第十九章二次根式综合检测卷2025-2026学年人教版数学八年级下册

2025-2026下学年度八年级第十九章二次根式综合检测卷 考试时间：100分钟；总分：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题（共30分） 1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】A． ，不符合题意；     B． ，符合题意；     C． ，不符合题意；         D． ，不符合题意；     故选B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，被开方数中不含分母，且被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，熟练掌握定义是解题的关键． 2．（3分）当代数式的值为正时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值，二次根式有意义的条件，正确计算是解题的关键． 根据题意列出，即可求出x的取值范围． 【详解】解：当代数式的值为正时，， 不等式组解集为：， 故选：D． 3．（3分）如果，，那么m和n的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，化简m的值，然后比较m和n的值即可解答． 【详解】解：，， ∴， 故选：C． 4．（3分）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项法则，积的乘方，完全平方公式及二次根式运算，根据合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式及二次根式运算法则进行判断即可，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：、，原选项运算正确，不符合题意； 、，原选项运算正确，不符合题意； 、，原选项运算错误，符合题意； 、，原选项运算正确，不符合题意； 故选：． 5．（3分）已知，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．（3分）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的减法、积的乘方、多项式除以单项式、同底数幂的乘法，二次根式的减法、积的乘方、多项式除以单项式、同底数幂的乘法逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算不正确，不符合题意； 、，原选项运算不正确，不符合题意； 、，原选项运算不正确，不符合题意； 故选：． 7．（3分）若与的积是一个有理数，则的值可以是（   ） A．2 B．4 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法，依次计算，即可求解， 本题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：A、，积不是有理数，不符合题意， B、，积不是有理数，不符合题意， C、，积不是有理数，不符合题意， D、，积是有理数，符合题意， 故选：D． 8．（3分）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式． 【详解】解：根据最简二次根式的定义分析各根式： ①：​，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意； ②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意； ③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意； ④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意． 综上，是最简二次根式的有②③，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开方数的形式． 9．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 10．（3分）先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 【答案】C 【分析】此题考查了分母有理化，由题意得出规律，再根据得出的规律将原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵；；， ∴得出规律， ∴ ， 故选：C． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题（共15分） 11．（3分）7的算术平方根是 ．的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，倒数的定义及分母有理化，根据算术平方根的定义，正数7的算术平方根是平方等于7的非负数；根据倒数的定义，的倒数是与乘积为1的数，需进行分母有理化． 【详解】解：7的算术平方根是，的倒数是； 故答案为：，． 12．（3分）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式和二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的定义， 【详解】解：代数式有意义， ，解得． 故答案为：． 13．（3分）化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握相关知识是解题的关键． 14．（3分）下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键． 判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，被开方数相同才能合并；化简 =，被开方数为，再逐一化简各选项，比较被开方数即可． 【详解】解：=，被开方数为； ①=，被开方数为，可合并； ②=，被开方数为，不可合并； ③==，被开方数为，可合并； ④，被开方数为，可合并； ⑤=，被开方数为，不可合并． 故答案为：②⑤． 15．（3分）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，解不等式等知识，利用二次根式的性质可得出，然后利用绝对值的意义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16．（10分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再算加减即可． 【详解】（1） ； （2） ． 17．（9分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 18．（9分）阅读下列材料，并解决相应问题： (1)化简； (2)若是的小数部分，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值以及无理数的小数部分确定，熟练掌握分母有理化、完全平方公式等运算是解题的关键． （1）通过分母有理化，利用平方差公式将分母中的根式去掉，从而化简式子． （2）先确定的小数部分，再将代入式子，通过完全平方公式和分母有理化等运算来求解． 【详解】（1）解：． （2）解：根据题意，得， 所以 ． 19．（9分）阅读以下数学知识：①对于任意实数a、b，等式与均成立；②任意实数m都可以表示为m的整数部分与其小数部分的和，即，其中．例如：∵，∴，；∵，∴，；∵，∴，． 应用上面材料和所学知识，解决下列问题 (1)，，求值． (2)若的小数部分记为，的小数部分记为，求的值． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）由，，求得或以及，利用完全平方公式即可求解； （2）先分别求出和，进而代入所求式子即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴（或）， ， ∴原式； （或原式 ）； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的小数部分记为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的小数部分记为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、无理数的估算以及求代数式的值，熟练掌握二次根式的混合运算、完全平方公式、无理数的估算是解题的关键． 20．（9分）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 21．（9分）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 22．（10分）阅读理解： 我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法： 解：， ． 又……①， ， 即……②． 由得：， 即， 在这个方程的两边同时平方得：， 解得：． 将代入原方程检验，可得是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题： (1)若，则的“对偶式”为_____，__________； (2)解方程：． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查平方差公式在二次根式乘法中的应用以及解含根号的方程． （1）根据题目中对偶式的定义直接写出，再利用平方差公式计算的值； （2）先构造已知方程左边的对偶式，利用平方差公式求出两个式子的乘积，结合原方程的值得到对偶式的式子的值，再通过加减消元消去一个根号，转化为只含有一个根号的方程求解，最后检验解的合理性． 【详解】（1）解：根据“对偶式”的定义，， 其“对偶式”； ； 故答案为：，． （2）解：， ∴． 又∵①， ∴②， 得：，即， 两边同时平方得：，解得； 检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解． 23．（10分）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026下学年度八年级第十九章二次根式综合检测卷 考试时间：100分钟；总分：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题（共30分） 1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）当代数式的值为正时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如果，，那么m和n的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 4．（3分）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（3分）已知，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（3分）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（3分）若与的积是一个有理数，则的值可以是（   ） A．2 B．4 C．9 D．10 8．（3分）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 10．（3分）先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题（共15分） 11．（3分）7的算术平方根是 ．的倒数是 ． 12．（3分）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 13．（3分）化简的结果是 ． 14．（3分）下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 15．（3分）已知，则的取值范围是 ． 三、解答题（共75分） 16．（10分）计算： (1) (2) 17．（9分）先化简，再求值：，其中． 18．（9分）阅读下列材料，并解决相应问题： (1)化简； (2)若是的小数部分，求的值． 19．（9分）阅读以下数学知识：①对于任意实数a、b，等式与均成立；②任意实数m都可以表示为m的整数部分与其小数部分的和，即，其中．例如：∵，∴，；∵，∴，；∵，∴，． 应用上面材料和所学知识，解决下列问题 (1)，，求值． (2)若的小数部分记为，的小数部分记为，求的值． 20．（9分）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 21．（9分）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 22．（10分）阅读理解： 我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法： 解：， ． 又……①， ， 即……②． 由得：， 即， 在这个方程的两边同时平方得：， 解得：． 将代入原方程检验，可得是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题： (1)若，则的“对偶式”为_____，__________； (2)解方程：． 23．（10分）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026下学年度八年级第十九章二次根式综合检测卷答题卡 姓名： 班级： 条码 粘贴处 准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[回错误【-][[] 选择题（请用2B铅笔填涂) 1、【AJ[B][C]D] 6、【A]IB]IC][D] 2、[A][B][C]ID] 7、【A]IB]IC]ID] 3、【A]IB][C][D] 8、【A][B][C]ID] 4、【A][B][C]ID] 9、【A]IB][C][D] 5、【A][B][C]ID] 10、【A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 11题」 12题 13题」 14题 15题 16题、 17题、 18题、 19题、 20题、 口 21题、 H D M B E 22题、 23题、