8.1一元二次方程第1课时（教学课件）数学鲁教版五四制八年级下册

8.1 一元二次方程 第1课时 第八章 一元二次方程 章节导读 本章将对一元二次方程进行全面的认识.与一元一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型. 斜靠在墙上的梯子，当其顶端下滑一定距离时，其底端滑动多远？在矩形地面的中央铺设一定面积的矩形地毯，如果四周末铺地毯的条形区域宽度相同，那么这个宽度是多少？五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能找到这样的整数吗？这些看似风马牛不相及的问题，却有着某种内在的联系，你觉得奇妙吗？生活中还有许许多多的问题也蕴含着同样的规律. 学 习 目 标 1.理解一元二次方程的定义，能依据方程的构成特征判断一个方程是否为一元二次方程;（重点） 2.掌握一元二次方程的一般形式，能准确地确定方程中的二次项系数、一次项系数和常数项，运用一般形式解决相关基础问题;（重点） 3.通过分析实际问题中的数量关系，能将实际问题转化为一元二次方程模型，求解与一元二次方程相关的问题.(难点） 在一个方程中，只含有______________，且未知数的指数都是______，这样的方程叫做一元一次方程． 复习回顾 1.什么是一元一次方程？ 一个未知数 1 2.一元一次方程的一般形式是什么？ 一元一次方程的一般形式是：ax＋b＝0（a，b是常数，a 0）． ≠ 情境引入 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 上述问题还能用学过的一元一次方程或分式方程解决吗？ 问题1：上述问题中,如果设所求的宽度为 x m,那么你能列出怎样的方程？ 解:设所求的宽度为xm， 则中间地毯的宽表示为_________m, 长表示为________m, 则方程列为 ， 化简，得_________________. 新知探究 探究一：一元二次方程的定义及有关概念 (5-2x) (8-2x) (8-2x)(5-2x)=18 4x2 -26x+22 ＝0 x x x x 新知探究 问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 ， ， ， .　 根据题意，可得方程： 　　　　　 　　　, 化简，得 . x2 - 8x - 20＝0 x+1 x+2 x+3 x+4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 问题3：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米？ 新知探究 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙 　　　m. 如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙　　 m , 根据题意，可得方程： ， 化简，得 . 6 x+6 72 + (x + 6)2 = 102 1m xm x2 + 12 x - 15 = 0 6m 新知探究 共同特点： ①只含有一个未知数; ②未知数的最高次数是2; ③整式方程． 这三个方程有什么共同特点？ 议一议 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (8-2x)(5-2x)=18 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 72 + (x + 6)2 = 102 2x2 - 13x + 11 = 0 ； x2 - 8x - 20＝0； x2 + 12 x - 15 = 0. 化简整理 新知探究 一元二次方程的概念 知识归纳 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 我们把ax2+bx +c = 0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 一元二次方程的一般形式 新知探究 ax2+bx +c = 0(a,b,c为常数,a≠0)中，ax2，bx，c分别 称为二次项、一次项和常数项，a，b分别 称为二次项系数和一次项系数. 知识归纳 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 常数项 二次项 一次项 一元二次方程的项及其系数 新知探究 当 a = 0 时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 当 a ≠ 0 ， c = 0时 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 总结：若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0 当b ≠ 0时，为 一元一次方程 一元二次方程 为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c 可以为零呢？ 想一想 方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再根据定义作判断. 新知探究 1.下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 含两个未知数 不是整式方程 化简整理得 x2-3x+2=0 少了限制条件a≠0 新知探究 探究二：建立一元二次方程模型 做一做 桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多少厘米？请根据题意列出方程． 15㎝ 25㎝ 300cm2 解:设剪去的正方形边长为x cm,则无盖方盒的底面的长为(25-2x) cm ，宽为(15-2x ) cm . 根据题意，可列方程为(25-2x)(15-2x)= 300, 整理得：4x2 -8x+75 ＝0. 新知探究 列一元二次方程的基本思路： 知识归纳 (1)审清题意，弄清已知和未知，找出等量关系； (2)设未知数，一般求什么就设什么为x； (3)用含未知数的代数式表示等量关系中的量,将问题转化为方程,即列出方程． 2.小明用30厘米长的铁丝围成一个斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为x厘米，则另一条直角边长为 厘米，列方程得 ，一般形式为 . 13cm 新知探究 (17-x) x2+(17-x)2=132 x2-17x十60=0 典例分析 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ 例1 (1)ax2-x=2x2； (2)(a-1)-2x-7=0. 解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0，所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程. (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、 一次项和常数项及它们的系数. 例2 典例分析 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为： 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号. 典例分析 如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程． 例3 解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程． 解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm. 根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81. 整理，得x2－17x＋51＝0(x＜)． 巩固练习 基础巩固题 1.下列方程属于一元二次方程的是（　　） A.                      B. x（x-1）＝y2  C.2x3-x2＝2                    D.（x-3）（x+4）＝9 2.方程2x2-6-x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A.6，2，9                     B.2，-6，9    C.2，-6，-9                    D.-2，6，9 D C 巩固练习 基础巩固题 3.将一元二次方程-3x2-2＝-4x化成一般形式为（　　） A.3x2-4x+2＝0                    B.3x2-4x-2＝0   C.3x2+4x+2＝0                    D.3x2+4x﹣2＝0 4.设一个奇数为x，它与跟它相邻奇数的积为323，所列方程正确的是(　　) A.x(x＋2)＝323                B.x(x-2)＝323 C.x(x＋1)＝323                D.x(x-2)＝323或x(x＋2)＝323 A D 5.下列方程中，是一元二次方程的是 (填入序号即可)． 巩固练习 基础巩固题 ①②④⑥ 6.若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． -1 7.方程的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． -2 -1 巩固练习 基础巩固题 8.已知关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0.     （1）m取何值时，它是一元二次方程？     （2）m取何值时，它是一元一次方程？ 解:(1)由m2+1=2且m+1≠0，解得 m=1, 故当m=1时,关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0是一元二次方程. (2)当m-2≠0且m+1=0 时，解得 m=-1. 当m2+1=1且 m+1+m-2≠0 时，解得 m=0. 故当m=-1或0时,关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0是一元一次方程. 巩固练习 基础巩固题 9.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少： (1) 2x2=3x-1；(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0. 解：（1）2x2=3x-1化为一般形式为  2x2-3x+1=0， ∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，1. (2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0化为一般形式为  -x2+2x-4=0,    ∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1，2，-4. 课堂小结 认识一元二次方程1 一元二次方程的定义 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 我们把ax2+bx +c = 0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 一元二次方程的一般形式 其中，ax2，bx，c分别 称为二次项、一次项和常数项，a，b分别 称为二次项系数和一次项系数. 列一元二次方程的基本思路 (1)找等量关系； (2)设未知数； (3)列出方程． 感谢聆听! $