精品解析：浙江绍兴市嵊州市2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025学年第一学期期末学业成绩调测 九年级数学 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题时所有试题卷的答案请填在答题卷相应的位置上，做在试题卷上无效． 3．本次考试不使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，由几个正方体搭成的几何体，主视图是（ ） A. B. C. D. 2. “向上抛掷两枚质地均匀的硬币，结果都是正面向上”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一根长的竹竿斜靠在墙上，竹竿与地面的倾斜角度为，当竹竿沿着墙向下滑到的位置时，此时竹竿与地面的倾斜角度为，则竹竿向外滑动的距离的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在中，有且只有两个正数，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 12. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为，估计袋中红球的个数为___________． 13. 如图，已知圆柱的高为，底面圆周长为，若一只蚂蚁准备从圆柱的底面处，沿着圆柱的侧面爬到处，则它爬行的最短路程是___________cm． 14. 已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 15. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、E、D分别在、弧上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是_______． 16. 如图，矩形中，于点，交于点，平分分别交于点，若，则的值是___________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 根据下列条件，求与的比． （1）． （2）． 18. 如图，将四张分别印有“嵊州小吃”图片的卡片（形状，大小，质地都相同）放在不透明的盒子中：小笼包，炒年糕，炒榨面，麦镬． （1）若搅匀后从中任意取出1张卡片，取出的卡片是小笼包的概率为___________． （2）若搅匀后从中任意取出2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的卡片为麦镬和炒年糕的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，将绕点逆时针旋转得到． （1）画出，并写出点的坐标． （2）求点经过的路径长度． 20. 如图，四边形的两条对角线相交于点． （1）求证：． （2）若，的面积为4，求的面积． 21. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知． （1）求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 22. 如图，是半圆的直径，是上一点，连接是的中点，连接交于点，过点作半圆的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点． （1）用含的代数式表示． （2）若该二次函数的图象经过，且经过点，当时，都有，求的取值范围． （3）若一次函数，对于任意实数，都有，求此时该二次函数图象的顶点坐标． 24. 如图1，已知正方形的边长为为对角线的中点，为上一点，连接，过点作，交于点，连接． （1）若，求的度数． （2）若． ①求的值． ②如图2，若点是射线上的一点，连接，将沿折叠，使点落在处，连接并延长，交于点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末学业成绩调测 九年级数学 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题时所有试题卷的答案请填在答题卷相应的位置上，做在试题卷上无效． 3．本次考试不使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，由几个正方体搭成的几何体，主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．据此求解即可． 【详解】解：主视图是从正面看到的图形， 由几何体以及正面方向可知，主视图为： 故选：A． 2. “向上抛掷两枚质地均匀的硬币，结果都是正面向上”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“向上抛掷两枚质地均匀的硬币，结果都是正面向上”这一事件是随机事件， 故选：B． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的基本性质可得，把它代入所求的代数式中即可． 【详解】由已知得： 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的基本性质及求代数式的值，关键是比例基本性质的应用． 4. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长，垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中， ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 5. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】解：由题意得，， 若添加，利用两边及其夹角法可判断， 故选项C符合题意； 、、均不能判定，故不符合题意． 故选：C． 6. 如图，一根长的竹竿斜靠在墙上，竹竿与地面的倾斜角度为，当竹竿沿着墙向下滑到的位置时，此时竹竿与地面的倾斜角度为，则竹竿向外滑动的距离的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，解直角三角形分别求得和的长，据此求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质和圆内接四边形的性质．分别连接，，根据四边形内角和求出的度数，再利用圆周角定理求得即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是的内切圆，分别切，，于点，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用等知识点． 根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形，由已知得，过A作于E，由勾股定理可求的长度，根据菱形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，记为菱形，则， 过A作于E，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积是：． 故选：D． 9. 如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理得到，用各部分面积分别表示出、和，再列式求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积已知， ∴能求出代数式的值， 故选：A． 10. 已知二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在中，有且只有两个正数，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式组．先求得，，，结合，，中有且只有两个是正数，分别求出a的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：∵二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，， ∴，，， ∵在中，有且只有两个正数， 若且，，即，解得； 若且，，即，解得； 若且，，即，无解； 因此的取值范围为或， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键． 12. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为，估计袋中红球的个数为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，频率估计概率．利用频率估计概率，摸到红球的频率为，即概率约为，设红球个数为r，通过方程求解． 【详解】解：设红球个数为r，则总球数为， ∵ 摸到红球的频率约为， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴估计袋中红球个数为6， 故答案为：6． 13. 如图，已知圆柱的高为，底面圆周长为，若一只蚂蚁准备从圆柱的底面处，沿着圆柱的侧面爬到处，则它爬行的最短路程是___________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理．根据题意，画出图形，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，设展开图为矩形，，， 如图所示：， 故答案为：5． 14. 已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 15. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、E、D分别在、弧上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可知，，，，则阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积．本题考查的是扇形面积的计算，根据题意得出长方形的面积是解答此题的关键． 【详解】解：正方形的边长为1， ， ， ，，， 长方形的面积 故答案为：． 16. 如图，矩形中，于点，交于点，平分分别交于点，若，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质．设，，，利用三角函数的定义求得，，，再求得，证明，求得，，由，得到，整理得，令，解方程求得，即，据此求解即可． 【详解】解：在矩形中，设，，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵平分， ∴点到和的距离相等，不妨设为， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得， 令，则， ∴， 解得，即， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 根据下列条件，求与的比． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握内项之积等于外项之积． （1）交叉相乘将比例式化为乘积式，即可求解； （2）先整理得到，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，将四张分别印有“嵊州小吃”图片的卡片（形状，大小，质地都相同）放在不透明的盒子中：小笼包，炒年糕，炒榨面，麦镬． （1）若搅匀后从中任意取出1张卡片，取出的卡片是小笼包的概率为___________． （2）若搅匀后从中任意取出2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的卡片为麦镬和炒年糕的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中取出的卡片为麦镬和炒年糕的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵共有张卡片：小笼包，炒年糕，炒榨面，麦镬， ∴取出的卡片是小笼包的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：记小笼包，炒年糕，炒榨面，麦镬分别为A，B，C，D， 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中取出的卡片为麦镬和炒年糕的结果有2种， ∴取出的卡片为麦镬和炒年糕的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，将绕点逆时针旋转得到． （1）画出，并写出点的坐标． （2）求点经过的路径长度． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， 由图，点的坐标为； （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，求弧长，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出，根据点的位置，写出点的坐标即可； （2）求出的长，利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由点得：， 点经过的路径长即的长为：． 20. 如图，四边形的两条对角线相交于点． （1）求证：． （2）若，的面积为4，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ， ； （2）15 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）利用两边对应成比例，且夹角相等证明两个三角形相似； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：且， ， ， ． 21. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知． （1）求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）符合要求， 过点作交于点，作于点， ， ， ， ． ， ， 是的中点， ， ， 点到地面的距离为：，符合要求． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）连接，求得，，据此求解即可； （2）过点作交于点，作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ， 由题意得， ， 点到地面的距离为：； 【小问2详解】 略 22. 如图，是半圆的直径，是上一点，连接是的中点，连接交于点，过点作半圆的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：切半圆于点是半圆的直径， ， 是的中点， ∴ ， ， ， ； （2）4 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质、圆周角定理结合等角的余角相等即可证明； （2）连接，证明，利用相似三角形的性质列式，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是半圆的直径， ，且， ，设， ，且是公共角， ， ∴， ， 即， ， 解得：（舍去）． ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，解题的关键是综合运用上述知识点． 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点． （1）用含的代数式表示． （2）若该二次函数的图象经过，且经过点，当时，都有，求的取值范围． （3）若一次函数，对于任意实数，都有，求此时该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，进一步计算即可求解； （2）求出对称轴，得到点关于直线的对称点是，再根据当时，都有，确定m的取值范围即可； （3）根据题意得到，令，由题意求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ， ； 【小问2详解】 解：把代入得，代入（1）得， ， 对称轴是直线， 关于直线的对称点是， 开口向下，且， 且满足， ， ； 【小问3详解】 解：，即， 化简得：， 令， 则关于的二次函数图象中的所有点的纵坐标，且开口向上， 则有，即， 而， ，即， ， 此时的顶点坐标为． 24. 如图1，已知正方形的边长为为对角线的中点，为上一点，连接，过点作，交于点，连接． （1）若，求的度数． （2）若． ①求的值． ②如图2，若点是射线上的一点，连接，将沿折叠，使点落在处，连接并延长，交于点，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质求解即可； （2）①将绕点顺时针旋转得到，并连接，求得，推出，据此求解即可； ②求得，要使得取到最小值，即取到最小值即点到的距离，由折叠可知等同于点到的距离，即线段的长．据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图1所示： 正方形， ． ， ； 【小问2详解】 解：①如图2所示： 将绕点顺时针旋转得到，并连接， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ； ②如图3所示： 正方形， ， ， 要使得取到最小值， 需要取到最大值， 需要取到最小值， 需要取到最小值， 而最小值即点到的距离，由折叠可知等同于点到的距离，即线段的长． 由①得， ， ， ， 此时， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形性质，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，解直角三角形，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $