专题04 解三角形（竞赛培优专项训练,12大考点+竞赛强基）高一数学人教A版全国通用

专题04 解三角形 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 利用正弦定理解三角形 4 考点二 利用余弦定理解三角形 4 考点三 利用正、余弦定理判断三角形的形状 5 考点四 利用正、余弦定理解三角形 5 考点五 解多个三角形 6 考点六 解三角形与基本不等式的综合 7 考点七 解三角形与三角函数的综合 9 考点八 解三角形与平面向量的综合 10 考点九 解三角形的实际应用——测量距离 11 考点十 解三角形的实际应用——测量高度 13 考点十一 解三角形的实际应用——测量角度 14 考点十二 创新题型 16 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题26道） 【归纳重点知识】 知识点01 余弦定理与正弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos B； c2＝a2＋b2－2abcos C ＝＝＝2R 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝， sin B＝， sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 学生用书⬇第109页 2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 知识点02 三角形中的面积公式 知识点03 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角θ的范围是0°≤θ＜360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ [微提醒]　注意区分方位角与方向角的概念. 【熟记重要结论（二级结论）】 1.在△ABC中，常有以下结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C； tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos； cos＝sin. 2．高线问题的处理策略 (1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin∠BAC. (2)AD＝AB·sin∠ABD＝AC·sin∠ACD. (3)射影定理：3.a＝c·cos B＋b·cos C. 3.与中线长有关的计算问题的常见处理方法 (1)在△ABD、△ACD和△ABC中解三角形，求解AD.(如图①) (2)延长中线构造平行四边形：如图②，AE＝2AD，可在△ABE中求解AE，从而得出AD. (3)利用向量：由＝＋)，两边平方后＝，就可以得到中线、∠A及其两邻边的关系. 4.若出现角平分线，我们可以从“角度”和“长度”两个方面入手考虑. (1)角度：角被平分. (2)长度：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，则＝，然后转化为向量，运用向量知识解决起来较为简捷. (3)利用面积公式建立边的关系：即大三角形的面积等于两个小三角形的面积之和. 考点一 利用正弦定理解三角形 1．已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若a=,b=,B=,则A= (　　) A. B.C.或 D.或 2．设中，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（    ） A．2 B． C．1 D． 4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 5．（多选）在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 考点二 利用余弦定理解三角形 6．已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 7.(多选)在△ABC中,AB=,AC=1,B=,则角A的可能取值为 (　　) A. B. C. D. 8．在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 9．已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，则的取值范围为 . 考点三 利用正、余弦定理判断三角形的形状 10.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（       ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 11．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则满足条件的三角形有两个 D．若角A，B都是锐角，则 12．（多选）在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．若，，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为锐角三角形 考点四 利用正、余弦定理解三角形 13．在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 14.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 15.（多选）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是 (　　) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角的余弦值是最小内角的余弦值的 D.cos A∶cos B∶cos C=12∶9∶2 16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为____. 17．中，. (1)求； (2)若且，求的面积. 18．在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若. （i）求的值； （ii）求的值. 考点五 解多个三角形 19.在中，已知，D是边上一点，如图，，则（       ） A． B． C．2 D．3 20．在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 21.如图,已知平面四边形ABCD中,∠A=45°,∠ABC=75°,∠BDC=30°,BD=2,CD=. (1)求∠CBD的大小; (2)求AB的长. 22.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，，边上中线的长为. (1)求角A和角B的大小； (2)求的面积. 23．如图，在中，，，，P为内一点，．    (1)若，求PA； (2)（i）若，求． （ii）求的取值范围． 考点六 解三角形与基本不等式的综合 24.已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 25．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求BC边上的高的最大值． 26.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于D，且，求面积的最小值． 27．在中，，分别为，的中点，与交于点，记，． (1)若，，，求； (2)若，，求面积的最大值． 考点七 解三角形与三角函数的综合 28．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 29．设函数，其部分图象与坐标轴交点如图所示． (1)若，，，求； (2)在中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （ⅰ）证明：是等腰三角形； （ⅱ）若，求当的最小正周期为多少时，的中线BD能取得最大值． 30．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为. (1)求； (2)若，，求的最小值. 31．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 考点八 解三角形与平面向量的综合 32．已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为的中点，且，则的面积为（    ） A．6 B． C． D． 33．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 34.在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 35．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围； (3)若点为所在平面内一点，且满足.求的取值范围. 考点九 解三角形的实际应用——测量距离 36．月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C处）的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 37．如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A．米 B．米 C．米 D．米 38．如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口在的东偏北的方向（两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于之间相距较远，计划在之间设置一个服务区．    (1)若在的正北方向且，求到市中心的距离和最小时的值； (2)若在市中心的距离为，此时在的平分线与的交点位置，且满足，求到市中心的最大距离． 考点十 解三角形的实际应用——测量高度 39．奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（   ） A． B． C． D． 40．如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 41．位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为 米.（结果保留整数，参考数据：） 42.为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． (1)求的正弦值； (2)若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 考点十一 解三角形的实际应用——测量角度 43．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 44.如图，点A为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B为最北端，在点A的正东4千米C处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B处有一小船正以速度v（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应向西偏北 度方向行驶．（结果精确到整数） 45．如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 46．一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行，每2h沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站A点的正上空，地球半径约为6400km．    (1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离是多少． (2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？（参考数据：，） 考点十二 创新题型 47．古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 48．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 49．(多选)三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点P满足条件：时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是的布洛卡点，布洛卡角为，则（   ） A．当时， B．当且时， C．当时， D．当，时， 50．某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动．如图所示，线段表示角楼的高，C，D，E为三个可供选择的测量点，点B，C在同一水平面内，与水平面垂直．现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为 ．(只需写出一种方案) ①C，D两点间的距离；②C，E两点间的距离；③由点C观察点A的仰角；④由点D观察点A的仰角；⑤和；⑥和． 51．已知的内角所对的边分别为，，且满足：. (1)当_____时，从条件：①，②的面积为；中选择一个条件填到横线上，求c的值； (2)若D是边AC上一点，且，求面积的最大值及此时线段BD的长度. 52．已知中，点D是边的中点.且①；②；③；④. (1)求的长； (2)若四边形为圆内接四边形，求四边形的周长的取值范围. 上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是______，请写出用剩余条件解答本题的过程. 1．（2024清华大学强基计划）在中，，，P在内部，延长BP交AC于Q，且，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2024厦门大学强基计划）单位圆内接，取，，作边长构成新，则（    ） A．能构成新，且 B．能构成新，且 C．能构成新，且 D．不能构成新 3．（2024湖南株州“同济大学”杯竞赛）已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（    ） A．为直角 B．为锐角 C．为钝角 D．在之间 4．（2024集英苑冬季竞赛）在中，角所对的边分别是．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 5．（2024高三数学极光杯竞赛）已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025全国数学联赛重庆初赛）在中，的最小值为 . 7．（2024安徽省阜阳竞赛）中，角所对的边分别为，记的面积为． （1）当时， ； （2）的最大值为 ． 8．（2024第四届英才杯竞赛）在矩形中，，，E在上，F在上，，则当取得最小值时，的值为 .    9．（2024第四届英才杯竞赛）如图，在中，，，，点是边上一个动点，作，，连接，则的最小值为 . 10．（2024全国数学联赛宜宾初赛）已知的三边分别为，满足，则的面积为 . 【答案】 【解析】由题意可知， 而， 所以， 此时. 11．（2024全国数学联赛吉林初赛）在 中， 平分 交 于 平分 交 于，且 ，则 的度数为 . 12．（2024全国数学联赛四川预赛）设中，，，则面积的最大值为 ． 13．（2024全国数学联赛重庆初赛）在中，已知，则最大角的正弦值为 . 14．（2024全国数学联赛重庆预赛）已知在中，，，则线段的最大值为 . 15．（2024全国数学联赛一试）在锐角三角形中，边，，则边的取值范围是 ． 16．（2025山东大学强基计划）在中，，，最长边的边长为1，求最短的边长. 17．（2025东南大学强基计划）在任意平面凸四边形中，求点个数的最大值，使得． 18．（2025东南大学大学强基计划）若，则判断的形状． 19．（2024北京大学强基计划）在中，若在上，平分，求的周长. 20．（2024北京大学强基计划）在 中，若 在 上，比较 与 的大小. 21．（2024北京大学强基计划）在中，若边上的高为，求的范围. 22．（2024全国数学联赛宜宾初赛）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧式几何中亦有应用.设是直线上互异且非无穷远的四点，称（分式中各项均为有向线段，如）为的交比，记为． (1)求证：； (2)若为平面上过且互异的四条直线，为不过点且互异的两条直线，与的交点分别为，与的交点分别为，证明：. 23．（2024湖南株州“同济大学杯”竞赛）如图，扇形ABC是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记． (1)若点P是弧的中点，求三条街道的总长度； (2)通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； (3)由于环境的原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值． 24．（2024北京大学优秀中学生寒假学堂）中，，，分别在，上各取一点，，使平分的面积，求长度的最小值 25．（2024北京大学优秀中学生寒假学堂）钝角面积为，，，求的值 26．（2024年第二届“鱼塘杯”竞赛）设的外接圆半径是均为锐角，且. (1)证明：不是锐角三角形； (2)证明：在的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解三角形 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 利用正弦定理解三角形 4 考点二 利用余弦定理解三角形 6 考点三 利用正、余弦定理判断三角形的形状 7 考点四 利用正、余弦定理解三角形 9 考点五 解多个三角形 12 考点六 解三角形与基本不等式的综合 15 考点七 解三角形与三角函数的综合 17 考点八 解三角形与平面向量的综合 21 考点九 解三角形的实际应用——测量距离 25 考点十 解三角形的实际应用——测量高度 28 考点十一 解三角形的实际应用——测量角度 31 考点十二 创新题型 34 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题26道） 【归纳重点知识】 知识点01 余弦定理与正弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos B； c2＝a2＋b2－2abcos C ＝＝＝2R 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝， sin B＝， sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 学生用书⬇第109页 2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 知识点02 三角形中的面积公式 知识点03 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角θ的范围是0°≤θ＜360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ [微提醒]　注意区分方位角与方向角的概念. 【熟记重要结论（二级结论）】 1.在△ABC中，常有以下结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C； tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos； cos＝sin. 2．高线问题的处理策略 (1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin∠BAC. (2)AD＝AB·sin∠ABD＝AC·sin∠ACD. (3)射影定理：3.a＝c·cos B＋b·cos C. 3.与中线长有关的计算问题的常见处理方法 (1)在△ABD、△ACD和△ABC中解三角形，求解AD.(如图①) (2)延长中线构造平行四边形：如图②，AE＝2AD，可在△ABE中求解AE，从而得出AD. (3)利用向量：由＝＋)，两边平方后＝，就可以得到中线、∠A及其两邻边的关系. 4.若出现角平分线，我们可以从“角度”和“长度”两个方面入手考虑. (1)角度：角被平分. (2)长度：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，则＝，然后转化为向量，运用向量知识解决起来较为简捷. (3)利用面积公式建立边的关系：即大三角形的面积等于两个小三角形的面积之和. 考点一 利用正弦定理解三角形 1．已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若a=,b=,B=,则A= (　　) A. B.C.或 D.或 【答案】D 【解析】在△ABC中,由正弦定理可得=,解得sin A=, 因为0<A<π,所以A=或A=,经检验,都符合题意. 故选：D 2．设中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理得，即， 解得，又，， 则为锐角， ，则． 故选：B． 3．已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】因为的外接圆半径为1，所以根据正弦定理得. 所以，代入得， 即，这说明必然是直角三角形. 若，则为斜边，，代入得， 即，与三角形定义矛盾，同理，因此只能是， 此时为斜边，，由勾股定理，与前述结论相符. 因为的面积为1，所以， 得， 又，解得. 故选：B. 4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由正弦定理可得， 因为，解得，则，又，所以． 故选：B. 5．（多选）在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【解析】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，即，所以， 因为，则,因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.故选：ABD. 考点二 利用余弦定理解三角形 6．已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以, 设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以, 所以外接圆的面积为. 故选：A. 7.(多选)在△ABC中,AB=,AC=1,B=,则角A的可能取值为 (　　) A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】由余弦定理,得AC2=BC2+BA2-2BC·BA· cos B,即1=BC2+3-2BC××,解得BC=1或BC=2. 当BC=1时,BC=AC,△ABC为等腰三角形,所以A=B=; 当BC=2时,AB2+AC2=BC2,此时△ABC为直角三角形,所以A=. 故选：AD. 8．在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【解析】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以. 由题意可得：，化简得， 又，， 所以， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B． 9．已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为为钝角，则最大， 则由题意得，解得. 考点三 利用正、余弦定理判断三角形的形状 10.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（       ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 所以角为钝角，所以为钝角三角形. 故选：A 11．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则满足条件的三角形有两个 D．若角A，B都是锐角，则 【答案】AC 【解析】对于选项A，在中，若，则，由正弦定理得，故选项A正确. 对于选项B，若，由正弦定理可得，则，则角为锐角，但不确定角，是否为锐角，故选项B不正确. 对于选项C，由于，故三角形有两解，故选项C正确. 对于选项D，当，时，，故选项D不正确. 故选：AC. 12．（多选）在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．若，，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】AD 【解析】对于选项A，由正弦定理（其中是外接圆的半径）， 得到，所以，则的外接圆的面积为，所以A正确， 对于选项B，如图，，，过作于， 则，所以在射线上不存在， 使，，，即无解，所以B错误， 对于选项C，因为，由余弦定理得， 又，所以，故是钝角三角形，所以C错误， 对于选项D，因为，则，且， 所以，则， 所以，得到，即， 由余弦定理得，又，所以，故是锐角三角形，所以D正确， 故选：AD. 考点四 利用正、余弦定理解三角形 13．在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，根据正弦定理，得，即：， 代入，得：，所以， 所以由余弦定理得： ， 故选：D . 14.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 由正弦定理得， 又，则，所以， 由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以，即角， 所以的面积. 故选：C 15.（多选）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是 (　　) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角的余弦值是最小内角的余弦值的 D.cos A∶cos B∶cos C=12∶9∶2 【答案】AD 【解析】因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11, 所以可设其中x>0, 解得 所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6①,所以A正确; 由①可知边c最大,所以三角形ABC中角C最大, 又cos C===>0,所以角C为锐角,所以B错误; 由①可知边a最小,所以三角形ABC中角A最小, 又cos A===≠2×,所以C错误; cos B===, 所以cos A∶cos B∶cos C=∶∶=12∶9∶2,所以D正确. 故选：AD. 16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为____. 【答案】18 【解析】在中，由，得，而，则， 由，得，由正弦定理得， 则，，由正弦定理得， 由余弦定理得，整理得， 而，解得，所以的周长为18. 17．中，. (1)求； (2)若且，求的面积. 【解析】（1）因为中，， 所以由正弦定理可得， 所以由余弦定理可得， 因为，所以. （2）由余弦定理得， 则， 即，解得， 所以面积， 即面积为. 18．在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若. （i）求的值； （ii）求的值. 【解析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得， 又因为，所以，解得， 由，可得. （2）（i）将代入余弦定理，得， 解得. （ii）因为，故， 由正弦定理，解得， 由，故， 代入. 考点五 解多个三角形 19.在中，已知，D是边上一点，如图，，则（       ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】 ，根据余弦定理， ，，，根据正弦定理， 则． 20．已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 因为，即， 且，可知， 则，即， 又因为，则， 可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 在中，可知， 由正弦定理可得， 则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 21.如图,已知平面四边形ABCD中,∠A=45°,∠ABC=75°,∠BDC=30°,BD=2,CD=. (1)求∠CBD的大小; (2)求AB的长. 【解析】(1)在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos 30°=1, ∴BC2+CD2=BD2,即∠DCB=90°, ∴∠CBD=60°. (2)在四边形ABCD中,∠ABD=75°-60°=15°, ∴∠ADB=120°. 在△ABD中,由正弦定理得=,则AB==. 22.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，，边上中线的长为. (1)求角A和角B的大小； (2)求的面积. 【解析】(1)由，得. 所以由余弦定理得，因为，所以， 由，根据正弦定理得， 因为，所以，因为，所以； (2)由（1）得，所以. 设，在中，由余弦定理得， 解得，所以. 23．如图，在中，，，，P为内一点，．    (1)若，求PA； (2)（i）若，求． （ii）求的取值范围． 【解析】（1）由已知易得，所以. 在中，由余弦定理得，故. （2）（i）设，由已知得， 在中，由正弦定理得， 化简得，所以，即. （ii）设，则. 根据题意知道. 则. 由于，则.则. 则.则的取值范围. 考点六 解三角形与基本不等式的综合 24.已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【解析】（1）在中，， 由正弦定理得， 在中，，则， 则， 得， 在中，，则，所以． （2）在中，由余弦定理得， 由（1）知，又， 则， 即， 又，则， 得，则， 当且仅当时，等号成立． 所以周长的最大值为． 25．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求BC边上的高的最大值． 【解析】（1）由可得，     由正弦定理得，   所以，     因为，所以，     因为，所以． （2）依题意，，设BC边上的高为， 由，可得，      由余弦定理 可得， 即，当且仅当时等号成立，     因此， 所以BC边上的高的最大值为2． 26.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于D，且，求面积的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由余弦定理，得，即 整理得， 所以， 又，所以． （2）因为，所以． 因为，即 当且仅当时等号成立 所以．故面积的最小值为． 27．在中，，分别为，的中点，与交于点，记，． (1)若，，，求； (2)若，，求面积的最大值． 【解析】（1）由题意知是的重心， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以； （2）因为，所以，设，则. 在中，由余弦定理可得， 即，得 又，， 所以 记，则， 则， 当且仅当时等号成立， 故面积的最大值为16. 考点七 解三角形与三角函数的综合 28．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 【解析】（1）， ， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的最小正周期为，单调递增区间为，. （2）已知，则， 即； 因为三角形是锐角三角形，所以，则， 在这个区间内，解得， 依据余弦定理，可得， 即，解得或； 当时，， 此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况； 当时，， 此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且， ∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件; 根据三角形面积公式，可得， 所以的面积为. 29．设函数，其部分图象与坐标轴交点如图所示． (1)若，，，求； (2)在中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （ⅰ）证明：是等腰三角形； （ⅱ）若，求当的最小正周期为多少时，的中线BD能取得最大值． 【解析】（1）已知，当时，，所以. 令，即，则（为整数）. 解得.当，，得； 当，，得. ，. 根据公式. （2）（ⅰ）由，代入得： ，化简得. 若，则，与图知条件矛盾，所以. 所以是等腰三角形； （ⅱ），两边平方. 因为，，由正弦定理可得：，. 代入得. 设，则，当，即时取等号.此时，周期，BD最大值为. 30．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为. (1)求； (2)若，，求的最小值. 【解析】（1）由，两边平方得，故， 所以的面积， 由余弦定理及， 得， 因为，所以，因为为锐角，所以. （2）设，，则， 在中，由正弦定理得， 因为， 所以， 则①， 在中，由正弦定理得， 则②， 由①②得，， 因为，所以，所以 所以，故的最小值为1. 31．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【解析】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 考点八 解三角形与平面向量的综合 32．已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为的中点，且，则的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，又因为，所以三点共线， 又，即为的外心，所以垂直平分，即垂直平分， 又已知，所以， 又因为，所以由余弦定理有， 又，所以， 所以， 即的面积为. 故选：C 33．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 34.在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【解析】（1），， 即， ，， 又，，， （2），， ， ，， 的周长为． （3）在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即，所以， 即，， 所以. 35．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围； (3)若点为所在平面内一点，且满足.求的取值范围. 【解析】（1）因为，即， 整理可得，即， 在中，，故， 又为锐角三角形，故. （2）因为，可得， 由正弦定理，，即， 则， 又，故，则； 由为锐角三角形可得：，可得， 所以，则，则. （3）因为， 所以， 所以，，即， 所以为的外心， 所以，， 所以 , 由（2）同理可得，则， 所以， 所以. 考点九 解三角形的实际应用——测量距离 36．月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C处）的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【解析】由题意在三角形中，， ， 所以由正弦定理有，即， 解得， 在三角形中，， 所以由正弦定理有，即， 解得， 设， ，在三角形中，由余弦定理有 . 故选：C. 37．如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】，， ，，， ， 在中，米. 在中，由正弦定理得米. 在中，由余弦定理得： ， 米. 故选：D. 38．如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口在的东偏北的方向（两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于之间相距较远，计划在之间设置一个服务区．    (1)若在的正北方向且，求到市中心的距离和最小时的值； (2)若在市中心的距离为，此时在的平分线与的交点位置，且满足，求到市中心的最大距离． 【解析】（1）设，在中， 在中，由正弦定理得 当且仅当，即时取到等号 到市中心的距离和最小时，． （2）， ，即 ， 又 即 当时， 考点十 解三角形的实际应用——测量高度 39．奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由题意可得，， ∴， 在中由正弦定理，，即，解得． ∴，则（）． 故选：B． 40．如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 【答案】 【解析】在中，因，则， 在，，则， 由正弦定理可得，即，解得， 在中，，，则． 所以山高为. 故答案为：. 41．位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为 米.（结果保留整数，参考数据：） 【答案】310 【分析】设米，进而可得， 在中由正弦定理求出，求解即可得出答案. 【解析】设米，因为在点C测得塔顶A的仰角为80°， 所以，在中，，所以， 在中，因为，， 所以， 由正弦定理得，所以， 则， 所以米. 42.为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． (1)求的正弦值； (2)若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)取线段的中点为，连接，设火山顶点的高度为， 则依题意可知， ∵，∴，且平分， ∴三点共线，∴， 由正弦定理可知， ∴， ∴ ； （2）在中，由正弦定理可知，， ∴， 即，∴． 考点十一 解三角形的实际应用——测量角度 43．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 【答案】B 【解析】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 44.如图，点A为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B为最北端，在点A的正东4千米C处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B处有一小船正以速度v（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应向西偏北 度方向行驶．（结果精确到整数） 【答案】 【解析】为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应该在OB的延长线上与小船相遇， 设经过t小时，缉私艇在OB的延长线上拦截小船， 此时，，， 则有，解得：或（舍）， 此时，， 因此，则， 即缉私艇应向西偏北37°的方向行驶． 45．如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 【答案】(1)30（海里） (2)救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°，1.75小时． 【分析】（1）由题意可得三角形的角与边，根据正弦定理，可得答案； （2）由余弦定理，建立方程，可得答案. 【解析】（1）在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． （2）在中，，由余弦定理 ， ，（小时）， ，D为锐角， 所以，， 救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°． 46．一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行，每2h沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站A点的正上空，地球半径约为6400km．    (1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离是多少． (2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？（参考数据：，） 【解析】（1）解：如图所示，设人造卫星在时位于C点，其中，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 解得， 因此，在时，人造卫星与跟踪站相距约． （2）解：如图所示，设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则， 由正弦定理得， 故，即， 因此，天线瞄准方向与水平线的夹角的余弦值约为．        考点十二 创新题型 47．古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，，，， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为16， 所以三角形面积的最大值. 故选：A. 48．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意圆形木板的直径为. 设截得的四边形木板为，设， 如下图所示， 由且，得， 在中，由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理，得， 所以， 得，当且仅当时等号成立. 在中，， 由余弦定理可得， 得，当且仅当时等号成立， 所以这块四边形木板面积为. 故选：C. 49．(多选)三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点P满足条件：时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是的布洛卡点，布洛卡角为，则（   ） A．当时， B．当且时， C．当时， D．当，时， 【答案】ACD 【解析】对于A选项，当时，是等腰三角形，， 因为，， 所以， 又因为，所以， 所以，即， A正确； 对于B选项，当时，由A选项知，， 因为，所以，设，则， 因为，所以，所以， 即满足，可得, 在中，， 由正弦定理得，所以， 所以，联立，解得，B错误； 对于C选项，当时， ， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 相加得， 即，C正确； 对于D选项，已知，. 先由余弦定理，所以，进而. 设，则，. 在中，由正弦定理；在中，. 因为，，，. 由正弦定理，，可得. 在中，再用正弦定理，把代入得. 展开，即，化简可得.D正确. 故选：ACD. 50．某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动．如图所示，线段表示角楼的高，C，D，E为三个可供选择的测量点，点B，C在同一水平面内，与水平面垂直．现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为 ．(只需写出一种方案) ①C，D两点间的距离；②C，E两点间的距离；③由点C观察点A的仰角；④由点D观察点A的仰角；⑤和；⑥和． 【答案】①③④（答案不唯一） 【解析】结合题图，经分析知： 若选①③④， 在中，，则， 所以，所以， 所以，其中各个量均已知； 若选②③⑤， 已知和，则 由， 所以， 所以，其中各个量均已知． 其他选择方案均不能求得AB长． 综上，①③④或②③⑤都可以. 51．已知的内角所对的边分别为，，且满足：. (1)当_____时，从条件：①，②的面积为；中选择一个条件填到横线上，求c的值； (2)若D是边AC上一点，且，求面积的最大值及此时线段BD的长度. 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 即，而， 所以，则，又，所以， 选择①，由，得，而， 由余弦定理得，即，解得或（舍）， 当时，，是钝角三角形，符合题意，所以. 选择②，因为，则， 由余弦定理可得，即， 所以，解得， 所以是的两个根，故； （2）由（1）知， 当且仅当时取等号，则， 由题设，在中， 所以， 所以面积的最大值，此时，则， 所以， 所以， 综上，面积的最大值，此时. 52．已知中，点D是边的中点.且①；②；③；④. (1)求的长； (2)若四边形为圆内接四边形，求四边形的周长的取值范围. 上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是______，请写出用剩余条件解答本题的过程. 【答案】(1)删去条件见解析，；(2)删去条件见解析， 【解析】（1）删去①，设， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 联立方程解得，所以；符合题意， 删去②，则在中，由余弦定理有， 即，解得或， 则或4，有2解，不满足题意； 删去③，在中，由余弦定理可得， 即，解得或2，有2解，不满足题意； 删去④，设，在中， 由余弦定理有， 同理，在中，由余弦定理得， 因为，所以， 解得，得到；符合题意， 综上，的长为. （2）首先，我们作出符合题意的图，连接， 由上问得条件②，条件③删去后都不符合题意，则我们保留条件②③， 我们先删去条件④，由题意得；；均成立， 由上问得，在中，由余弦定理得， 因为，所以解得，得到了条件④， 我们再删去条件①，由题意得；，均成立， 由上问得，在中，由余弦定理得， 解得（负根舍去），得到了条件①， 则不论删去条件①还是条件④，都不影响最终结果，故我们直接用所有条件求解即可， 设四边形的周长为，则， 由圆的性质得，在中，由正弦定理得， 得到，， 则， 即， 得到， 即， 因为，所以， 则，得到， 故，即四边形的周长的取值范围为. 1．（2024清华大学强基计划）在中，，，P在内部，延长BP交AC于Q，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图 由题可知AP为平分线，故；； 由，可得， 于是， 即，化简可得， 于是或（舍）， 故， 故选：D 2．（2024厦门大学强基计划）单位圆内接，取，，作边长构成新，则（    ） A．能构成新，且 B．能构成新，且 C．能构成新，且 D．不能构成新 【答案】C 【解析】在中，设角对应的边为 由正弦定理可得：，即， 即， 可知能构成新，且， 所以. 故选：C. 3．（2024湖南株州“同济大学”杯竞赛）已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（    ） A．为直角 B．为锐角 C．为钝角 D．在之间 【答案】C 【解析】当时，由，得到角为直角，故选A错误； 当时，由，且，得到，所以， 故，得到，所以， 即为锐角，不可能为钝角，故选项B错误，选项C正确， 又由，得，，故，即，故选项D错误， 故选：C. 4．（2024集英苑冬季竞赛）在中，角所对的边分别是．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】，由正弦定理得， 又，故，即， 其中，所以， 故， 即， 故， 化简得， 即，， 因为，所以，. 故选：C 5．（2024高三数学极光杯竞赛）已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 因为，即， 且，可知， 则，即， 又因为，则， 可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 在中，可知， 由正弦定理可得， 则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 6．（2025全国数学联赛重庆初赛）在中，的最小值为 . 【答案】 【解析】由余弦定理及均值不等式，，所以. 于是由正弦定理，原式. 令，则. 当且仅当，即时等号成立， 故原式的最小值为. 故答案为：3. 7．（2024安徽省阜阳竞赛）中，角所对的边分别为，记的面积为． （1）当时， ； （2）的最大值为 ． 【答案】 3 【解析】（1）当时，， 则 ； （2）由得到，， 即， 即， 所以， 又， 故 令，，则， ， 所以，等号成立条件为 故最大值为， 8．（2024第四届英才杯竞赛）在矩形中，，，E在上，F在上，，则当取得最小值时，的值为 .    【答案】 【解析】设，则， ， 则 ， 即为点到点与点的距离之和， 则当点与点、点共线， 且点位于点与点之间时，有最小值， 此时有，解得， 则. 故答案为：. 9．（2024第四届英才杯竞赛）如图，在中，，，，点是边上一个动点，作，，连接，则的最小值为 . 【答案】 【解析】连接，因为于，于， 所以， 所以四点共圆，且为圆的直径， 因为为定值，所以当圆的直径最小时，所对的弦最短， 此时， 在中，因为，所以， 所以，得, 在中，由正弦定理得，所以， 因为， 所以， 所以的最小值为. 10．（2024全国数学联赛宜宾初赛）已知的三边分别为，满足，则的面积为 . 【答案】 【解析】由题意可知， 而， 所以， 此时. 11．（2024全国数学联赛吉林初赛）在 中， 平分 交 于 平分 交 于，且 ，则 的度数为 . 【答案】 或 . 【解析】设 三边的长为 . 因为，所以 ， 得 . 又 平分 ，所以 ，得 ，即 . 同理 . 由余弦定理得 ，即 . 又 ，所以 . 从而 . 即 ， 得 或 ， 所以 或 . 所以 或 . 当 时， . 当 时， . 故 的度数为 或 . 12．（2024全国数学联赛四川预赛）设中，，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】由正弦定理和已知条件得，则， 所以 ， 因为，即， 则，即，结合，解得， 设，则, 有 , 令，解得， 当，，此时在单调递增； 当，，此时在单调递减； 所以 ， 所以面积的最大值为. 13．（2024全国数学联赛重庆初赛）在中，已知，则最大角的正弦值为 . 【答案】 【解析】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由条件知： ， 由余弦定理，得， 即，解得， 故最大角为角，由余弦定理得. 14．（2024全国数学联赛重庆预赛）已知在中，，，则线段的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意可知：的外接圆半径， 则点在优弧（不包括端点）上， 可知当线段过外接圆的圆心时，线段取到最大值， 取的中点，连接，则， 可得， 所以线段的最大值为. 故答案为：. 15．（2024全国数学联赛一试）在锐角三角形中，边，，则边的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，故， 所以， 而三角形为锐角三角形，故，故， 故即， 16．（2025山东大学强基计划）在中，，，最长边的边长为1，求最短的边长. 【答案】 【解析】，， 因为，即边是最小边长， 因为，，解得， 由正弦定理得. 17．（2025东南大学强基计划）在任意平面凸四边形中，求点个数的最大值，使得． 【答案】详见解析 【解析】设四个三角形的面积均等于.点 的位置决定了这些面积. 条件 定义了一条直线（称为等面积线），类似地， 定义了另一条直线. 点 必须同时位于这两条直线上，因此是这两条直线的交点.两条直线在平面中最多相交于一个点，但在某些四边形中，这两条直线可能重合或特殊情况，导致多个点. 对于大多数凸四边形（如平行四边形、矩形、菱形），点 的个数通常为 1（例如，在平行四边形中， 是对角线交点）. 然而，存在一些非对称或特殊凸四边形，使得两条等面积线相交于两个不同的点，且在这两点处，所有四个三角形的面积都相等.例如： 考虑四边形 , , , . 通过计算，点 可以是 和 ， 且在这两点处， 成立. 因此，点 的个数可以达到 2，且这是可能的最大值. 最大值证明： 在一般凸四边形中，点 的个数不超过 2，因为两条直线最多相交于两个点. 对于某些四边形（如梯形或不规则四边形），点 的个数可能为 0 或 1，但存在具体四边形（如上述例子）使得个数为 2. 由于问题要求“在任意平面凸四边形中”的 点个数的最大值，这表示在所有可能凸四边形中，满足条件的 点数的上确界是 2. 结论：满足条件的点 的个数最大值是 2，出现在特定凸四边形中. 18．（2025东南大学大学强基计划）若，则判断的形状． 【答案】钝角三角形 【解析】由正弦定理得， 因为为三角形内角，则，则均为锐角， ②式平方得，即，将其代入①得， ，则， ，则， 则， 则为钝角三角形. 19．（2024北京大学强基计划）在中，若在上，平分，求的周长. 【答案】 【解析】设， 由角平分线定理可得，则， 由余弦定理得， 即， 将代入化简得， 即解得或（舍去）， 经检验只能， 所以的周长为. 20．（2024北京大学强基计划）在 中，若 在 上，比较 与 的大小. 【答案】 【解析】在 中，若 在 上 由余弦定理可得：，同理：，， 在中，，， 所以，， 设，，则， 在，由正弦定理可得：， 同理在，， 所以， 所以 21．（2024北京大学强基计划）在中，若边上的高为，求的范围. 【答案】 【解析】由三角形面积公式得， 即， 由余弦定理得，故， ，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故. 22．（2024全国数学联赛宜宾初赛）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧式几何中亦有应用.设是直线上互异且非无穷远的四点，称（分式中各项均为有向线段，如）为的交比，记为． (1)求证：； (2)若为平面上过且互异的四条直线，为不过点且互异的两条直线，与的交点分别为，与的交点分别为，证明：. 【解析】（1） ; （2）    如图，因的高相同， 故有， 则 . 23．（2024湖南株州“同济大学杯”竞赛）如图，扇形ABC是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记． (1)若点P是弧的中点，求三条街道的总长度； (2)通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； (3)由于环境的原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值． 【解析】（1）根据题意可得若点P是弧的中点，可得， 此时，， 而，由余弦定理可得， 即可得； 所以三条街道的总长度为； （2）在中可得，同理， 利用余弦定理可得 ； 可得 因此街道的长度为定值，不会随的变化而变化. （3）依题意可得这三条街道每年能产生的经济总效益为： ，其中； 当时，的取值最大， 最大值为(万元). 24．（2024北京大学优秀中学生寒假学堂）中，，，分别在，上各取一点，，使平分的面积，求长度的最小值 【答案】2 【解析】由题意知，即， 所以，， 设，，则，解得， 从而由余弦定理可得， 当且仅当时等号成立. 所以长度最小值为2. 25．（2024北京大学优秀中学生寒假学堂）钝角面积为，，，求的值 【答案】2或－2 【解析】因为，解得， 若，则，可得， 角为钝角，满足题意，此时； 若，则，所以或. 26．（2024年第二届“鱼塘杯”竞赛）设的外接圆半径是均为锐角，且. (1)证明：不是锐角三角形； (2)证明：在的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有. 【解析】（1）证明：记在中，所对的边分别长度为. 根据正弦定理，有，所以. 根据，有， 得到， 因为都是锐角，根据的(复合函数)单调性得到， 所以，所以，所以不是锐角三角形； （2）因为，所以， 所以，所以，得到， 设外接圆圆心为，则有， 得到对平面上所有成立，必须有， 根据是直角和平面几何知识,得到在外接圆上，并且根据平面向量基本定理得到唯一. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $