精品解析：江苏省南京市建邺区2025-2026学年第一学期期未学业质量监测 九年级数学

建邺 2025-2026学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知的半径为3， ，则点 与的位置关系是（ ） A. 点 在内 B. 点 在上 C. 点 在外 D. 不能确定 2. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 点P为线段 的黄金分割点，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（ ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 5. 如图，是等边的外接圆，是的直径，过点D作的切线交 的延长线于点E．若，则 的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 6. 已知函数的图象过点，，，则下列选项中，对应的a的值最大的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 若，则______． 8. 已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 9. 若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为______． 10. 某厂工业废气 年排放量为万立方米．为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到万立方米．设平均每年废气排放量减少的百分率为，则可列方程为______． 11. 若圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则圆锥的底面积为______． 12. 甲、乙两人5次射击命中的环数如下表．设甲、乙5次射击命中环数的方差分别为和，则____（填“>”、“=”或“<”）． 甲 7 8 9 10 6 乙 8 6 8 8 10 13. 如图，四边形内接于．若 ，则______ ． 14. 如图，小明掷实心球的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是，则小明此次掷实心球的成绩是______m． 15. 如图，在矩形中，，，点E在上，连接，过点A作 ，垂足为H，延长交于点F．若，则的值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为，的半径为2，P为上的一点，轴，垂足为M，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P． 求证：PA•PB=PC•PD． 19. 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别，为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力 4.9 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m n 56 根据以上信息，回答下列问题： （1） ______，______， ______； （2）抽样调查数据的中位数所在类别为______类； （3）已知该校共有800名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议． 20. 已知二次函数（a，b，c是常数，且 ），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 1 0 1 m … （1） ______； （2）求该二次函数的表达式； （3）当时，x的取值范围是______． 21. 某种粮大户去年种植水稻360亩，平均每亩收益440元．他计划今年多承租若干亩稻田，预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年平均收益少2元．该种粮大户今年应承租多少亩稻田才能使总收益最大？ 22. 甲，乙两人玩卡牌游戏，甲从牌面数字为2，3，4三张牌中随机取出两张牌，乙从牌面数字为5，6两张牌中随机取出一张牌． （1）甲抽出的两张卡牌中含有数字4的概率为______； （2）求甲抽出的两张牌上的数字之和大于乙抽出牌上的数字的概率． 23. 如图， 为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，与交于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 24. 如图，在中，，分别是 ，的中点，，相交于点，连接并延长，与，分别相交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 25. 如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的． （1）过点A，与l相切且半径最小； （2）过点A，与l相切于点P，的度数为． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 26. 已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． （1）将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则 ______； （2）当时，求n的取值范围； （3）当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 27. 如图1，在平面上，给定了半径为r的，对于任意点P，在射线上取一点，使得，则称点为点P关于的反演点． 【概念认识】 （1）下列关于反演点的结论：①若点P在外，则它的反演点一定在内；②若点P在上，则它的反演点是它本身；③点P的反演点不可能是线段的中点．其中所有正确结论的序号是____． 【初步应用】 （2）如图2，点P为外一点，过点P作的切线 ， ，切点分别为A，B，与 交于点C．求证：点C是点P关于的反演点． 【深入探究】 （3）如图3，在中，， ， ，以为直径作，P为直线 上一点，点为点P关于的反演点，则的长的最大值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建邺 2025-2026学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知的半径为3， ，则点 与的位置关系是（ ） A. 点 在内 B. 点 在上 C. 点 在外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据的半径为3， ，且，即可得出结果，熟练掌握点到圆心的距离与圆半径的大小关系对应的位置关系是解题关键． 【详解】解：∵的半径为3， ，且， ∴点 在内， 故选：A． 2. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数顶点式的顶点坐标为这一性质来求解. 【详解】解：∵二次函数顶点式的顶点坐标为 又∵， ∴该二次函数的顶点坐标为 故选：B． 3. 点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义及相关比例关系，根据黄金分割的概念逐一分析选项． 【详解】解：∵点P为线段的黄金分割点，且， ∴根据黄金分割定义，得（选项A正确），且，即（选项D正确，选项C错误）. ∵ ∴（选项B正确）. 综上，错误的结论是C． 故选：C． 4. 如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（ ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 5. 如图，是等边的外接圆，是的直径，过点D作的切线交的延长线于点E．若，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．连接，因为是等边三角形，所以，因为是的直径，与相切于点，所以，则，求得，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 是等边三角形， ， 是的直径，与相切于点，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 6. 已知函数的图象过点，，，则下列选项中，对应的a的值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象性质． 由于二次函数图象经过点， ，，将这三点坐标代入，用表示a的值，根据一次函数的性质即可作答． 【详解】解：∵图象经过点， ，， 将这三点坐标代入， 得， ∴， ∴， ∵ ∴随的增大而减小， ∵, ∴当时，a的值最大， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据已知比例关系，用b和d表示a和c，再代入所求分式进行化简. 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：2． 8. 已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了已知二次函数的图象与x轴交点个数求参数，二次函数的定义，正确理解定义及与坐标轴交点的个数与判别式的关系是解题的关键． 根据二次函数与轴有两个公共点，则方程判别式大于零求解即可． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个公共点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 9. 若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于的方程的两根分别是2，3， 所以， 则． 故答案为：6． 10. 某厂工业废气 年排放量为万立方米．为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到万立方米．设平均每年废气排放量减少的百分率为，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在增长率（降低率）问题中的应用，熟练掌握利用平均变化率公式 建立方程是解题的关键． 根据平均每年减少的百分率 ，依次表示出一年后和两年后的废气排放量，再根据两年后排放量为144万立方米这一条件，列出方程． 【详解】解：设平均每年废气排放量减少的百分率为x， 根据题意列方程得， 故答案为：． 11. 若圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则圆锥的底面积为______． 【答案】 9π 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用弧长公式和圆的周长公式求出底面圆的半径，再根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：设底面半径为R，则， ∴， ∴圆锥的底面积为． 故答案为： ． 12. 甲、乙两人5次射击命中的环数如下表．设甲、乙5次射击命中环数的方差分别为和，则____（填“>”、“=”或“<”）． 甲 7 8 9 10 6 乙 8 6 8 8 10 【答案】 > 【解析】 【分析】本题主要考查方差，先计算甲和乙的平均数，再根据方差公式计算方差，最后比较大小． 【详解】解：甲的平均数为 ，乙的平均数为 ， 甲的方差为 ， 乙的方差为 ， 故 。 故答案为：． 13. 如图，四边形内接于．若 ，则______ ． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键； 根据圆内接四边形的性质和圆周角定理，求得，，再利用三角形内角之间的关系，得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，小明掷实心球的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是，则小明此次掷实心球的成绩是______m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出x的值即可求出小明此次掷实心球的成绩． 【详解】解：当时，， 解得 或（不合题意，舍去）， 即小明此次掷实心球的成绩是10米． 故答案为：10． 15. 如图，在矩形中，，，点E在上，连接，过点A作 ，垂足为H，延长交于点F．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，由矩形的性质得，，，由 ，垂足为H，得，推导出，进而证明，得，由，得，则，再证明，得，则，求得，则，，求得，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，点E在上，连接， ∴， ∵ ，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为，的半径为2，P为上的一点，轴，垂足为M，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，一次函数与坐标轴的交点问题；设，则，得出，则直线与相切时，求得最小值，即可求解． 【详解】解：设，则 ∴ 设，则 ∵点C的坐标为，的半径为2，P为上的一点，轴， 根据勾股定理可得 代入，得， 整理得 当 时直线与相切，则取的最小值， ∴ 解得： ∴当切点在点的左侧时，取得最小值， 即的最小值为 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ∴． 18. 如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P． 求证：PA•PB=PC•PD． 【答案】 解：连接AC、BD． ∵∠A＝∠D，∠C＝∠B， ∴△ACP∽△DBP， ∴， ∴PA•PB＝PC•PD． 【解析】 【分析】连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论． 【详解】略 【点睛】本题是通过相似三角形的性质来证明相交弦定理，关键是根据圆周角定理求出相等的角． 19. 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别，为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力 4.9 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m n 56 根据以上信息，回答下列问题： （1） ______，______， ______； （2）抽样调查数据的中位数所在类别为______类； （3）已知该校共有800名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议． 【答案】（1）64，120，30 （2） （3）人，建议合理即可 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，中位数等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）先由A的人数除以占比求出总人数，再由总人数乘以的占比即可求解，再由总人数减去组的人数即可求解； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）用样本估计总体的方法求解即可，建议合理即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ， ， ∴， 故答案为：64，120，30； 【小问2详解】 解：总人数人，则中位数为第 和人视力的平均数，而组 人，组人， ∴中位数在组， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 学校可以定期组织视力检查，增加户外活动时间，培养正确的读写姿势和用眼习惯等． 20. 已知二次函数（a，b，c是常数，且 ），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 1 0 1 m … （1） ______； （2）求该二次函数的表达式； （3）当时，x的取值范围是______． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，然后利用和关于直线对称，从而得到m的值； （2）利用待定系数法求二次函数的解析式； （3）由于时，；，，则根据二次函数的性质得到时，． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵和关于直线对称， ∴； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：把，，分别代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：∵抛物线开口向上，时，；，， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 21. 某种粮大户去年种植水稻360亩，平均每亩收益440元．他计划今年多承租若干亩稻田，预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年平均收益少2元．该种粮大户今年应承租多少亩稻田才能使总收益最大？ 【答案】470亩 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设新增稻田a亩与总收益y元，根据总收益=原来土地的收益+新增土地的收益列出y与a的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值． 【详解】解：设该种粮大户今年新增稻田a亩，收益为y元， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，才能使总收益最大，最大收益是182600元， 此时，（亩）， 答：该种粮大户今年应承租470亩稻田才能使总收益最大． 22. 甲，乙两人玩卡牌游戏，甲从牌面数字为2，3，4三张牌中随机取出两张牌，乙从牌面数字为5，6两张牌中随机取出一张牌． （1）甲抽出的两张卡牌中含有数字4的概率为______； （2）求甲抽出的两张牌上的数字之和大于乙抽出牌上的数字的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）列表可得出所有等可能的结果以及甲抽出的两张卡牌中含有数字4的结果，再利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果以及甲抽出的两张牌上的数字之和大于乙抽出牌上的数字的结果，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：列表如下： 2 3 4 2 3 4 共有6种等可能的结果，其中甲抽出的两张卡牌中含有数字4结果有4种， ∴甲抽出的两张卡牌中含有数字4的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 5 6 2，3 2，4 3，4 共有6种等可能的结果，其中甲抽出的两张牌上的数字之和大于乙抽出牌上的数字的结果有3种， ∴甲抽出的两张牌上的数字之和大于乙抽出牌上的数字的概率为． 23. 如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，与交于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证平分，可连接，利用切线性质得到，结合推出，再通过等腰三角形性质和角的等量代换证明两角相等． （2）先利用直径所对圆周角为直角，在 中求出的长，再通过三角形面积法或相似三角形求出的长度． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线性质与相似三角形的应用是解题的关键． 24. 如图，在中，，分别是，的中点，，相交于点，连接并延长，与，分别相交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握中位线定理与相似三角形的性质应用是解题的关键． （1）要证，可先利用三角形中位线定理得到 且，再通过证明，利用相似三角形的性质得出对应边的比例关系． （2）证明得，又证明，得，进而得，即可得． 【小问1详解】 解：∵，分别是，的中点， ∴ ，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵ ， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的． （1）过点A，与l相切且半径最小； （2）过点A，与l相切于点P，的度数为． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）如图，过点A作直线l于点D，以为直径作即可； （2）如图，过点A作直线l于点D，以为边作等边三角形，延长交直线l于点P，以为边在的右侧构造等边三角形，以O为圆心，为半径作即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 理由：由垂线段最短可知：所有过点A，与l相切的圆中，是最短的直径， 所以，半径最小； 【小问2详解】 解：如图，过点A作直线l于点D，以为边作等边三角形， 所以，， 延长交直线l于点P，则, 以为边在的右侧构造等边三角形，以O为圆心，为半径作， 所以，, 所以，，即， 所以直线是的切线，此时的度数为． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26. 已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． （1）将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则 ______； （2）当时，求n的取值范围； （3）当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 【答案】（1）1 （2） （3）A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，得出关于m的方程，据此进行求解即可； （2）根据题意，结合m的范围进行计算即可求n的取值范围； （3）对m的取值范围进行分类讨论，据此进行判断即可． 【小问1详解】 解：将二次函数的图象向右平移4个单位后得到函数， 点平移后对应点的坐标为， 新图象对称轴是直线，顶点坐标是； ，， 故答案为：1； 【小问2详解】 当时， 时，， 将代入，， ， 时，， 将代入，， ， n的取值范围为； 【小问3详解】 解：因为函数的对称轴为直线且开口向上， 所以当时，函数的最大值为离对称轴较远点的坐标． 当时，； 当时，， 又因为， 所以当时，， 则随的增大而增大； 当时，， 所以随的增大而增大，所以A选项符合题意． 故答案为：A． 27. 如图1，在平面上，给定了半径为r的，对于任意点P，在射线上取一点，使得，则称点为点P关于的反演点． 【概念认识】 （1）下列关于反演点的结论：①若点P在外，则它的反演点一定在内；②若点P在上，则它的反演点是它本身；③点P的反演点不可能是线段的中点．其中所有正确结论的序号是____． 【初步应用】 （2）如图2，点P为外一点，过点P作的切线 ，，切点分别为A，B，与交于点C．求证：点C是点P关于的反演点． 【深入探究】 （3）如图3，在中，， ， ，以为直径作，P为直线上一点，点为点P关于的反演点，则的长的最大值为______． 【答案】（1）①②（2）见解析（3） 【解析】 【分析】本题考查对新定义“反演点”的理解，以及点与圆位置关系的判断，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据反演点的定义，结合点与圆的位置关系来判断三个结论的正确性即可； （2）由切线性质、等腰三角形三线合一、相似三角形的判定与性质，推导出，从而证明C是P的反演点； （3）首先判断点的运动轨迹是以 为直径的圆，再判断当、、三点共线时，取最大值；分别求出和的长即可得出结论． 【详解】解：（1）①若点P在外，则， ∵， ∴， ∴点在内，故①正确； ②若点P在上，则， ∵， ∴， 即点与点 重合，故②正确； ③设点是线段的中点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴存在这样的点 ，故③错误； 故答案为①②； （2）证明：连接， ∵ ，是的切线， ∴ ，， ∴ ， 在 中，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴点C是点P关于的反演点． （3）∵ ， ∴， 在中，， ， ， ∴， ∴， ∴； ∵点为点P关于的反演点， ∴， 当 离点 无穷远时，趋向无穷大， ∵， ∴趋向于0， ∴过点 ； 当 离点 最近时， ， 过点 作 于点，则点 与点重合， ∵在上，且为定值， 在上取一点，使，则过点， 设与另一交点为， 当点 与点重合时，， ∴ ∵ 、 、三点共线， ∴与 重合， ∴过点， 同理，过点， 所以，由 、、、的位置可判断的轨迹为圆， ∵，， ∴， ∴圆心在 上， ∴ 为直径， ∴在以 为直径的上， 当、、三点共线时，取最大值； 在 中，， ， ∴，， ∴， ∴； 作于点， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最大值． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $