精品解析：浙江绍兴市嵊州市2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025学年第一学期期末学业成绩调测 九年级数学 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题时所有试题卷的答案请填在答题卷相应的位置上，做在试题卷上无效． 3．本次考试不使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，由几个正方体搭成的几何体，主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．据此求解即可． 【详解】解：主视图是从正面看到的图形， 由几何体以及正面方向可知，主视图为： 故选：A． 2. “向上抛掷两枚质地均匀的硬币，结果都是正面向上”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“向上抛掷两枚质地均匀的硬币，结果都是正面向上”这一事件是随机事件， 故选：B． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的基本性质可得，把它代入所求的代数式中即可． 【详解】由已知得： 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的基本性质及求代数式的值，关键是比例基本性质的应用． 4. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长，垂径定理可得 ，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中， ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 5. 如图，能使 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】解：由题意得，， 若添加，利用两边及其夹角法可判断 ， 故选项C符合题意； 、 、均不能判定 ，故不符合题意． 故选：C． 6. 如图，一根 长的竹竿斜靠在墙上，竹竿与地面的倾斜角度为，当竹竿沿着墙向下滑到的位置时，此时竹竿与地面的倾斜角度为 ，则竹竿向外滑动的距离的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在 和中，解直角三角形分别求得和的长，据此求解即可． 【详解】解：在 中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，若 ，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质和圆内接四边形的性质．分别连接 ， ，根据四边形内角和求出的度数，再利用圆周角定理求得 即可． 【详解】解：连接 ， ，如图， ∵是的内切圆，分别切，，于点，，， ∴ ， ， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用等知识点． 根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形，由已知得，过A作于E，由勾股定理可求的长度，根据菱形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，记为菱形，则， 过A作于E，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积是：． 故选：D． 9. 如图1，以直角三角形 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知 的面积，则能求下列哪个代数式的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理得到，用各部分面积分别表示出、和，再列式求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵ 的面积已知， ∴能求出代数式的值， 故选：A． 10. 已知二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在中，有且只有两个正数，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式组．先求得，，，结合，，中有且只有两个是正数，分别求出a的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：∵二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，， ∴，，， ∵在中，有且只有两个正数， 若且，，即，解得； 若且，，即，解得； 若且，，即，无解； 因此的取值范围为或， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键． 12. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为，估计袋中红球的个数为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，频率估计概率．利用频率估计概率，摸到红球的频率为，即概率约为，设红球个数为r，通过方程求解． 【详解】解：设红球个数为r，则总球数为， ∵ 摸到红球的频率约为， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴估计袋中红球个数为6， 故答案为：6． 13. 如图，已知圆柱的高为，底面圆周长为，若一只蚂蚁准备从圆柱的底面 处，沿着圆柱的侧面爬到 处，则它爬行的最短路程是___________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理．根据题意，画出图形，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，设展开图为矩形， ，， 如图所示：， 故答案为：5． 14. 已知函数的图象和函数 的图象如图所示，则关于的一元二次方程 的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数 的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程 的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线 ， 函数的图象和函数 的图象一个交点的横坐标为 ， ∴一个交点的横坐标为 ， ∴关于的一元二次方程 的解是 ． 故答案为： ． 15. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形 的顶点C、E、D分别在、弧上， ，交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可知， ， ，，则阴影部分的面积正好等于长方形 的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形 的面积．本题考查的是扇形面积的计算，根据题意得出长方形 的面积是解答此题的关键． 【详解】解：正方形 的边长为1， ， ， ， ，， 长方形 的面积 故答案为： ． 16. 如图，矩形中， 于点，交于点， 平分 分别交于点，若，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质．设，，，利用三角函数的定义求得，，，再求得，证明，求得，，由，得到，整理得，令，解方程求得，即，据此求解即可． 【详解】解：在矩形中，设，，则，，， ∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵ 平分 ， ∴点到和的距离相等，不妨设为， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得， 令，则， ∴， 解得，即， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 根据下列条件，求与 的比． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握内项之积等于外项之积． （1）交叉相乘将比例式化为乘积式，即可求解； （2）先整理得到，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，将四张分别印有“嵊州小吃”图片的卡片（形状，大小，质地都相同）放在不透明的盒子中：小笼包，炒年糕，炒榨面，麦镬． （1）若搅匀后从中任意取出1张卡片，取出的卡片是小笼包的概率为___________． （2）若搅匀后从中任意取出2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的卡片为麦镬和炒年糕的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中取出的卡片为麦镬和炒年糕的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵共有张卡片：小笼包，炒年糕，炒榨面，麦镬， ∴取出的卡片是小笼包的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：记小笼包，炒年糕，炒榨面，麦镬分别为A，B，C，D， 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中取出的卡片为麦镬和炒年糕的结果有2种， ∴取出的卡片为麦镬和炒年糕的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系 中，点，将绕点逆时针旋转得到． （1）画出，并写出点的坐标． （2）求点 经过的路径长度． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，求弧长，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出，根据点的位置，写出点的坐标即可； （2）求出的长，利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 由图，点的坐标为； 【小问2详解】 解：由点得：， 点 经过的路径长即的长为：． 20. 如图，四边形的两条对角线相交于点． （1）求证：． （2）若，的面积为4，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）利用两边对应成比例，且夹角相等证明两个三角形相似； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ； 【小问2详解】 解：且， ， ， ． 21. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为 的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为 ，推手支架的支点恰好为的中点．已知． （1）求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到 ） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把 距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）符合要求， 过点作交 于点，作于点， ， ， ， ． ， ， 是的中点， ， ， 点到地面的距离为：，符合要求． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）连接 ，求得，，据此求解即可； （2）过点作交 于点，作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：连接 ， ， 由题意得， ， 点到地面的距离为：； 【小问2详解】 略 22. 如图，是半圆的直径，是上一点，连接是的中点，连接交于点，过点 作半圆的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质、圆周角定理结合等角的余角相等即可证明； （2）连接，证明，利用相似三角形的性质列式，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 证明：切半圆于点是半圆的直径， ， 是的中点， ∴， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 是半圆的直径， ，且， ，设， ，且 是公共角， ， ∴， ， 即， ， 解得：（舍去）． ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，解题的关键是综合运用上述知识点． 23. 已知二次函数（ 为常数）的图象经过点． （1）用含的代数式表示． （2）若该二次函数的图象经过，且经过点，当时，都有，求 的取值范围． （3）若一次函数，对于任意实数，都有，求此时该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，进一步计算即可求解； （2）求出对称轴，得到点关于直线的对称点是，再根据当时，都有，确定m的取值范围即可； （3）根据题意得到，令，由题意求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ， ； 【小问2详解】 解：把代入得 ，代入（1）得 ， ， 对称轴是直线， 关于直线的对称点是， 开口向下，且， 且满足， ， ； 【小问3详解】 解：，即， 化简得：， 令， 则关于的二次函数图象中的所有点的纵坐标，且开口向上， 则有，即， 而， ，即， ， 此时的顶点坐标为． 24. 如图1，已知正方形的边长为为对角线的中点，为上一点，连接，过点作 ，交于点，连接． （1）若，求 的度数． （2）若． ①求的值． ②如图2，若点是射线上的一点，连接 ，将沿 折叠，使点 落在处，连接并延长，交 于点，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质求解即可； （2）①将 绕点 顺时针旋转得到，并连接，求得，推出，据此求解即可； ②求得，要使得取到最小值，即取到最小值即点到 的距离，由折叠可知等同于点到 的距离，即线段 的长．据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图1所示： 正方形， ． ， ； 【小问2详解】 解：①如图2所示： 将 绕点 顺时针旋转得到，并连接， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ； ②如图3所示： 正方形， ， ， 要使得取到最小值， 需要取到最大值， 需要取到最小值， 需要取到最小值， 而最小值即点到 的距离，由折叠可知等同于点到 的距离，即线段 的长． 由①得， ， ， ， 此时， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形性质，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，解直角三角形，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末学业成绩调测 九年级数学 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题时所有试题卷的答案请填在答题卷相应的位置上，做在试题卷上无效． 3．本次考试不使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，由几个正方体搭成的几何体，主视图是（ ） A. B. C. D. 2. “向上抛掷两枚质地均匀的硬币，结果都是正面向上”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，能使 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一根 长的竹竿斜靠在墙上，竹竿与地面的倾斜角度为，当竹竿沿着墙向下滑到的位置时，此时竹竿与地面的倾斜角度为 ，则竹竿向外滑动的距离的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 是的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，若 ，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，以直角三角形 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知 的面积，则能求下列哪个代数式的值（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在中，有且只有两个正数，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 12. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为，估计袋中红球的个数为___________． 13. 如图，已知圆柱的高为，底面圆周长为，若一只蚂蚁准备从圆柱的底面处，沿着圆柱的侧面爬到 处，则它爬行的最短路程是___________cm． 14. 已知函数的图象和函数 的图象如图所示，则关于的一元二次方程 的解是___________． 15. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形 的顶点C、E、D分别在、弧上， ，交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是_______． 16. 如图，矩形中， 于点，交于点， 平分 分别交于点，若，则的值是___________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 根据下列条件，求与 的比． （1）． （2）． 18. 如图，将四张分别印有“嵊州小吃”图片的卡片（形状，大小，质地都相同）放在不透明的盒子中：小笼包，炒年糕，炒榨面，麦镬． （1）若搅匀后从中任意取出1张卡片，取出的卡片是小笼包的概率为___________． （2）若搅匀后从中任意取出2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的卡片为麦镬和炒年糕的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，将绕点 逆时针旋转得到． （1）画出，并写出点的坐标． （2）求点经过的路径长度． 20. 如图，四边形的两条对角线相交于点． （1）求证：． （2）若，的面积为4，求的面积． 21. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为 的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为 ，推手支架的支点恰好为的中点．已知． （1）求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到 ） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 22. 如图，是半圆 的直径，是上一点，连接是的中点，连接交于点，过点作半圆 的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 23. 已知二次函数（ 为常数）的图象经过点． （1）用含的代数式表示． （2）若该二次函数的图象经过，且经过点，当时，都有，求 的取值范围． （3）若一次函数，对于任意实数，都有，求此时该二次函数图象的顶点坐标． 24. 如图1，已知正方形的边长为为对角线的中点，为上一点，连接 ，过点作 ，交 于点，连接 ． （1）若，求 的度数． （2）若． ①求的值． ②如图2，若点 是射线 上的一点，连接 ，将沿 折叠，使点 落在处，连接并延长，交 于点 ，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $