第14讲 一次函数的概念（2个知识点+6大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第14讲 一次函数的概念（2个知识点+6大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 正比例函数的定义 题型二 识别一次函数 题型三 根据一次函数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 待定系数法求正比例函数解析式 知识点一：正比例函数的定义 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列函数是正比例函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正比例函数的定义判断，正比例函数的形式为． 【详解】解：正比例函数的形式为， A．含有常数项，不是正比例函数； B．是反比例函数，不是正比例函数； C．符合形式，且，是正比例函数； D．是二次函数，不是正比例函数． 故选C． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·单元测试）函数中，与的比例系数是 ，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数中求解即可． 【详解】函数中，与的比例系数是， 当时，， 故答案为：，． 知识点二：确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L，进而得出余油量与行驶路程之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵汽车油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L， ∴汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式为： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，表示出油箱内余油量是解题关键． 2．（25-26八年级上·广东河源·期中）已知关于的函数表达式，则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．把代入函数，求出即可． 【详解】解：当是，． 故答案为：． 【核心考点一 正比例函数的定义】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的形式为（是不为的常数）是解题的关键． 根据正比例函数的形式为（k为常数且），判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：正比例函数定义为， A、，符合题意； B、，是二次函数，不符合题意； C、，不是函数关系，不符合题意； D、，是一次函数，不符合题意． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．若两个变量和间的关系式可以表示成（，均为常数，）的形式，则称是的一次函数（为自变量，为因变量）；一般地，两个变量和间的关系式可以表示成（为常数，且）的形式，则称是的正比例函数，据此逐个选项分析． 【详解】解：A、是一次函数，也是正比例函数，故本选项不符合题意； B、不是一次函数，也不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、是一次函数，但不是正比例函数，故本选项符合题意； D、不是一次函数，也不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选C． 【例3】（25-26八年级下·山东东营·月考）如果函数是正比例函数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义，函数形式需为（其中），即指数为1且系数非零，据此列方程求解． 【详解】解：由正比例函数的定义，得且， 解得或且， 即． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）若与成正比例，当时，，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题实质是考查正比例函数的代值求系数，比较容易．根据成正比例的条件设关系式，再把数值代入求解则可． 【详解】解：因为与成正比例， 所以， 将，代入求得， 故与的函数关系式为． 故答案为：． 【核心考点二 识别一次函数】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A．（k、b是常数） B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的概念，熟知形如（k、b是常数，且）叫一次函数是解题的关键．根据一次函数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、当时，不是一次函数； B、化为，是一次函数； C、分母中含有自变量，不是一次函数； D、自变量次数不是一次，不是一次函数； 故选：B． 【例2】 （24-25八年级下·重庆秀山·期末）表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的一般形式（k，b为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是①④， 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·广东汕头·月考）下列函数中，属于一次函数的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①不属于一次函数； ②属于一次函数； ③不属于一次函数； ④属于一次函数； ⑤，当时，属于一次函数； 属于一次函数的有②④． 故答案为：②④ 【例4】（24-25八年级下·全国·课前预习）像y＝x＋1，s＝－3t＋1这些函数解析式都是常数k与自变量的 与常数b的 的形式． 一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做 函数．当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 【答案】 积 和 一次 【解析】略 【核心考点三 根据一次函数的定义求参数】 【例1】（24-25八年级上·四川达州·期末）表示一次函数，则m等于（      ） A．1 B． C．0或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义得出，求出即可． 【详解】解：表示一次函数， ， 解得：， 故选：D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，x 的系数不能为零，解答即可． 本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ x 的系数， ∴， 故选：A． 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数． （1）当m 时，y是x的一次函数． （2）当m 时，y是x的正比例函数． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，熟练掌握正比例函数和一次函数的特点是解题的关键； （1）根据一次函数的特点求解即可； （2）根据正比例函数的特点求解即可． 【详解】解：（1）一次函数的一般形式为， 若使为一次函数 则需， 解得． ∴时，为一次函数． 故答案为：． （2）若使为正比例函数 则需 解得 ∴时，为正比例函数． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一次函数与（a，b，c，d为常数，，）的图象如图所示，若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据当时，，即可求得． 【详解】∵一次函数与的图象的交点的横坐标为 3 ， ， ， ， 故答案为． 【核心考点四 求一次函数自变量或函数值】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数，当自变量增加3时，相应的函数值增加（   ） A．10 B．9 C．8 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，设出自变量并表示出增加后的自变量，然后代入函数解析式进行计算即可，比较简单．理解题意是解题的关键． 设自变量为，然后表示出增加后的自变量为，最后代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】解：设自变量为，则增加后的自变量为， 相应的函数值增加 ． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·全国·期末）小明同学利用”描点法“画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： 0 1 2 9 5 1 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（    ） A．9 B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由表格可得增加，减少，再验证各点即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得：当时，，当时，，则增加，减少； 当时，，满足增加，减少的要求； 当时，，不满足增加，减少的要求； ∴这个错误的函数值是， 故选：D． 【例3】（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在一次函数的图象上，到y轴的距离等于2的点的坐标是 . 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 代入，，求出y值，进而可得出到y轴的距离等于2的点的坐标是或． 【详解】解：根据题意得：到y轴的距离等于2，即点的横坐标的绝对值为2，； 当时，， ∴点符合题意； 当时， ， ∴点符合题意； ∴到y轴的距离等于2的点的坐标是或． 故答案为：或． 【例4】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征，将两点坐标代入函数解析式，作差后利用已知条件求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过两点， ∴，， 则， 又∵， ∴． 故答案为：4． 【核心考点五 列一次函数解析式并求值】 【例1】（24-25八年级下·湖北荆州·月考）若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 把点代入一次函数，通过解一元一次方程来求的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ， 解得． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·天津和平·月考）一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ） A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3） 【答案】B 【分析】把一次函数 整理为，再令，求出y的值即可． 【详解】解：一次函数整理得 ， ∴令，则， ∴， ∴它的图象一定经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【例3】（24-25八年级下·陕西西安·月考）汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了函数关系式，本题关键是明确油箱内余油量，原有的油量，x小时消耗的油量，三者之间的数量关系，根据数量关系可列出函数关系式． 根据油箱内余油量=原有的油量−x小时消耗的油量，可列出函数关系式． 【详解】解：依题意得，油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为：． 故答案为：． 【例4】（25-26八年级下·山西晋城·月考）鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为 （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了从实际数据中识别规律并建立代数模型的能力，以及求一次函数解析式；解题的关键是观察表格中脚长与鞋码的对应关系，发现两者呈线性变化，并通过代入已知点求解线性表达式；取两点，用待定系数法，求解析式，即可得解． 【详解】解：设脚长为，鞋码为；取点， 设， 解得 故 当脚长为时，鞋码为． 故答案为． 【核心考点六 待定系数法求正比例函数解析式】 【例1】（24-25八年级下·河北保定·期末）已知正比例函数的图象经过点，如果和在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点（-2，4）代入y=kx，求出k，即可得出函数关系式，然后将两个坐标代入求出字母的值，比较即可． 【详解】因为点（-2，4）在函数y=kx的图象上， 所以， 解得， 所以函数关系式为． 因为点（1，a）和点（-1，b）在该函数图像上， 所以，， 所以． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求正比例函数关系式，求函数值等，求出关系式是解题的关键．本题也可以先判断正比例函数图象的性质，再比较即可． 【例2】（2025·安徽合肥·二模）已知直线y=-4x-6经过点（m，n），且2m-7n≤0，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数解析式确定m与n之间的数量关系，根据不等式的性质确定m和n的范围，最后根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵直线y=-4x-6经过点（m，n）， ∴n=-4m-6． ∴． ∵2m-7n≤0， ∴，． ∴，． ∴，n可能是正数，0或者负数． ∵2m-7n≤0， ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键． 【例3】（24-25八年级下·云南昆明·期中）点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，代数式求值，把点代入直线解析式推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【例4】（24-25八年级·江苏·期末）已知点在一次函数的图像上，则 ． 【答案】 【分析】将点代入一次函数中即可得出结果． 【详解】点在一次函数的图象上， ， 解得 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特点．熟练掌握整体代入是解题的关键． 【变式训练1 正比例函数的定义】 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（   ） 1 3 6 2 ▲ A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据题意求出正比例函数解析式，即可得到答案． 【详解】解：将代入， 解得， ， 将代入， 解得． 故选：D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）根据下表，可以得到与之间的一个关系式是 ． … 0 1 … … 2 1 0 … 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数，根据表中数据得出二者存在正比例关系是解题关键． 观察表格发现：y随x的增大而减小，且过，所以该函数为正比例函数，用待定系数法求出函数的解析式即可． 【详解】解：观察表格发现：y随x的增大而减小，且过， 设， ∵当时，， ∴， ∴，即函数关系式为：． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）已知关于x的函数，当m，n为何值时，它是正比例函数． 【答案】； 【分析】直接利用正比例函数的定义进而得出，以及求出即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴， ∴； 又∵是正比例函数， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知与的关系如下表． 0 1 2 3 15 10 5 0 (1)根据上表写出与的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求的值． 【答案】(1)，是的正比例函数； (2)40． 【分析】（1）根据正比例函数的定义，计算验证中的k值，是否是相同的定值，不同，则不是． （2）根据解析式求函数值即可．熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， 是的正比例函数． （2）当时，， 的值为40． 【变式训练2 识别一次函数】 1．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图 【答案】A 【分析】根据可得，则与成一次函数，再根据正方形的面积公式可得，则S与x满足的函数关系是二次函数关系． 【详解】解：由题意得：、 ， ∴与，与满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，掌握正方形面积公式和线段的和差是解本题的关键． 2．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）下列说法正确的是 （填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查一次函数和正比例函数的定义，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断． 【详解】解：正比例函数的形式为，它是一次函数当时的特殊情况，因此①正确； 一次函数中，当时不是正比例函数，因此②错误； 若与成正比例，则，即，符合一次函数的形式，因此③正确； 若，当时，为常数函数，不是一次函数，因此④错误， 故答案为：①③． 3．（2025九年级·全国·专题练习）已知与x+n（，为常数）成比例，试判断与成什么函数关系？ 【答案】与是一次函数关系 【分析】根据题意，设，结合一次函数的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，设 整理得： ∴与是一次函数关系． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 4．（2025·浙江衢州·模拟预测）写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关键． 根据三角形周长公式表示出与之间的关系式即可；②根据余油量耗油量原油量表示出与之间的关系式即可；③根据乘车费起步价燃油附加费加收的乘车费表示出与之间的关系式即可；④根据长方体的体积底面积高表示出与之间的关系式即可． 【详解】解：①，是一次函数，也是正比例函数． ②，是一次函数，不是正比例函数． ③是一次函数，不是正比例函数． ④，既不是一次函数，也不是正比例函数． 【变式训练3 根据一次函数的定义求参数】 1．（24-25八年级上·安徽淮北·月考）【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是一次函数综合题，属于新定义类题目，需要理解新定义，将姐妹点代入解析式即可求解； 【详解】解：设梦幻点 ∵ ∴， 点是直线上的“姐妹点”， ， ， 点； 故答案为：D． 2．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义即可得到答案． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得， 故． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知函数是一次函数， (1)求的值； (2)该一次函数当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据一次函数的定义即可求解； （）分别求出当时，当时的值，即可求出的取值范围； 此题考查了一次函数的应用，正确理解一次函数的定义及根据题意得出自变量的取值范围是解题的关键． 【详解】（1）因为是一次函数， 所以，解得， 因为，所以； （2）将代入得一次函数解析式为，当时，，当时，， 所以当时，的取值范围是． 4．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 【变式训练4 求一次函数自变量或函数值】 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则n的值为（   ） x … m … y … 4 2 n … A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，把点代入，得出，求出即可． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得：， 把②代入①得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图象过点，，一次函数的图象过点，则与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，通过点坐标求出与的关系，再根据点和点的纵坐标相等建立方程，代入关系式化简得到与的关系． 【详解】解：点在函数上， 可得：， 解得：， 点在上， 可得：， 点在上， 可得：， ， ， ， 整理得：， ， 两边除以可得：， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例的定义可设，，再将当时，，当时，代入计算即可得； （2）将直接代入（1）中的结果即可得； （3）将直接代入（1）中的结果即可得． 【详解】（1）解：由题意可设，， ， ， 当时，，当时，， ，解得， ， 即与之间的函数关系式为； （2）解：将代入得：； （3）解：将代入得：， 解得． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形面积公式，一次函数的性质． 分别求出，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当时，． 点的坐标为 ． 当时，．解得． 点的坐标为 ∴． ． 【变式训练5 列一次函数解析式并求值】 1．（2025·陕西西安·三模）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 2．（2025·山西·模拟预测）“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可． 【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-800． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 4．（24-25八年级上·广东·单元测试）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的） （人 500 1000 1500 2000 2500 3000 （元 0 1000 2000 请回答下列问题： (1)自变量为　　，因变量为　　； (2)与之间的关系式是 　　； (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？ 【答案】(1)每月的乘车人数，公交车每月的利润 (2) (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元 【分析】（1）根据表格中的数量变化可得答案； （2）根据乘坐人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式； （3）把x=4000代入函数关系式求出y的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润． 故答案为∶ 每月的乘车人数，公交车每月的利润． （2）解：从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元， 每位乘客坐一次车需要（元， 即函数关系式为： ． （3）解：当时， （元． 答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元． 【点睛】本题考查常量与变量，函数关系式，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键． 【变式训练6 待定系数法求正比例函数解析式】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）若某正比例函数图象经过点，则该正比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数，设正比例函数的解析式为，把点代入求解即可． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（，为常数）的函数为一次函数． 根据定义得：且，求出的值即可． 【详解】解：由已知可得且 解得且 ∴． 故一次函数解析为： 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广西百色·期中）已知正比例函数，且当时，，求y与x的函数解析式． 【答案】 【分析】此题考查待定系数法求正比例函数的解析式，将x，y的对应值代入解析式求出待定系数的值，即可得到函数解析式，正确掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，把，代入， 得， 解得， ∴y与x的函数解析式为． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知函数 (1)当m是何值时函数是一次函数，写出此函数解析式．并计算当时的函数值； (2)点在此一次函数图象上，则n的值为多少？ 【答案】(1)；；10 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值： （1）根据一次函数的定义可求出m的值，可得到对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可； （2）把点求出此时n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：， ∴此函数解析式为， 当时，； （2）解：由（1）得：此函数解析式为， ∵点在此一次函数图象上， ∴， 解得：． 1．（24-25八年级上·广东清远·期末）下列函数关系式中，属于一次函数的是（    ） A．y＝－1 B．y＝x2＋1 C．y＝kx＋b（k、b是常数） D．y＝1－2x 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．等式的右边是分式，不是整式，不是一次函数，故本选项不符合题意； B．自变量的次数是二次，不是一次函数，故本选项不符合题意； C．当k=0时，不是一次函数，故本选项不符合题意； D．是一次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，注意：形如（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】是关于的正比例函数， 且， 解得， 故选C． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）若直线经过点和，且，则n的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意得出，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， ， ， ， 可以是5，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，利用函数图象上的点满足函数关系式，用n表示出k，得到关于n的不等式是解题的关键． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如下：他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是（　　） x … 0 1 2 … y … 0 3 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据函数的性质即可判断． 【详解】解：当或或0时，函数的值分别为或或， 即自变量增加1，则函数值增加2， 所以当，函数的值应该等于， 所以点明显不对， 故选：C． 5．（24-25八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【答案】B 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）当 时，函数是正比例函数． 【答案】3 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数需满足的次数为且系数不为这两个核心条件是解题的关键． 根据正比例函数的定义列出关于的方程与不等式，求解得到符合要求的值． 【详解】解：由正比例函数定义，得， 解得，即或， ∵系数， ∴， 因此． 当时，函数为，符合正比例函数定义． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，y是x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】先根据一次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【详解】解：因为是x的一次函数， 可得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式是解答此题的关键． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）把方程改写成y关于x的一次函数形式，得 ，其中 ， ． 【答案】 -2 3 【分析】此题考查将二元一次方程通过恒等变形变为一次函数关系式的题目，实质就是用含有其中一个字母的式子表示另一个字母的问题，注意化成所求函数的标准形式． 将方程通过移项变形，得到关于的一次函数表达式即可． 【详解】解：由方程，移项得， 即，这是一次函数的一般形式， 其中， 故答案为：；；． 9．（24-25八年级上·江苏南京·月考）下表给出的是关于某个一次函数的自变量及其对应的函数值的部分对应值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数，设一次函数解析式为，根据对应点代入解析式，可得：，，，利用整体代入法求的值． 【详解】解：设一次函数解析式为， 当时，， 可得：， 当时， ， 可得：， 当时，， 可得：， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是 ； 【答案】Q=50-0.10s． 【分析】根据题意，每千米需耗油=0.10升，根据题意可得，汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q （L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是Q=50-0.10s即可． 【详解】解：∵每行驶耗油， ∴每千米需耗油=0.10升， ∴s（km）耗油=0.10s升， ∴油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是Q=50-0.10s． 故答案为：Q=50-0.10s． 【点睛】本题考查一次函数在生活中应用，掌握列一次函数的方法是解题关键． 11．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）若函数是关于的正比例函数，求的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的正比例函数， ∴，， ∴． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数表达式，并指出哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数． (1)面积为10的三角形的底与底边上的高之间的关系； (2)一条边长为8的长方形的周长与它的邻边之间的关系； (3)汽车每小时行驶40km，行驶的路程和时间之间的关系． 【答案】(1)，不是一次函数，不是正比例函数 (2)，是一次函数，不是正比例函数 (3)，是一次函数，也是正比例函数 【分析】（1）根据题意列出关系式，再判断即可； （2）根据题意列出关系式，再判断即可； （3）根据题意列出关系式，再判断即可． 【详解】（1）解：由，可得，不是一次函数，不是正比例函数； （2）由，可得，是一次函数，不是正比例函数； （3），是一次函数，也是正比例函数． 【点睛】本题考查的是函数关系式的确定与判定属于哪一种函数的问题，解决本题的关键是熟记函数的定义，掌握函数解析式的含义，以及一些常见的公式． 13．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．    设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2）140 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距100km ∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km ∴y=100+80x ∴y是x的一次函数； （2）当时，得：y=100+80×0.5=140． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一次函数的图象如图所示． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一次函数的定义及函数图象上点的特征，解题关键是熟练掌握一次函数的定义，掌握点坐标与方程的关系． （1）根据一次函数的定义得，一次函数的图象过第一、三、四象限得，进而求解． （2）将点，代入一次函数解析式求解． 【详解】（1）解：∵关于的一次函数的图象过第一、三、四象限． ∴， 解得， ∴的值为； （2）解：由（1）可得一次函数表达式为， ∵，是图象上的两点， ∴，， ∴，． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标． 数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题． ①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值． ②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小． ③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）①证明见解析，定值为-1；②当时，；当时，；当时，；③当时， 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，分类讨论是解答本题的关键． （1）数学思考：分别将三组数据代入解析式，联立方程组解答交点坐标即可； （2）①联立解析式，求出的值，根据，均不为0，且，得到为定值即可； ②令，则，得；令，则得； ③两解析式相加得），即时，不论，如何取值，． 【详解】解：（1）选择（Ⅰ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅱ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅲ）时函数和的图象的交点坐标是． （2）①由题意，得， 所以， 因为， 所以． 所以不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值． ②由题意，得， 因为，所以， 所以当时，，； 当时，，； 当时，，． ③当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 一次函数的概念（2个知识点+6大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 正比例函数的定义 题型二 识别一次函数 题型三 根据一次函数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 待定系数法求正比例函数解析式 知识点一：正比例函数的定义 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列函数是正比例函数的是（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·单元测试）函数中，与的比例系数是 ，当时， ． 知识点二：确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东河源·期中）已知关于的函数表达式，则当时， ． 【核心考点一 正比例函数的定义】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级下·山东东营·月考）如果函数是正比例函数，那么 ． 【例4】（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）若与成正比例，当时，，则与的函数关系式为 ． 【核心考点二 识别一次函数】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A．（k、b是常数） B． C． D． 【例2】 （24-25八年级下·重庆秀山·期末）表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【例3】（24-25八年级下·广东汕头·月考）下列函数中，属于一次函数的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【例4】（24-25八年级下·全国·课前预习）像y＝x＋1，s＝－3t＋1这些函数解析式都是常数k与自变量的 与常数b的 的形式． 一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做 函数．当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 【核心考点三 根据一次函数的定义求参数】 【例1】（24-25八年级上·四川达州·期末）表示一次函数，则m等于（      ） A．1 B． C．0或 D．1或 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数． （1）当m 时，y是x的一次函数． （2）当m 时，y是x的正比例函数． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一次函数与（a，b，c，d为常数，，）的图象如图所示，若，则 ． 【核心考点四 求一次函数自变量或函数值】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数，当自变量增加3时，相应的函数值增加（   ） A．10 B．9 C．8 D．3 【例2】（25-26八年级上·全国·期末）小明同学利用”描点法“画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： 0 1 2 9 5 1 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（    ） A．9 B．5 C．1 D． 【例3】（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在一次函数的图象上，到y轴的距离等于2的点的坐标是 . 【例4】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则 ． 【核心考点五 列一次函数解析式并求值】 【例1】（24-25八年级下·湖北荆州·月考）若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【例2】（24-25八年级下·天津和平·月考）一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ） A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3） 【例3】（24-25八年级下·陕西西安·月考）汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【例4】（25-26八年级下·山西晋城·月考）鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为 （用含的代数式表示）． 【核心考点六 待定系数法求正比例函数解析式】 【例1】（24-25八年级下·河北保定·期末）已知正比例函数的图象经过点，如果和在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽合肥·二模）已知直线y=-4x-6经过点（m，n），且2m-7n≤0，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·云南昆明·期中）点在直线上，则代数式的值是 ． 【例4】（24-25八年级·江苏·期末）已知点在一次函数的图像上，则 ． 【变式训练1 正比例函数的定义】 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（   ） 1 3 6 2 ▲ A．3 B． C．6 D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）根据下表，可以得到与之间的一个关系式是 ． … 0 1 … … 2 1 0 … 3．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）已知关于x的函数，当m，n为何值时，它是正比例函数． 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知与的关系如下表． 0 1 2 3 15 10 5 0 (1)根据上表写出与的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求的值． 【变式训练2 识别一次函数】 1．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图 2．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）下列说法正确的是 （填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 3．（2025九年级·全国·专题练习）已知与x+n（，为常数）成比例，试判断与成什么函数关系？ 4．（2025·浙江衢州·模拟预测）写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 【变式训练3 根据一次函数的定义求参数】 1．（24-25八年级上·安徽淮北·月考）【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知函数是一次函数， (1)求的值； (2)该一次函数当时，求的取值范围． 4．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【变式训练4 求一次函数自变量或函数值】 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则n的值为（   ） x … m … y … 4 2 n … A． B．1 C．2 D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图象过点，，一次函数的图象过点，则与的数量关系是 ． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值； (3)当时，求的值． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 【变式训练5 列一次函数解析式并求值】 1．（2025·陕西西安·三模）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·模拟预测）“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为 ． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 4．（24-25八年级上·广东·单元测试）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的） （人 500 1000 1500 2000 2500 3000 （元 0 1000 2000 请回答下列问题： (1)自变量为　　，因变量为　　； (2)与之间的关系式是 　　； (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？ 【变式训练6 待定系数法求正比例函数解析式】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）若某正比例函数图象经过点，则该正比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是 ． 3．（24-25八年级上·广西百色·期中）已知正比例函数，且当时，，求y与x的函数解析式． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知函数 (1)当m是何值时函数是一次函数，写出此函数解析式．并计算当时的函数值； (2)点在此一次函数图象上，则n的值为多少？ 1．（24-25八年级上·广东清远·期末）下列函数关系式中，属于一次函数的是（    ） A．y＝－1 B．y＝x2＋1 C．y＝kx＋b（k、b是常数） D．y＝1－2x 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）若直线经过点和，且，则n的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如下：他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是（　　） x … 0 1 2 … y … 0 3 … A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）当 时，函数是正比例函数． 7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，y是x的一次函数，则 ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）把方程改写成y关于x的一次函数形式，得 ，其中 ， ． 9．（24-25八年级上·江苏南京·月考）下表给出的是关于某个一次函数的自变量及其对应的函数值的部分对应值，则的值为 ． 10．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是 ； 11．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）若函数是关于的正比例函数，求的值． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数表达式，并指出哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数． (1)面积为10的三角形的底与底边上的高之间的关系； (2)一条边长为8的长方形的周长与它的邻边之间的关系； (3)汽车每小时行驶40km，行驶的路程和时间之间的关系． 13．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．    设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一次函数的图象如图所示． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求，的值． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标． 数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题． ①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值． ②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小． ③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论． 学科网（北京）股份有限公司 $