长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，合理作出辅助线是解题的关键． 由，可得出直线过定点，连接,当直线与垂直时，垂线的长度最大，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴直线过定点， 连接，当直线与垂直时，垂线的长度最大，过点作轴的平行线，过点B作，如图： ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴垂线段的最大长度为； 故答案为：． 变式2．在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)图见解析，图象经过第一和第三象限 (2)图见解析，图象经过第一、第三和第四象限 (3)图见解析，图象经过第一、第二和第三象限 【分析】本题主要考查了画一次函数的图象，判断图象经过的象限，解题的关键是掌握描点法． （1）根据正比例函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定点的坐标，然后作经过原点和该点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （2）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （3）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， 当时，， ∴过原点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一和第三象限； （2）解：如图，直线即为所求， 当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第三和第四象限； （3）解：如图，直线即为所求， 当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第二和第三象限； 题型13一次函数图象平移问题 例13．将直线向上平移2个单位长度后得到的函数表达式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移规律，熟练掌握一次函数图象平移时“上加下减，左加右减”的规律是解题的关键． 本题可根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，直接在原函数表达式的常数项上进行加减运算，从而得到平移后的函数表达式． 【详解】∵一次函数图象向上平移时，遵循“上加下减”的规律，即给原函数表达式的常数项加上平移的单位长度， ∴将直线向上平移2个单位长度后，得到的函数表达式为， 故选：A． 变式1．直线是由直线向 （填“上”、“下”）平移 个单位长度得到的． 【答案】 上 2 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，比较两函数解析式，利用一次函数图象平移规律“上加下减”判断平移方向及距离即可． 【详解】解：直线是由直线向上平移2个单位长度得到的， 故答案为：上，2． 变式2．已知函数． (1)若函数的图象平行于直线，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限，请直接写出一个符合条件的m的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知两条直线平行的条件以及一次函数图象所过象限与其系数的关系是解答此题的关键． （1）函数的图象平行于直线，说明，由此求得m的数值即可； （2）根据一次函数的增减性、图象所过象限与其系数的关系，列出关于m的不等式组，确定m的取值范围后任取一值即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象平行于直线， ∴， ∴； （2）解：函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限， ∴且， ∴， ∴m的值可以是1． 题型14一次函数图象与对称问题 例14．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵原函数为，对折后点变为， ∴， 即 故选：D 变式1．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键．根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 变式2．若一次函数与的图像关于y轴对称，则 ， ． 【答案】 3 【分析】此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键． 根据函数图像关于y轴对称的性质，对应点坐标满足横坐标互为相反数、纵坐标相等，直线关于y轴对称的直线为，然后通过系数比较即可求解． 【详解】解：直线关于y轴对称的直线为， ∵一次函数与的图像关于y轴对称， ∴， 故答案为：，3． 题型15一次函数图象与旋转问题 例15．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 变式1．已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标的特征的等知识点，利用待定系数法求出临界值是解题的关键． 利用临界法求得直线和的解析式即可解答． 【详解】解：当时， ∵直线经过点，， ∴，解得∶ ∴， 当时， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴． 综上，当该直线与线段有交点时，k的取值范围是：或． 故答案为或． 变式2．对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)1，0； (3) (4) 【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算． （1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可． （2）直接由（1）即可求解； （3）根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下： （2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为； 故答案为：1，0； （3）解： （4）解：∵该函数图象绕原点旋转， ∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， 设旋转后的图象的解析式为， ∴，解得：， ∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为． 题型16判断一次函数的增减性 例16．下列函数中，的值随着值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一次函数的性质判断增减性，依据一次函数，当时，y 随 x 的增大而减小判断即可． 【详解】解：对于一次函数 ， 若，则y随x增大而增大； 若，则y随x增大而减小， 选项 A：，不符合； 选项 B：，不符合； 选项 C：，不符合； 选项 D：，符合. 故选D． 变式1．已知一次函数，当时，的最大值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数求最值． 由于，函数值随的增大而减小，当时，时，取得最大值．据此进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴函数值随的增大而减小， ∴当时，在时，取得最大值． 代入 得 ， 即当时，的最大值是． 故答案为： 变式2．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，关键是将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． （1）已知与成正比例，即可以设，把代入即可求得k的值，从而求得函数解析式； （2）求得和时所对应的函数值，然后根据一次函数的增减性即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：设， 把，代入得：， 解得：， 则该函数关系式为：， ； （2）解：把代入，得， 把代入，得， 因为，所以随的增大而减小， 所以当时，． 题型17根据一次函数增减性求参数 例17．在平面直角坐标系中，点A，均在直线上．若，则k的值可能为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据题意可知，随着的增大而减小，进一步得到，即可求出答案． 【详解】解：∵点A，均在直线上．，， ∴随着的增大而减小， ∴， ∴， ∴k的值可以为2， 故选：D． 变式1．若一次函数的图像经过点和点，当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，关键是知识点的灵活应用；根据一次函数的性质，当时，函数随的增大而减小． 【详解】解：由题意，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 变式2．为进一步强化体育评价，培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式．提升学生身体素质和综合素养．某中学要配足体育训练器材，准备向体育用品批发公司采购一批足球和跳绳．根据以下素材，解决问题： 素材一 素材二 已知每个足球定价150元，每根跳绳定价30元． 该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案： 方案：足球和跳绳都按定价的九折付款； 方案：买一个足球送一根跳绳． 该中学计划购买足球50个，跳绳（大于50）根． 问题解决 （1）任务一：请用含的代数式分别表示出两种方案需付的费用． （2）任务二：若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】（1）方案A：元，方案B：元； （2）先按方案B购买足球50个送50根跳绳，再按方案A购买30根跳绳最省钱，需付款8310元 【分析】（1）方案A：足球的费用为（元），跳绳的费用为（元），求和即可； 方案B：足球的费用为（元），跳绳的费用为（元），求和即可； （2）设按照方案B购买n个足球，则按照方案A购买个足球，购买根跳绳，总费用为w元，构造一次函数解答即可． 本题考查了打折问题，列代数式，求代数式的值，一次函数的性质，熟练掌握打折问题，求代数式的值，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得方案A：足球的费用为（元），跳绳的费用为（元）， 总费用为：元； 方案B：足球的费用为（元），跳绳的费用为（元），总费用为：元． （2）解：设按照方案B购买n个足球，则按照方案A购买个足球，购买根跳绳，总费用为w元， 根据题意，得 ， ∵，且， ∴w随n的增大而减小， ∴时，w取得最小值，此时，， 故先按方案B购买足球50个送50根跳绳，再按方案A购买30根跳绳最省钱． 题型18根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 例18．若点都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数的性质可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点都在一次函数的图象上，且， ∴， 故选C． 变式1．已知直线经过点．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， 解得， 故答案为：． 变式2．如图，一次函数的图像与轴相交于点，与轴交于点，点的坐标是． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式及一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）当点代入求出的值即可； （2）结合（1）中关于的函数表达式，当时，求得，再根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与轴相交于点， ∴， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）解：∵关于的函数表达式为， 当时，，得：， 又∵中一次项系数， ∴随的增大而增大， ∴当时，自变量的取值范围为． 题型19比较一次函数值的大小 例19．已知，是直线上的两个点，则、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性（当时，随的增大而增大）是解题的关键． 本题有两种解题思路：代入求值法：将两点的横坐标代入直线方程，求出对应的纵坐标和，再比较大小．增减性判断法：根据一次函数的一次项系数判断函数的增减性，再根据横坐标的大小关系直接判断纵坐标的大小． 【详解】解：方法一：∵点在直线上， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∵， ∴； 方法二：∵直线中，一次项系数， ∴函数值随值的增大而增大， ∵， ∴， 故选：A． 变式1．已知点，都在直线上，则 ．（填“＜”或“＞”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是灵活利用一次函数的增减性解决问题．根据一次函数的增减性可以直接可得． 【详解】解：∵点，都在直线上，且y随x的增大而减小． ∴， 故答案为：． 变式2．已知，是一次函数的图像上的两点，且，比较与的大小，并说明理由． 【答案】 ；理由见解析． 【分析】本题考查一次函数的图像和性质．熟悉一次函数的图像和性质：当大于时，随的增大而增大，当小于时，随的增大而减小是解题的关键．题目中小于，可知一次函数是随的增大而减小，根据一次函数的图像和性质，判断出和的大小． 【详解】解：， 理由：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵，是一次函数的图像上的两点，且， ∴． 题型20一次函数的规律探究问题 例20．正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 变式1．将正方形，，按如图所示方式放置，点，，……和点，，，……分别在直线和x轴上，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数，点的坐标规律探索，解题的关键是总结规律． 根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 同理可得，，， ，， ，， ......， ，（为正整数）， ∴点的坐标为， 故答案为：． 变式2．某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）． (1)按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示） (2)已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有，根据题意列式即可； （2）设裁完这些纸板共需，根据题意写出函数，再利用函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）解：设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有张， 由题意得 ∴， ∴按C种裁法裁剪的纸板有（张）， 故答案为：；； （2）解：设裁完这些纸板共需， 根据题意，得．         ∵， ∴z随x的增大而减小． 又∵， ∴当时，z取最小值，最小值为． 答：裁完这些纸板的时间的和至少为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意写出一次函数的解析式是解题的关键． 题型21求一次函数解析式 例21．一次函数的图像经过点和，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数解析式的确定方法，核心是使用待定系数法，通过已知点坐标代入函数式建立方程组求解参数．注意代入计算时符号的处理，避免因粗心导致错误． 【详解】∵点在上， ， . ∵点在上， ， 即. . 故选A 变式1．某超市购进一批儿童玩具，经市场调研发现每日销售数量y（个）是销售单价x（元）的一次函数，y与x的部分数据如下表： 销售单价x/元 … 20 22 24 … 每日销售数量y/个 … 60 56 52 … 根据上述信息可知，y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，解决本题的关键是熟练使用待定系数法． 设y关于x的函数解析式为，选取点和代入，建立方程组求解k和b的值即可． 【详解】解：设y关于x的函数解析式为， 将点和代入，得方程组： ， 两式相减得，解得． 将代入，得，解得， 因此y关于x的函数表达式为． 故答案为：． 变式2．已知是的正比例函数，且当时，．求与之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求一次函数的解析式，先理解题意，设，再把，分别代入计算，得，故． 【详解】解：∵是的正比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ✍ 巩固提升★综合测试 一、单选题 1．下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义为形如（为常数且）的函数，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：∵正比例函数的形式为（）， A、，可写为，含项，不符合形式，不符合题意； B、，即形式，且，符合定义，符合题意； C、，含常数项，不符合形式，不符合题意； D、，含常数项，不符合形式，不符合题意； 故选：B． 2．一次函数（，k为常数）的图象关于x轴对称后的图象经过点，则k的值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的轴对称变换及函数解析式的求解，熟练掌握关于轴对称的点的坐标变化规律，并能将对应点代入函数解析式计算是解题的关键．先确定原函数图象上与对称点对应的点的坐标，再将该点代入原函数解析式求解的值． 【详解】解：∵点关于轴对称的点为，对称后的图象经过点， ∴原函数图象上对应点的坐标为， 将代入，得， 解得， 故选：B． 3．已知一次函数，则下列各点中可能在这个函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图像和性质，把各点代入一次函数，得出关于k的一次方程解方程并判断是否和相符即可得出答案． 【详解】解：．把代入，得，解得，与不符，故该选项不符合题意； ．把代入，得，解得，与不符，故该选项不符合题意； ．把代入，得，解得，符合，故该选项符合题意； ．把代入，得，解得，与不符，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据对于正比例函数，当时，图象经过第一、三象限，k越大，图象越靠近y轴；当时，图象经过第二、四象限，越大，图象越靠近y轴，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】解：由图象可知： 的图象都经过第一、三象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以； 的图象都经过第二、四象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以，所以 综上所述：； 故选D． 5．一次函数中，若，且y随着x的增大而减小，则其图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．由一次函数中y随着x的增大而减小，可得，由，可得，此一次函数的图象过二、三、四象限，即可解答． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象过二、三、四象限，A选项符合题意． 故选：A． 6．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B．5 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标特征满足函数表达式是解题的关键. 由点P在函数图象上可得，代入代数式并化简求值. 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴. ∴. 故选：A. 7．在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象与y轴的正半轴相交， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴图象经过第一、二、四象限． 故选B． 8．若关于x的一次函数的图象经过点，且不经过第三象限，记，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，不等式的性质，本题先利用函数过已知点得到与的关系式，再根据一次函数不经过第三象限的性质确定的取值范围，最后将用表示后求出的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点 ∴将代入函数得： ∴ ∵一次函数图象不经过第三象限 ∴ 将代入得： 解得： ∴的取值范围为 ∵，将代入得： ∴ ∴ 即的取值范围为 故选：B． 9．已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 10．已知一次函数的图象经过点，点均在一次函数的图象上，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 先将已知点代入一次函数解析式求出k的值，判断函数的增减性，再根据函数值的大小关系得出自变量的大小关系． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴将代入解析式得：， 解得， ∴该一次函数为， ∵， ∴一次函数中，y随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 11．已知点在正比例函数的图象上，那么这个函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求正比例函数的解析式．设正比例函数解析式为，把点代入计算出的值，即可求解函数的解析式． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上，设正比例函数解析式为， ∴，则， ∴这个函数的解析式， 故答案为：． 12．当 时，关于x的函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．注意自变量的指数为1，系数不为0的条件．根据一次函数要求且，联立解答． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数 ∴且， ∴ 故答案为：． 13．已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，掌握当时正比例函数单调递减，区间内最大值出现在的最小值处是解题的关键． 根据正比例函数的性质，随的增大而减小，当时，取最小值时取得最大值，代入函数解析式求解． 【详解】解：∵ 中随的增大而减小， ∴当时，时最大，最大值为． 将,代入， 得， 解得． 故答案为：． 14．一次函数的图象向左平移8个单位后经过点，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 先根据平移的规律求出的图象向左平移8个单位后的解析式，再将点代入即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移8个单位后得到， 将点代入得， 解得． 故答案为：． 15．当时，函数，为常数有最大值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数（）的增减性（时随增大而增大，时随增大而减小）是解题的关键．先将函数整理为，再根据一次项系数的正负，判断函数在上的增减性，分别求出最大值对应的值，代入函数列方程求解 【详解】解：， 当时，函数随的增大而增大， 时，最大， ， 解得， 当时，函数随的增大而减小， 时，最大， ， 解得， 故答案为： 16．A、B、C三名同学观察完某个一次函数的图象，描述如下：：函数的图象经过点；随的增大而减小；函数的图象不经过第一象限．写出满足上述三条性质的一个函数表达式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的性质．根据点确定，根据y随x增大而减小确定，再结合图象不经过第一象限验证当且时满足条件 【详解】解：设一次函数解析式为， ∵图象经过点， ∴代入得，即， ∵y随x的增大而减小， ∴， 当且时，对于，，故图象不经过第一象限， 因此满足条件的函数表达式为等， 故答案为：（答案不唯一） 17．鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为 （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了从实际数据中识别规律并建立代数模型的能力，以及求一次函数解析式；解题的关键是观察表格中脚长与鞋码的对应关系，发现两者呈线性变化，并通过代入已知点求解线性表达式；取两点，用待定系数法，求解析式，即可得解． 【详解】解：设脚长为，鞋码为；取点， 设， 解得 故 当脚长为时，鞋码为． 故答案为． 18．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式． 将点代入一次函数，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 即， ∴． 故答案为：2026． 19．一次函数的图象如图所示，当 时，；当x 时，． 【答案】 2 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据函数图象与轴的交点可得当时，；根据函数图象与轴的交点可得当时，，由此即可得． 【详解】解：由函数图象可知，当时，； 由函数图象可知，当时，， 则当时，． 故答案为：2；． 20．正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找到规律是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征找到规律，由规律解答即可． 【详解】解：∵点，， ，， 将，代入得，解得：， ∴一次函数解析式为， ， ， 同理， 则， ∴， 故答案为：． 三、解答题 21．已知与x成正比，且当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，请直接写出x的取值范围为_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设，再根据当时，，计算得出，即可得出结果； （2）求出当时，，再结合随着的增大而减小，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵与x成正比， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：在中，当时，， 解得， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时， x的取值范围为． 22．已知是的正比例函数，并且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时，函数y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）将，代入，求出k的值，得出函数解析式即可； （2）将代入（1）中的函数解析式，求值即可． 【详解】（1）解：∵是的正比例函数， ∴设， 把，代入得： ， 解得：， ∴y关于x的函数解析式为，即； （2）解：由（1）知，y关于x的函数解析式是， ∴当时，． 23．已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了轴上的点的特征，一次函数的性质． （1）根据轴上的点纵坐标为0，得出，解答即可． （2）根据点在一次函数的图象上，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ， ． （2）解：∵点在一次函数的图象上， ， 解得：． 24．一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得一次函数的表达式为，再分和两种情况讨论，利用函数y的最大值和最小值的差是6，列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：代入点，得， ∴， ∴一次函数的表达式为， ∴当时，；当时，， 当时，y随着的增大而增大， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； 当时，y随着的增大而减小， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； ∴综上，a的值为或． 25．已知将二元一次方程化为一次函数后，经过画图发现，其图象与x轴的交点的横坐标为． (1)请将二元一次方程化为一次函数的形式． (2)这个函数的图象不经过第几象限？ (3)求这个一次函数的图象与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)这个函数的图象不经过第四象限 (3) 【分析】（1）把时的函数值为代入二元一次方程即可求出的值，从而求出其解析式； （2）根据，，可知该一次函数的图象所经过的象限，就可判断这个函数的图象不经过第几象限； （3）令，代入函数解析式．就可得到函数与轴的交点的纵坐标，而横坐标是，由此可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一次函数的图象过点， 将，代入二元一次方程，得， 解得． 故化为一次函数的形式为． （2）解：在中， ，， ∴这个函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． （3）解：当时，． 故一次函数的图象与轴的交点坐标为． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 26．已知函数是关于的一次函数． (1)求的值． (2)求出一次函数图象与轴、轴的交点坐标，并在下图中画出该函数的图象． (3)的值随的值的增大而____________（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1) (2)与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，见解析 (3)减小 【分析】（1）根据一次函数的定义，可得答案； （2）找出与x轴、y轴交点坐标，连线即可； （3）根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：（1）由是关于的一次函数，得 解得． （2）解：由（1），得函数的解析式为， ∴当时，；当时，， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，函数图象如图所示． （3）解：， 的值随的值的增大而减小， 故答案为：减小． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义和性质，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点.． 27．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 0 ．．． 则___________，___________； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据图象可知当时，的值是___________； ②观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值： (4)下列关于该函数性质的描述正确的是___________（填序号）． ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，随的增大而增大； ③当时随的增大而减小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①或5；②存在，最小值为 (4)①③ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可； （2）①描点，连线，画出函数图象即可；②观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可 （3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． （4）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． 【详解】（1）解：将代入，得：； 将代入，得：； 故，， 故答案为：，； （2）如图即为所求， （3）①根据图象可知当时，的值是或； 故答案为：或 ②观察函数图象，由图象可知，函数存在最小值，为；： （4）解：①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，随的增大而增大； ③∵当时随的增大而减小．∴当时随的增大而减小． 故答案为：①③ 28．如图是函数的一部分图象，利用图象回答： (1)求自变量的取值范围； (2)当取什么值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键． （1）由点在函数图象上，将代入函数，求得的值，再结合函数图象，可求得的取值范围； （2）利用函数的增减性，可知当时，有最小值，可求得最小值． 【详解】（1）解：当时，， 解得， 所以自变量的取值范围是． （2）解：由图象可知，函数随的增大而减小， ∴当时有最小值，最小值为． 29．已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； (3)观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，，理由见解析 (3)当时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，比较一次函数值的大小，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，再描点、连线，画出对应的函数图象即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）求出两个一次函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 … … 1 … 函数图象如下所示： （2）解：当时，，理由如下： ∵，， ∴随x的增大而增大， ∵点和在一次函数的图象上，且， ∴； （3）解：当时，，理由如下： 联立，解得， ∴一次函数和的交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，． 30．正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $