精品解析：浙江杭州市拱墅区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025学年第一学期期末教学质量调研 九年级数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写考号、学校、姓名、班级． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知点P在半径为2的上，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，利用“圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径”这一性质即可求解 【详解】解：∵点P在半径为2的上， ∴是的半径， ∴． 故选：B． 2. 如图，在中，，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切的定义解答即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴tanA=． 故选C． 【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 3. 如图，已知点D，E分别在的边，上，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，由，得，由，证明，则，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 下列二次函数中，图象的对称轴是y轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的对称轴，二次函数的对称轴为直线，二次函数的对称轴为直线，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、的对称轴为直线，即对称轴为y轴，故此选项符合题意； B、的对称轴为直线，故此选项不符合题意； C、的对称轴为直线，故此选项不符合题意； D、的对称轴为直线，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 设圆内接正六边形的一个内角的度数为，一条边所对的圆心角度数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接多边形，正多边形的内角问题以及弧、弦、圆心角的关系等知识，分别求出圆内接正六边形的一个内角度数和一条边所对的圆心角度数，再分析两者的数量关系，即可获得答案． 【详解】解：∵正六边形的内角和为， ∴一个内角的度数， ∵圆周为，正六边形六条边所对的圆心角相等， ∴一条边所对的圆心角度数， ∴． 故选：B． 6. 对二次函数及其图像的描述正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标 C. 最小值为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，先将一般式配成顶点式，再结合二次函数的开口方向、顶点坐标、最值及增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：对于二次函数， ∵， ∴其函数图像开口向上，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为，故B选项错误，不符合题意； ∵该函数图像开口向上， ∴函数有最小值，故C选项错误，不符合题意； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，随的增大而增大， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 7. 如图，四边形内接于，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理，连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦的关系得到，进而求出． 详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在正方形网格中，点O，A，B，C均在格点上．若射线过点A，射线过点B或点C中的一点，设，则或的值不可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据正弦及正切的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 当射线过点B时，过点B作的垂线，垂足为M， 令正方形网格的边长为1， 在中，， 所以， 则，； 当射线过点C时，过点C作的垂线，垂足为N， 在中，，， 所以， 则，， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 9. 若点C是线段的黄金分割点，，点D是线段的黄金分割点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义与比例运算，解题的关键是利用黄金分割定义表示线段长度，再通过精确代数运算比较大小． 【详解】解：设， ∵点是AB的黄金分割点，， ∴，． ∵点是AC的黄金分割点，， ∴， ∴． ∴选项A成立，选项B不成立. ， ． ∵， ∴， ∴，即． ∴排除了选项C与选项D. 故选：A． 10. 如图1，是积水管道的圆形截面，水面为．排水过程中，设水面下降的高度为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最高点，且经过．下列选项正确的是（ ） A. B. 点C的纵坐标为24 C. 点在该函数图象上 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，二次函数的实际应用．设圆心为点E，过点E作于点F，交圆于点G，连接，根据题意得圆E的直径为，，可得到半径，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到，再求出抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：设圆心为点E，过点E作于点F，交圆于点G，连接， 根据题意得圆E的直径为，， ∴半径， ∴，即，故A选项错误； ∴ 在中，， ∴，即， ∴点C的纵坐标为20，故B选项错误； 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即点不在该函数图象上，故C选项错误； 当时，，即点在该函数图象上，故D选项正确； 故选：D 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次函数的图象过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，将点代入函数解析式进行计算即可． 【详解】解：由题知，将点代入得， ． 故答案为：． 12. 若（a+b）：b＝3：2，则a：b＝_____． 【答案】1：2 【解析】 【分析】直接利用已知变形进而得出答案． 【详解】解：∵（a+b）：b＝3：2， ∴＝， ∴2a+2b＝3b， 故2a＝b， 则a：b＝1：2． 故答案为：1：2． 【点睛】本题考查比例的性质，正确将已知变形是解题关键． 13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，随机摸出一张卡片，摸出的卡片数字是3的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片， ∴随机摸出一张卡片，摸出的卡片数字是3的概率是． 故答案为：． 14. 如图，是的直径，点C，点D都在上，．若的半径为1，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，连接，根据题意得出，据此设，进一步得出，，再根据勾股定理求出x的值，最后求出的长即可． 详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 则令，， ∴． ∵的半径为1， ∴， ∴； 在中， ， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 设二次函数，，函数，的图像与轴的两个交点之间的距离分别为，．已知函数的最小值是，则______（填“”“”“”中的一个）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与轴交点问题，由函数 的最小值为 ，得出其判别式 ，再分别求出 和 的表达式，通过比较得出 即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由函数的最小值是，且二次函数有最小值， ∴，顶点纵坐标为，整理得， ∴函数与轴的两个交点之间的距离， 由，得， ∴与轴的两个交点之间的距离， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知点D，E，F分别在的边，，上，连接，，，分别与，交于点G，H，，且．若，，则______． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，设，，则，证明，由相似三角形性质得，证明，由相似三角形性质得，再证明，由相似三角形性质得，再根据得，由此解得，继而可得的长． 【详解】解：设，，其中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：70． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）二次函数的图象经过点，求该函数的表达式． 【答案】（1）1（2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，特殊角的三角函数值，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）利用待定系数法求二次函数解析式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ． （2）把，代入，得： ， 解得， 所以该函数的表达式为． 18. 如图，在中，，是边上高线． （1）若，，求的长． （2）求证：．（直接使用“射影定理”不得分） 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）勾股定理求出，再利用直角三角形的面积公式求解即可； （2）利用等角的余角相等，证明，进而可得，再利用相似三角形的性质即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 由题意，得， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 由题意，得， ∴， ∴， ∴ 19. 二次函数可以写成的形式，也可以写成的形式，其中b，c，，k为常数． （1）分别求b，c，，k的值． （2）该函数图象上有三个点，，，比较，，的大小． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用二次函数的三种形式，把顶点式和交点式展开后，即可得到，，解得，，； （2）求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 又， ∴，， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点，，在函数的图象上， ∴点，关于直线对称， ∴． 20. 一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个黑球，2个白球． （1）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求摸出2个黑球的概率（用树状图或列表法）． （2）从布袋里同时摸出2个球（不放回），求摸出的2个球颜色不同的概率（用树状图或列表法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． （1）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出摸出2个黑球的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出摸出的2个球颜色不同的概率． 【小问1详解】 解：树状图如下所示， 由上可得，一共有16种等可能性，其中摸出2个黑球的可能性有1种， ∴摸出2个黑球的概率； 【小问2详解】 解：树状图如下， 由上可得，一共有12种等可能性，其中摸出的2个球颜色不同的可能性有10种， ∴摸出的2个球颜色不同的概率为． 21. 圆形纸板中画有圆内接矩形，沿线段（点A，点B在圆上）裁剪后，得到如图所示的图形．某兴趣小组需要寻找圆心所在的位置．圆圆同学连接了线段，点点同学说：“只要再作出图中一条线段的垂直平分线，即可找到圆心的位置”． （1）你作的是哪条线段的垂直平分线（只需写一种）？ （2）请通过尺规作图，作出圆心O（保留作图痕迹）． （3）简要说明你所作的点O是圆心的依据． 【答案】（1）线段（或） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理的推论，尺规作图，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． （1）利用垂径定理的推论弦的垂直平分线经过圆心的性质解答即可； （2）作出的垂直平分线，与的交点即为圆心； （3）根据圆周角定理和垂径定理解答即可． 【小问1详解】 解：作出线段（或）的垂直平分线即可． 【小问2详解】 解：作出的垂直平分线，与交于点O，如图， 则点O为所在圆的圆心． 【小问3详解】 解：∵四边形为圆的内接矩形， ∴， ∴为圆的直径， ∵为的垂直平分线， ∴经过矩形的外接圆的圆心， ∴与的交点O为矩形的外接圆的圆心． 22. 为确保电线杆拉线的稳定性，并满足跨越道路，施工过程中通常采用高桩拉线的方式．如图，水平拉线连接拉线桩与电线杆，拉线棒将拉线桩与地面连接．已知拉线桩与水平地面夹角，拉线棒与水平地面夹角，米． （1）求的长． （2）为了保证不妨碍车辆通行，道路上方水平拉线的高度（点G离水平地面的高度）不得低于6米．若水平拉线与电线杆的夹角，判断该设计是否满足要求，并说明理由．（，， 【答案】（1）6米 （2）设计满足要求，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，在中求出，在中求出，即可得到长； （2）根据题意，在中求出长，即可得到长，判断结果． 【小问1详解】 解：如图，过点C作， 设（米）， ∵在中，，， ∴（米）， ∵在中，，， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴在中，（米）， 答：的长为6米； 【小问2详解】 解：该设计满足要求，理由如下： 过点C作CH⊥DG交于点H， 由题意，得四边形为矩形， ∴（米），（米）， ∵在中，，， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴该设计满足要求． 23. 二次函数（c为常数，且）的图象过点． （1）求此二次函数表达式． （2）若过点与x轴平行的直线交此函数的图象于B，C两点，且该直线到x轴的距离等于线段的长，求t的值． （3）若点，都在此函数的图象上，其中，且满足，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次不等式等知识，解题的关键是能准确进行计算． （1）由二次函数的图象过点，得，解得（舍去）或，即可得二次函数的表达式为； （2）在中，令得，故，，而直线到x轴的距离等于线段的长，可得，即，解得或； （3）求出，根据，得，即可解得m的范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点，则： ， 解得（舍去）或， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，令得， 整理得：， ∴，， ∵直线到x轴的距离等于线段的长， ∴， ∴， ∴， 即， 解得或； 【小问3详解】 解：∵点，都在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，，点在边上（不与点，点重合），点在线段的延长线（射线）上，，，与交于点，． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）求证：当四边形的面积最大时，点B恰为的中点． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，推出，则，再根据，即可求解； （2）过点作，交于点，过点作，交于点，根据题意求得，，，又得到，，可推出，同理得到，结合，即可证明； （3）设，则，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，由（1）知，从而得到，，再求得，同理可得，由（2）知，，从而可求得四边形的面积，利用二次函数求得最值，推出，即可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 如图，过点作交于点， 在中，， ∴， ∵，， ∴点为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴，即， 同理可得，即 又∵， ∴； 【小问3详解】 证明：∵， ∴设，则， 如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 由（1）知， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 在中， 同理可得，， 由（2）知，， ∴四边形的面积为，， ∴当时，四边形的面积最大，此时， ∴， ∴， ∴点恰为的中点． 【点睛】本题考查了解直角三角形，二次函数的最值问题，等腰三角形的性质和平行线的性质等，熟练掌握解直角三角形和求二次函数最值以及准确 构造辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末教学质量调研 九年级数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写考号、学校、姓名、班级． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知点P在半径为2的上，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，在中，，（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知点D，E分别在的边，上，．若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次函数中，图象的对称轴是y轴的是（ ） A. B. C. D. 5. 设圆内接正六边形的一个内角的度数为，一条边所对的圆心角度数为，则（ ） A. B. C. D. 6. 对二次函数及其图像的描述正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 C. 最小值为 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 如图，四边形内接于，若，，则（ ） A B. C. D. 8. 如图，在正方形网格中，点O，A，B，C均在格点上．若射线过点A，射线过点B或点C中一点，设，则或的值不可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 若点C是线段的黄金分割点，，点D是线段的黄金分割点，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，是积水管道的圆形截面，水面为．排水过程中，设水面下降的高度为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最高点，且经过．下列选项正确的是（ ） A. B. 点C的纵坐标为24 C. 点该函数图象上 D. 点在该函数图象上 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次函数的图象过点，则______． 12. 若（a+b）：b＝3：2，则a：b＝_____． 13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，随机摸出一张卡片，摸出的卡片数字是3的概率是______． 14. 如图，是的直径，点C，点D都在上，．若的半径为1，，则的长为______． 15. 设二次函数，，函数，的图像与轴的两个交点之间的距离分别为，．已知函数的最小值是，则______（填“”“”“”中的一个）． 16. 如图，已知点D，E，F分别在边，，上，连接，，，分别与，交于点G，H，，且．若，，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）二次函数的图象经过点，求该函数的表达式． 18. 如图，在中，，是边上高线． （1）若，，求的长． （2）求证：．（直接使用“射影定理”不得分） 19. 二次函数可以写成的形式，也可以写成的形式，其中b，c，，k为常数． （1）分别求b，c，，k的值． （2）该函数图象上有三个点，，，比较，，的大小． 20. 一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个黑球，2个白球． （1）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求摸出2个黑球的概率（用树状图或列表法）． （2）从布袋里同时摸出2个球（不放回），求摸出的2个球颜色不同的概率（用树状图或列表法）． 21. 圆形纸板中画有圆内接矩形，沿线段（点A，点B在圆上）裁剪后，得到如图所示的图形．某兴趣小组需要寻找圆心所在的位置．圆圆同学连接了线段，点点同学说：“只要再作出图中一条线段的垂直平分线，即可找到圆心的位置”． （1）你作的是哪条线段的垂直平分线（只需写一种）？ （2）请通过尺规作图，作出圆心O（保留作图痕迹）． （3）简要说明你所作的点O是圆心的依据． 22. 为确保电线杆拉线的稳定性，并满足跨越道路，施工过程中通常采用高桩拉线的方式．如图，水平拉线连接拉线桩与电线杆，拉线棒将拉线桩与地面连接．已知拉线桩与水平地面夹角，拉线棒与水平地面夹角，米． （1）求的长． （2）为了保证不妨碍车辆通行，道路上方水平拉线的高度（点G离水平地面的高度）不得低于6米．若水平拉线与电线杆的夹角，判断该设计是否满足要求，并说明理由．（，， 23. 二次函数（c为常数，且）的图象过点． （1）求此二次函数的表达式． （2）若过点与x轴平行的直线交此函数的图象于B，C两点，且该直线到x轴的距离等于线段的长，求t的值． （3）若点，都在此函数的图象上，其中，且满足，求m的取值范围． 24. 如图，在中，，，点在边上（不与点，点重合），点在线段的延长线（射线）上，，，与交于点，． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）求证：当四边形的面积最大时，点B恰为的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $