精品解析：广东深圳实验学校坂田部2025-2026学年八年级上学期数学1月学情自测

2025-2026学年八年级上 数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简及分母有理化的运算逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，则A选项错误，故不符合题意； B、，则B选项错误，故不符合题意； C、是最简二次根式，则C选项正确，故符合题意； D、，则D选项错误，故不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简及分母有理化，最简二次根式的概念，熟练掌握其化简方法及分母有理化的运算法则是解题的关键． 2. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 数轴上的点表示的数都是有理数 C. 一个三角形的最大内角不会小于 D. 同旁内角互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假．根据无理数的定义，实数与数轴，三角形的内角和，平行线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、无理数一定是无限小数，但是无限小数不一定是无理数，选项为假命题，不符合题意； B、实数与数轴上的点一一对应，数轴上的点表示的数不一定是有理数，选项为假命题，不符合题意； C、一个三角形的最大内角不会小于，选项为真命题，符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，选项为假命题，不符合题意． 故选C． 3. 已知点到轴的距离是2和5，若点在第四象限，则点的坐标是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案． 【详解】解：点P到x，y轴的距离分别是2和5，得 |y|=2，|x|=5， 若点P在第四象限， y=-2，x=5． 则点P的坐标是（5，-2）， 故选C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 4. 如图，如果，求的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质． 根据可得，又根据三角形外角的性质得到，从而． 【详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B 5. 在竞选班干部时，某同学表达能力、组织能力、责任心的得分分别是90分，80分，85分．若依次按的比例确定最终得分，则这个人的最终得分是（ ） A. 84分 B. 82分 C. 86分 D. 85分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的公式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得这个人的最终得分是， 故选：A． 【点睛】本题考查加权平均数，读懂题意，熟记加权平均数求解公式是解决问题的关键． 6. 在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律． 首先，根据等腰直角三角形的性质求得点，的坐标；然后，将点，的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线的解析式为；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点，的横坐标为，即可求得点的坐标，进一步可得答案． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 点的坐标为， 同理，在等腰直角三角形中，，，则， 和均在一次函数的图象上， ， 解得， 该直线的解析式为， 和的横坐标相同，都是3， 当时，，即，则， ， …… 以此类推，，的横坐标为， 当时，， 点的坐标为． 点的坐标为． 故选：D． 7. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设被墨水所覆盖的图形表示的数据为，根据题意列出方程组，把代入，求得的值便可． 【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为，根据题意得， ， 把代入，得 由③得，， 把代入④得，， ， ∴被墨水所覆盖的图形为． 故选：C． 8. 如图，在中，平分．边的垂直平分线分别交于点，以下说法正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键，连接、，过点作于，交的延长线于， ①，根据三角形内角和定理可得； ②，由等腰直角三角形的性质可得，由进一步得，可知，因为，所以； ③，由等腰直角三角形的性质可得； ④，由等腰直角三角形的性质可得，由得，所以，所以． 【详解】解：连接、，过点作于，交的延长线于， 中，， ， 故①正确； 平分，， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 垂直平分， ， 又， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故选项②错误； 是等腰直角三角形，， ， 又， ， 故选项③正确； 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 故选项④正确； 故选：． 二、填空题（共5小题） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 10. 毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】设E、F两个正方形和最大正方形G的边长分别为x，y，z，由勾股定理得出，，即最大正方形的面积为，则可求出答案． 【详解】解：设E、F两个正方形和最大正方形G的边长分别为x，y，z，则由勾股定理得： ； ； ； 即最大正方形G的面积为：， ∴最大正方形G的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 11. 定义一种运算如下：，和均为常数，已知：，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组的应用；根据新定义运算，建立关于a、b的二元一次方程组，求出a、b后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解方程组，得：， 所以， 故答案为：4． 12. 已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．根据一次函数图象的性质进行分类讨论是解题关键．利用一次函数的性质，分和两种情况考虑，可分别得出与的值，再代入解二元一次方程组即可求得与的值，最后求得结果． 【详解】解：若，，；，， ∴， 解得:， ∴此时一次函数解析式为； 若，，；，， ∴， 解得: ， ∴此时一次函数解析式为； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 13. 四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形，将四个直角三角形的短直角边（如）向外延长，使得，连接得四边形连接．已知是的中点，和的面积之比为，四边形的面积为，则四边形的面积是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据四个全等的直角三角形，已知是的中点，可得，可得，在根据三角形中线的性质可得，，设，，根据三角形的面积公式可求出的值，可求出的值，根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：四个全等的直角三角形，即， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵四个全等的直角三角形， ∴， ∵和的面积之比为，即， ∴，， 已知是的中点， ∴在中，点是的中点， ∴，则， 设，， ∴， ∴，， ∴，解得，， ∴ 在中，， ∵四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形， ∴四个直角三角全等，围成的四边形是正方形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中线的性质，面积计算方法，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 三、解答题（共7小题） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算加减，即可得答案； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 15. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键，两边同时乘，再相加消元，求出，代入可求出． 【详解】解：， ①得：， ②③得：， ， 代入①得：， ， 原方程组的解为． 16. 如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）在如图所示的平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC； （2）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （3）求△ABC的面积． （4）设点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）如图所示，△ABC即为所求； （2） 如图所示，△A1B1C1即为所求． （3）4 （4）（0，5）或（0，﹣3） 【解析】 【分析】（1）根据，A（0，1），B（2，0），C（4，3）在坐标系中描出格点，顺次连接点即可； （2）找到关于轴对称的点,顺次连接点即可； （3）根据坐标系与格点的性质求解即可 （4）根据面积相等，求得AP＝4，根据轴上的点的坐标特征即可求得的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点C向x、y轴作垂线，垂足为D、E． ∴四边形DOEC的面积＝3×4＝12， △BCD的面积＝×2×3＝3， △ACE的面积＝×2×4＝4， △AOB的面积＝×1×2＝1． ∴△ABC的面积＝四边形DOEC的面积﹣△ACE的面积﹣△BCD的面积﹣△AOB的面积 ＝12﹣3﹣4﹣1＝4． 【小问4详解】 当点P在y轴上时， △ABP的面积＝AP×|xB|＝4， 即AP×2＝4， 解得：AP＝4． 所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）． 【点睛】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，数形结合是解题的关键． 17. 深圳市某中学开展法治知识竞赛，为了从甲、乙两位同学中选拔一人参赛，某班级举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如下统计图： （1）甲同学成绩的中位数是________分，乙同学成绩的众数是________分． （2）小明同学已经算出甲同学的平均成绩， 方差， 请你求出乙同学成绩的平均成绩和方差； （3）根据（2）中计算结果，分析应选择哪个同学参赛并说明理由． 【答案】（1）91；85 （2）； （3） 选择甲同学，理由如下： 因为两人的平均成绩相同，说明两人实力相当，但甲的方差小于乙的方差，说明甲同学发挥更稳定，因此可以选择甲同学参加竞赛． 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法，理解平均数和方差的意义是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）根据平均数、方差公式即可得出答案； （3）通过比较甲、乙二人的平均成绩、方差得出答案． 【小问1详解】 解：将甲同学成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为， 因此甲同学成绩的中位数是91分； 乙的成绩中，85分出现的次数最多， 因此乙同学成绩的众数是85分； 故答案为：91；85． 【小问2详解】 解：乙同学的平均成绩， 方差； 【小问3详解】 略 18. 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． （1）求A场馆和B场馆的门票价格． （2）若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． （3）若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案． 【答案】（1）A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元 （2）此次购买门票所需总金额的最小值为1210元 （3）共有2种购买方案，方案1：购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票；方案2：购买10张A场馆门票，22张B场馆门票，8张C场馆门票 【解析】 【分析】（1）设场馆门票为元，场馆门票为元，再根据文中数量关系列出等量关系式即可得出结论． （2）购买场馆门票张，则购买场馆门票张，依题意得：求出的取值范围，再设此次购买门票所需总金额为元，则有，最后根据函数系数的性质确定最值问题． （3）设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票，根据文中数量关系列出，则，根据、为正整数这一条件判断、的值即可得出结论，最后要记得检验是否符合题意． 【小问1详解】 解：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元， ，解得． 答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元． 【小问2详解】 解：设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票张， 依题意得：，解得：． 设此次购买门票所需总金额为w元，则 ， ∵，∴w随a的增大而减小 ． ∵，且a为整数， ∴当时，w取得最小值，最小值． 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元． 【小问3详解】 解：设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票， 依题意得：， ∴． 又∵m，n均为正整数， ∴或或， 当，时，，符合题意． 当，时，，符合题意． 当，时，，符合题意，舍去； ∴共有2种购买方案， 方案1：购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票； 方案2：购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，不等式的应用以及最值问题，解题的关键是根据题意列出相应的方程和不等式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点C，点C的横坐标为2． （1）求一次函数的表达式； （2）如图1，点M为线段上一点，若，求点M的坐标； （3）如图2，点N为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D），交x轴于点E．若为直角三角形，请直接写出点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点N的坐标或． 【解析】 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据（1）中所求，先求得点B的坐标，设点M的坐标为，再求得，进而得到，然后根据，用m表示出，即可解答； （3）分两种情况①当时，过点C作轴于点H，过点D作的延长线于点F，连接，根据折叠的性质，证明和，从而得到，进而求得即可；②当时，设点，先根据勾股定理求得，用n表示出和，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点C的横坐标为2，正比例函数经过点C， ∴把代入，得， ∴ 把，代入， 得， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， ∴， 依题意，设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：①当时， 如图，过点C作轴于点H，过点D作的延长线于点F，连接， 则 ∵， ∴，， ∵将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D）， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴此时点的坐标为； ②当时，如图， ∵，即轴，， ∴，, ∴， 依题意，设点，则，， ∴， ∵将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D）， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴此时点的坐标为， 综上所述，点N的坐标或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形面积的计算等，解题的关键是根据题意作出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 20. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填字号） （2）如图1．已知四边形是邻等对补四边形，，，，过点B作于点E，过C作于点F； ①证明：； ②若，，求的长． （3）如图2，在中，，，，分别在边，上取点M、N，连接，使四边形是邻等对补四边形，连接，求的长． 【答案】（1）②④ （2） ①∵四边形是邻等对补四边形，，， ，， ， ，， ，， ∴四边形是矩形， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ； ②14 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①根据四边形是邻等对补四边形，，，，，得出，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，，结合，即可证明； ②根据四边形是矩形，得出，，再根据，得出，，求出，设，在中，勾股定理求出，即可求出． （3）根据四边形是邻等对补四边形，，得出，分为①如图1：当时，②如图2：当时，③如图3：当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①略 ②∵四边形是矩形， ，， ， ，， ，， ， 设， ， ， ， 在中，， 解得：， ． 【小问3详解】 解：∵四边形是邻等对补四边形，， ， ①如图1：当时，连接， 则， ， ， ， 为等边三角形， ； ②如图2：当时， ，，， ， 过点N作， ， ，， ， ； ③如图3：当时，设， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， 综上：或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上 数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 数轴上的点表示的数都是有理数 C. 一个三角形的最大内角不会小于 D. 同旁内角互补 3. 已知点到轴的距离是2和5，若点在第四象限，则点的坐标是 A. B. C. D. 4. 如图，如果，求的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在竞选班干部时，某同学表达能力、组织能力、责任心的得分分别是90分，80分，85分．若依次按的比例确定最终得分，则这个人的最终得分是（ ） A. 84分 B. 82分 C. 86分 D. 85分 6. 在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分．边的垂直平分线分别交于点，以下说法正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共5小题） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 10. 毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是______． 11. 定义一种运算如下：，和均为常数，已知：，，则__________． 12. 已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为______． 13. 四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形，将四个直角三角形的短直角边（如）向外延长，使得，连接得四边形连接．已知是的中点，和的面积之比为，四边形的面积为，则四边形的面积是 ___________． 三、解答题（共7小题） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 解方程组：． 16. 如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）在如图所示的平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC； （2）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （3）求△ABC的面积． （4）设点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标． 17. 深圳市某中学开展法治知识竞赛，为了从甲、乙两位同学中选拔一人参赛，某班级举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如下统计图： （1）甲同学成绩的中位数是________分，乙同学成绩的众数是________分． （2）小明同学已经算出甲同学的平均成绩， 方差， 请你求出乙同学成绩的平均成绩和方差； （3）根据（2）中计算结果，分析应选择哪个同学参赛并说明理由． 18. 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． （1）求A场馆和B场馆的门票价格． （2）若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． （3）若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案． 19. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点C，点C的横坐标为2． （1）求一次函数的表达式； （2）如图1，点M为线段上一点，若，求点M的坐标； （3）如图2，点N为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D），交x轴于点E．若为直角三角形，请直接写出点N的坐标． 20. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填字号） （2）如图1．已知四边形是邻等对补四边形，，，，过点B作于点E，过C作于点F； ①证明：； ②若，，求的长． （3）如图2，在中，，，，分别在边，上取点M、N，连接，使四边形是邻等对补四边形，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $