精品解析：湖南永州市新田县2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

2025年下期期末质量监测 九年级 数学（试题卷） 温馨提示： 1．考生作答时，选择题和非选择题均作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本学科试卷共三道大题，24道小题，满分120分，时量120分钟． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象经过点，则此函数的图象也经过点（ ） A. B. C. D. 3. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，，，，，则麦苗又高又整齐的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（　　） A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. 2 5. 已知在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程配方后可变形（ ） A. B. C. D. 7. 如图，反比例函数的图象过点A，则的面积是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 若，则（　　） A. 是直角三角形 B. 是等边三角形 C. 是含有60°的任意三角形 D. 是顶角为钝角的等腰三角形 9. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，且BC＝6，，则DE的长等于（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 10. 如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解是_____． 12. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数图象上，则______（填“>”“=”或“<”）. 13. 如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，则与的面积之比是_______． 14. 已知：如图，，，，，则______． 15. 已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是_____． 16. 如图，已知矩形，长，宽，、分别是、上运动的两点．若自点出发，以的速度沿方向运动，同时，自点出发以的速度沿方向运动，则经过____________秒，以、、为顶点的三角形与相似． 三、解答题（本大题共8小题，第17题共7分，第18、19题每小题8分，第20、21、22题每小题9分，第23题10分，第24题12分，共72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （1）解一元二次方程：； （2）计算：． 18. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 19. 永州队在2025年湘超联赛中勇夺冠军，展现出了顽强拼搏的精神和出色的团队配合，为永州赢得了荣誉与骄傲．为普及永州本土足球文化，新田县某中学对全校学生关于湘超联赛的了解程度进行了一次抽样调查，将调查结果划分为4个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为_____； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中等级C所对应扇形圆心角的度数是_____； （4）该校共有学生900人，请你估计该校对湘超联赛“比较了解”的学生人数． 20. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°． （1）求证：△ABP∽△PCD； （2）若PC=2，求CD的长． 21. 五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m处（AC＝18m）的一个斜坡CD上进行测量．如图，已知斜坡CD的坡度为i＝1：，斜坡CD长12m，在点D处竖直放置测角仪DE，测得宝塔顶部B的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5m，点A、B、C、D、E在同一平面内． （1）求点D距地面的高度； （2）求宝塔AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） 22. 道州脐橙果大、皮薄，色泽鲜艳，果肉多汁化渣，风味浓郁，果汁中含有大量的维生素及对人体有益的矿物质，深受消费者的喜爱．某合作社从2020年到2022年每年种植脐橙100亩，2020年脐橙的平均亩产量为2000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2022年脐橙的平均亩产量达到2880千克． （1）若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？ （2）2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，2022年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下降10元，求2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？ 23. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围； （3）求的面积． 24. （1）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足点．求证：． 【问题解决】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，以点为坐标原点，所在的直线为轴．过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系，菱形的顶点在反比例函数的图象上，求： ①求菱形的边的长． ②直接写出顶点的坐标及反比例函数的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期期末质量监测 九年级 数学（试题卷） 温馨提示： 1．考生作答时，选择题和非选择题均作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本学科试卷共三道大题，24道小题，满分120分，时量120分钟． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是，判断一个方程是否为一元二次方程，需要看方程是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，二次项系数不为0），逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A、当时，方程变为，不是一元二次方程，故A不符合题意； B、方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，二次项系数，故B符合题意； C、整理方程，得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故C不符合题意； D、方程分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，故D不符合题意； 故选：B． 2. 反比例函数的图象经过点，则此函数的图象也经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握反比例函数图象上任意一点的横纵坐标乘积等于比例系数．据此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． A、∵， ∴点在该函数图象上，符合题意； B、∵， ∴点不在该函数图象上，不符合题意； C、∵， ∴点不在该函数图象上，不符合题意； D、∵， ∴点不在该函数图象上，不符合题意． 故选：A． 3. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，，，，，则麦苗又高又整齐的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，在平均数相同的前提下，方差越大，数据波动越大，长势越不整齐；方差越小，数据波动越小，长势越整齐，据此判断即可．掌握方差的意义是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴四种麦苗的平均高度相同， ∵， 又∵方差越小，麦苗长势越整齐， ∴麦苗又高又整齐的是甲． 故选：A． 4. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（　　） A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将m代入方程，解得关于字母m的一元二次方程即可． 【详解】m是方程的一个根， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 5. 已知在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据，设，，由勾股定理求得，即可求得． 【详解】在中，， ∵， 设，， 由勾股定理得，， ∴． 故选：D 【点睛】此题重点考查三角函数值，把握三角函数值的计算方法是解题的关键． 6. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 7. 如图，反比例函数的图象过点A，则的面积是（ ） A 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数的几何意义可知，也就是的面积的2倍是6，求出的面积即可． 【详解】解：由反比例函数的几何意义可知， ∴， 故选：A． 【点睛】考查反比例函数的几何意义，反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握k的绝对值，等于的面积的2倍． 8. 若，则（　　） A. 是直角三角形 B. 是等边三角形 C. 是含有60°的任意三角形 D. 是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 9. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，且BC＝6，，则DE的长等于（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据相似三角形的性质得出的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC． ∴， ∴， ∵BC＝6， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答本题的关键． 10. 如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断． ②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断． ③正确．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断． ④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC， ∴∠DCB+∠ABC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠DCB=120°， ∵EC平分∠DCB， ∴∠ECB=∠DCB=60°， ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°， ∴△ECB是等边三角形， ∴EB=BC， ∵AB=2BC， ∴EA=EB=EC， ∴∠ACB=90°， ∵OA=OC，EA=EB， ∴OE∥BC， ∴∠AOE=∠ACB=90°， ∴EO⊥AC，故①正确， ∵OE∥BC， ∴△OEF∽△BCF， ∴ ， ∴OF=OB， ∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误， 设BC=BE=EC=a，则AB=2a，AC=a，OD=OB=a， ∴BD=a， ∴AC：BD=a：a=：7，故③正确， ∵OF=OB=a， ∴BF=a， ∴BF2=a2，OF•DF=a• a2， ∴BF2=OF•DF，故④正确， 故选：B． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】通过因式分解法求解一元二次方程即可．本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 或 ， 解得，． 故答案为 ，． 12. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数图象上，则______（填“>”“=”或“<”）. 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k>0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵k>0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ， ∴>． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键． 13. 如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，则与的面积之比是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两三角形位似，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为， ∴与的面积之比是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 14. 已知：如图，，，，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据三角形相似的性质得即可求解． 【详解】解：， ， ， ，，， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． 15. 已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是_____． 【答案】 【解析】 【详解】∵x1，x2是关于x的方程x2+ax−2b=0的两实数根， ∴x1＋x2=−a=−2，x1x2=−2b=1， 解得a=2，b= ∴ba=()2=. 故答案为. 16. 如图，已知矩形，长，宽，、分别是、上运动的两点．若自点出发，以的速度沿方向运动，同时，自点出发以的速度沿方向运动，则经过____________秒，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似，则要分两两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△BDC或△QBP∽△BDC，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可． 【详解】解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD， 由于∠PBQ=∠BCD=90°， (1)当∠1=∠2时，有PB：DC=BQ：BC， 即(8−x)：8=2x：12， 解得x=； (2)当∠1=∠3时，有PB：BC=BQ：DC， 即(8−x)：12=2x：8， 解得x=2， ∴经过2秒或秒时△PBQ∽△BCD． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分类是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，第17题共7分，第18、19题每小题8分，第20、21、22题每小题9分，第23题10分，第24题12分，共72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解一元二次方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）用因式分解法，解一元二次方程即可； （2）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，立方根定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， 或， 解得； （2）解： ． 18. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程的定义和根的判别式，正确理解新定义列出对应的算式和方程是解题的关键． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得方程，整理得，再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且． 19. 永州队在2025年湘超联赛中勇夺冠军，展现出了顽强拼搏的精神和出色的团队配合，为永州赢得了荣誉与骄傲．为普及永州本土足球文化，新田县某中学对全校学生关于湘超联赛的了解程度进行了一次抽样调查，将调查结果划分为4个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为_____； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数是_____； （4）该校共有学生900人，请你估计该校对湘超联赛“比较了解”的学生人数． 【答案】（1）50； （2）图见解析； （3）扇形统计图中等级所对应扇形的圆心角为； （4）学生人数为432人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图等知识，用样本估计总体等，熟知各知识点是正确解答此题的关键． （1）由A等级人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各等级人数之和等于总人数可求得C等级人数即可补全条形图； （3）用乘C等级人数所占比例即可； （4）用总人数乘以 “比较了解”学生人数所占的百分比，即可估计该校对湘超联赛“比较了解”的学生人数． 【小问1详解】 解：（人） 故答案为：50． 【小问2详解】 解：（人） 等级有8人， 补全条形统计图如图 【小问3详解】 解：． 答：扇形统计图中等级所对应扇形的圆心角为． 【小问4详解】 解：（人） 答：估计该校对湘超联赛“比较了解”的学生人数为432人． 20. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°． （1）求证：△ABP∽△PCD； （2）若PC=2，求CD的长． 【答案】（1）见解析 （2）CD的长为 【解析】 【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD； （2）由（1）的结论△ABP∽△PCD 可得，从而可以求出线段CD的长． 【小问1详解】 证明：∵等边三角形ABC， ∴∠B=∠C=60°， ∵∠APD=60°， ∴∠APB+∠CPD=120°， 在△APB中，∠APB+∠BAP=120°， ∴∠BAP=∠CPD， ∴△ABP∽△PCD； 【小问2详解】 解：等边三角形边长为3，PC=2， 由（1）得△ABP∽△PCD， ， ∴， ∴CD=． 答：CD的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD． 21. 五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m处（AC＝18m）的一个斜坡CD上进行测量．如图，已知斜坡CD的坡度为i＝1：，斜坡CD长12m，在点D处竖直放置测角仪DE，测得宝塔顶部B的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5m，点A、B、C、D、E在同一平面内． （1）求点D距地面的高度； （2）求宝塔AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） 【答案】（1）点D距地面的高度为6m （2）宝塔AB的高度为28.8m 【解析】 【分析】（1）根据已知可得∠DCF＝30°，然后在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点E作EG⊥AB，垂足为G，在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF，从而求出AF，EG的长度，然后在Rt△EBG中，根据锐角三角函数的定义求出BG，即可解答． 【小问1详解】 解：如图： ∵斜坡CD的坡度为i＝1：， ∴在Rt△DCF中，tan∠DCF， ∴∠DCF＝30°， ∴DFDC＝6（m）， ∴点D距地面的高度为6m； 【小问2详解】 解：过点E作EG⊥AB，垂足为G， ∴EG＝AF， ∵∠DFC＝90°，∠DCF＝30°， ∴CFDF＝6（m）， ∵AC＝18m， ∴AF＝AC+CF＝（18+6）m， ∴EG＝（18+6）m， 在Rt△EBG中，∠BEC＝37°， ∴BG＝EG•tan37°＝（18+6）×0.75≈21.29（m）， ∴BA＝BG+ED+DF＝21.29+1.5+6≈28.8（m）， ∴宝塔AB高度为28.8m． 【点睛】本考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 22. 道州脐橙果大、皮薄，色泽鲜艳，果肉多汁化渣，风味浓郁，果汁中含有大量的维生素及对人体有益的矿物质，深受消费者的喜爱．某合作社从2020年到2022年每年种植脐橙100亩，2020年脐橙的平均亩产量为2000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2022年脐橙的平均亩产量达到2880千克． （1）若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？ （2）2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，2022年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下降10元，求2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？ 【答案】（1）20% （2）20亩 【解析】 【分析】（1）设2021年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x，第2021年脐橙平均亩产量为千克，第2022年脐橙平均亩产量为千克，据此列出方程求解即可； （2）设增加脐橙种植面积a亩，根据成本不变列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设2021年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：脐橙平均亩产量的年增长率为20%． 【小问2详解】 设增加脐橙种植面积a亩． 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去），． 答：该合作社增加脐橙的种植面积20亩时，才能保证脐橙种植的总成本保持不变． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 23. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入，求出，进而求出点的坐标．将点和点代入，求出和的值； （2）结合图象和点、的坐标进行判断即可； （3）设与轴相交于点，求出点的坐标，利用割补法求出的面积． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， 将，代入，得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可知，点右侧到轴左侧以及点右侧部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象，即， ∴自变量的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，设与轴相交于点， 当时，， ∴，即， ∴． ， ， ， ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，图象法解不等式，直线围成的三角形面积问题，熟练掌握相关知识是关键． 24. （1）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图，正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，以点为坐标原点，所在的直线为轴．过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系，菱形的顶点在反比例函数的图象上，求： ①求菱形的边的长． ②直接写出顶点的坐标及反比例函数的解析式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②，． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质得到直角，再通过同角的余角相等证明一组对应角相等，从而用“两角对应相等”证明三角形相似． （2）先利用正方形的性质和证明，得到；再证明即可得证． （3）①先构造辅助线，证明，得到是等边三角形，再利用直角三角形的性质求出相关线段长度，最后求得菱形的边长． ②根据①中求出的线段长度，结合坐标系的位置，直接写出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵即， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）①延长交轴于点，在延长线上取，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ，， ∴， ， ∵，， ∴， 在中， ，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ②由（）①知：，，且点在第三象限， ∴顶点的坐标为， 将代入，得 ， ∴反比例函数的解析式为：． 【点睛】本题主要考查了矩形、正方形、菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及反比例函数解析式的确定．熟练掌握特殊四边形的性质、三角形相似与全等的判定定理、以及利用几何图形性质求解线段长度和坐标的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $