8. 1　一元二次方程课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

第八章 一元二次方程 1　一元二次方程 知识点1 一元二次方程的定义 只含有_____未知数x的整式方程，并且都可以化为__________ ____(a，b，c为常数，a___0)的形式，这样的方程叫做一元二 次方程． 一个 ax2＋bx＋c ＝0 ≠ 【注意】 (1)一元二次方程的概念有三个要点：①方程是整式方程　 ②“一元”指的是只含有一个未知数 ③“二次”指的是未知数的最高次数是2； (2)判断一个方程是不是一元二次方程，必须看整理后的方程是否同时满足整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2(二次项系数不为0)．这三个条件缺一不可． 知识点2 一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的一般形式： 我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方 程的一般形式．其中ax2，bx，c分别称为_______、一次项和 _______，a，b分别称为_______系数和_______系数． 二次项 常数项 二次项 一次项 2．一元二次方程的特殊形式： (1)a≠0，b≠0，c＝0时，_______＝0； (2)a≠0，b＝0，c≠0时，______＝0； (3)a≠0，b＝0，c＝0时，___＝0. ax2＋bx ax2＋c ax2 知识点3 一元二次方程解的估算 能使一元二次方程左右两边_____的未知数的值，称为一元二次 方程的解． 估计一元二次方程的近似解，通常采用列表的方式．首先根据具 体的实际问题确定出解的适当范围，然后通过对x的取值进行逼 近使得方程中的ax2＋bx＋c的值无限接近于0，这时x的值就是方 程的近似解． 相等 一般地，一个一元二次方程如果有解，那么它有_____解，这两 个解可能_____，也可能不相等． 两个 相等 考点1 一元二次方程的定义 典例1 [2025·西山区期末]下列方程中，是一元二次方程的 有( ) ①ax2＋bx＋c＝0　②x2－ ＝0　 ③xy－x2＝2　 ④(x＋1)(x－2)＝x2－7 ⑤x2＋9＝0　 ⑥(x－2)(x＋3)＝0 A．4个　 B．3个 C．2个　　 D．1个 思路导析 根据一元二次方程的定义进行逐项判断． 【方法技巧】 判别一元二次方程的“三个技巧”： (1)先把方程化简变形为一般形式后再判断； (2)分母或被开方数中含有未知数的方程一定不是一元二次方程； (3)二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是一元二次方程． 变式1 [2025·凤阳期末]若方程kx2＋x＝3x2＋1是一元二次方 程，则k的取值范围是_____． k≠3 变式2 [2024·鞍山月考]关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x －1＝0. (1)当m取何值时是一元二次方程？ (2)当m取何值时是一元一次方程？ 考点2 一元二次方程的一般形式 典例2 [2024·西平期中]把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)(x－5)2＝36； (2)3y(y＋1)＝2(y＋1)． 思路导析 首先去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，进而得出各项系数． 解：(1)一元二次方程(x－5)2＝36的一般形式是x2－10x－11＝0， 二次项系数是1，一次项系数是－10，常数项是－11； (2)一元二次方程3y(y＋1)＝2(y＋1)的一般形式是3y2＋y－2＝0， 二次项系数是3，一次项系数是1，常数项是－2. 变式1 [2025·思明期末]一元二次方程3x2＋1＝6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A．3，－6，1　　 B．3，1，6 C．3，6，1　　 D．3，1，－6 变式2 [2024·康县期中]将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)3x2－1＝2x； (2)x(x－2)＝4x2－3x； (3)关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p(m＋n≠0)． 解：(1)3x2－2x－1＝0，二次项系数为3，一次项系数为－2，常数项为－1； (2)3x2－x＝0，二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0； (3)(m＋n)x2＋(m－n)x＋p－q＝0，二次项系数为(m＋n)，一次项系数为(m－n)，常数项为(p－q)． 考点3 利用一元二次方程的解求字母或代数式的值 典例3 [2024·深圳]已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根 为1，则m＝__. 2 思路导析 将x＝1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可． 变式1 [整体代入][2025·西山期末]若a是一元二次方程x2－6x＋4＝0的一个实数根，则2a2－12a＋2 033的值是( ) A．2 022　 B．2 023 C．2 024 D．2 025 变式2 [2025·平谷期末]关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋ a2－4＝0的一个根为0，则a值为____． －2 考点4 估算一元二次方程的解 典例4 用估算的方法确定一元二次方程x2－2x－4＝0的近似解．(精确到个位) 思路导析 方程近似解的求法可通过列表，使代数式x2－2x－4的值不断接近0. 解：列表计算： 所以－2<x<－1或3<x<4. 进一步列表计算： 所以x≈－1或x≈3. x －2 －1 0 1 2 3 4 x2－2x－4 4 －1 －4 －5 －4 －1 4 x －1.4 －1.3 －1.2 3.2 3.3 3.4 x2－2x－4 0.76 0.29 －0.16 －0.16 0.29 0.76 变式1 [2024·湖州期末]如表所示是某同学求代数式x2－3x的值的情况，根据表格可知方程x2－3x＝0的根是( ) A. x＝3 B．x＝0 C．x＝0或x＝3 D．x＝1或x＝2 x … －2 －1 0 1 2 3 … x2－3x … 10 4 0 －2 －2 0 … 变式2 [2024·榆次期中]在估算一元二次方程的根时，小明列表如表： 由此可以确定，一元二次方程2x2＋4x－8＝0的一个根x的大致范围是( ) A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2x2＋4x－8 －2 －1.18 －0.32 0.58 1.52 eq \f(1,x) 解：(1)∵方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是一元二次方程， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋1＝2，,m＋1≠0，)) ∴m＝1； (2)当m＝0时，原方程为x－3x－1＝0，是一元一次方程，符合题意； 当m≠0时， ∵方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是一元一次方程， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＝0，,m－3≠0，)) ∴m＝－1； 综上所述，m＝0或m＝－1. $