精品解析：江苏宜兴外国语学校2025-2026学年九年级上学期数学第三次学情自测

2025-2026学年宜兴外国语学校上学期第三次月考卷初三数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在外 C. 点在内 D. 无法确定 3. 在某次数学测试中，随机抽取了10份试卷，其成绩（单位：分）如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83，则这组数据的众数与中位数分别为（ ） A. 81分，分 B. 81分，81分 C. 81分，82分 D. 83分，77分 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． 则根据以上信息可判断，关于的一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，则的重心坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图①，在正方形中，点F在边上，且，点E沿从点B运动到点D．设点E到边的距离为x，，y随x变化的函数图象如图②所示，则图②中函数图象的最低点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上存在四个“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一组数据5、、、的极差是______． 12. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 13. 已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式__________． 14. 若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是__________．  15. 中，，，则的外接圆的半径为______． 16. 如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为______． 17. 如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为___________． 18. 如图，面积为4的平行四边形中，，过点B作边的垂线，垂足为点E，点E正好是的中点，点M、点N分别是、上的动点，的延长线交线段于点P，若点P是唯一使得的点，则线段长x的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共9小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求代数式的值，其中． 20. 解方程： （1） （2）． 21. 如图，在中，D是边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 某校进行环保知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名男生和20名女生的成绩进行整理，得到了如下所示的统计图和统计表： 统计量 中位数 众数 男生 a 9 女生 8 b （1）根据以上图表信息，直接写出表中a，b的值：_____，_____； （2）请分别计算被抽查男生与女生的平均成绩； （3）请选用（1）与（2）中的一个统计量说明该校男生成绩与女生成绩哪个更好？ （4）被抽查的20名男生成绩的方差为_____． 23. 有A，B，C三种款式的帽子，E，F，G三种款式的围巾，小慧任意选一顶帽子和一条围巾、 （1）小慧选择A款式帽子的概率是_____． （2）利用画树状图或列表的方法，求出小慧恰好选中A款式帽子和E款式围巾的概率． 24. 如图，是的直径，为的切线，与相交于点E，，交的延长线于点F，． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 25. 如图，在中，，于点D，为锐角． （1）将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值． 26. 学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】 （3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 27. 已知抛物线（m为常数）． （1）若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，则t的取值范围为_____； （2）若对于任意实数x，都有，此时抛物线与直线交于M，N两点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年宜兴外国语学校上学期第三次月考卷初三数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项． 【详解】解：A、，最高次数为1，不符合； B、，满足所有条件，符合； C、，含有两个未知数，不符合； D、，不是整式方程，不符合． 故选：B． 2. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在外 C. 点在内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断位置：若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离， ∴， ∴点在内， 故选：． 3. 在某次数学测试中，随机抽取了10份试卷，其成绩（单位：分）如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83，则这组数据的众数与中位数分别为（ ） A. 81分，分 B. 81分，81分 C. 81分，82分 D. 83分，77分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的定义，直接根据数据计算即可． 【详解】解：∵数据中81出现3次，其他数均出现1次， ∴众数为81分． 将数据从小到大排序：72，77，79，81，81，81，82，83，85，89． ∵数据个数为10，是偶数， ∴中位数为第5和第6个数的平均值，即（分）． ∴这组数据的众数与中位数分别为81分和81分， 故选：B． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根，需满足二次项系数不为0且判别式大于0，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是且， 故选：C． 5. 《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理．设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程． 【详解】解：设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺， ∴由勾股定理得， 故选：D． 6. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点的应用，利用正六边形的性质求边长是解题的关键． 首先通过正六边形来构造辅助线形成等边三角形，进而可以利用垂直在直角三角形中求解的长度即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，即， ∵， ∴， 在中，， 故选：D． 7. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． 则根据以上信息可判断，关于的一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数自变量与函数值的变化情况是解题的关键． 根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：∵时，，时，， ∴关于的一元二次方程的一个根的取值范围是， 故选：B ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，则的重心坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形重心的性质、相似三角形、位似的变化以及平面直角坐标系中点的特征，求解三角形的重心的坐标是解题的关键． 首先根据相似三角形求解的重心，进而再利用位似存在两种情况以及根据位似比是2求解两种情况重心的坐标． 【详解】解：∵重心是三角形三条中线的交点， 如图，取边上的中点C，连接，取边上的中点D，连接，，且，交于点G，点G即为的重心， ∵点C是边上的中点，点D是边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将放大为原来的2倍，得到， ∴当在第二象限时，； 当在第四象限时，； 故选：D． 9. 如图①，在正方形中，点F在边上，且，点E沿从点B运动到点D．设点E到边的距离为x，，y随x变化的函数图象如图②所示，则图②中函数图象的最低点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称原理，勾股定理，函数图象信息的处理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，读懂函数图象是解题的关键． 根据图象，当时，，确定正方形的边长；根据正方形的性质，得点与点关于直线对称，连接，交于点，当点与点重合时，取得最小值，，设此时点关于直线的对称点为，根据题意，，、、三点共线，根据正方形的性质，得点到边的距离为，点到边的距离也为，进而利用面积解答即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设， ， ，， 根据图象，当时，， ， 解得：， ，，， 正方形， 点与点关于直线对称， 连接，交于点， 当点与点重合时，取得最小值， ， 设此时点关于直线的对称点为， 根据题意，，、、三点共线， 根据正方形的性质，得点到边的距离为，点到边的距离也为， ， ， 解得：， 故图②中函数图象的最低点的坐标为. 故选：A． 10. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上存在四个“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据“a方内点”的定义，结合一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：①点到x轴距离为2，到y轴的距离等于1，不大于2， 故是一次函数图像的“2方内点”；故①正确； ②当时，，则点到y轴的距离为2，到x轴的距离为，不大于2，即点是函数图像上的“2方内点”； 同理可求：，，也是函数图像上的“2方内点”，故②正确； ③若直线的“方内点”有两个， 由题意知，函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x轴、y轴平行的正方形边上， 如图，当时，，即直线过定点， 当时，直线与有无数个“方内点”， 对于直线，把点代入中，， 解得：， 当时，直线与正方形的边有两个交点，表明有两个“方内点”，故③不正确； ④抛物线的“方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为且相邻两边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点，如下图； 当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时：，解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 综上，a的值恰有三个，分别为， 故④正确； 故正确的有①②④， 故选：A． 【点睛】本题为新定义题型，考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，数形结合是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一组数据5、、、的极差是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了极差，解题的关键是掌握极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．根据极差的概念求解即可． 【详解】解：一组数据、、、的极差是． 故答案为：． 12. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接应用一元二次方程的根与系数的关系求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 13. 已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式，先写出符合条件的二次函数的顶点式，然后化为一般式解题． 【详解】解：抛物线的表达式为：， 故答案为：．（答案不唯一） 14. 若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是__________．  【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是 故答案为：． 15. 中，，，则的外接圆的半径为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．已知中，，，斜边是外接圆的直径，因而外接圆的半径等于5． 【详解】解：，， 外接圆的半径等于5． 故答案为5. 16. 如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，圆周角定理以及扇形面积，连接，则，，由知是等腰直角三角形，求出，过点作求出，过点作于点，则四边形是矩形，所以，，分别求出扇形的面积和的面积，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是等腰三角形，，, ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 过点作则， ∴， ∴ 过点作于点，则四边形是矩形， 所以，， ∴, ∴． 故答案为：． 17. 如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握中点坐标公式和完全平方公式是解题的关键．先根据中点坐标公式求出点的横坐标，进而得到点和的纵坐标，再根据列出方程，最后利用完全平方公式求出的值． 【详解】解：∵，，点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∵过作轴的垂线交抛物线于， ∴的横坐标为，纵坐标为． ∵， ∴． ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，面积为4的平行四边形中，，过点B作边的垂线，垂足为点E，点E正好是的中点，点M、点N分别是、上的动点，的延长线交线段于点P，若点P是唯一使得的点，则线段长x的取值范围是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理，三角形外接圆的相关性质等知识，由平行四边形的面积得出，点P是唯一使得的点，则可看成弦所对的圆周角，由圆周角定理得出，为等腰直角三角形，，然后分三种情况画出图形求解即可． 【详解】解：∵平行四边形的面积为4，，， ∴， ∵点P是唯一使得的点， 则可看成弦所对的圆周角， 设外接圆的圆心为O， 则，为等腰直角三角形， ∴ ∵与之间的距离为1， (1)当经过点D时，即点P在点D处时， ∵与之间的距离为1， ∴，半径，， ∴， 解得， 显然与线段只有一个交点，符合题意． （2）要让与线段有且只有一个点，D点应该在外接圆外，E点应该在外接圆上， 于是①， ②， 解不等式①②可得出， （3）当圆与相切时，如下图： ， 解得， 综上所述：线段长x的取值范围是或， 故答案为：或 三、解答题（本大题共9小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方、算术平方根、绝对值，再计算加减即可得出结果； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再根据特殊角的三角函数值计算得出的值，代入化简后的式子即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴当时，原式． 20. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用公式法解方程． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： ， ∴ 21. 如图，在中，D是边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形得到，再代入数据求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 22. 某校进行环保知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名男生和20名女生的成绩进行整理，得到了如下所示的统计图和统计表： 统计量 中位数 众数 男生 a 9 女生 8 b （1）根据以上图表信息，直接写出表中a，b的值：_____，_____； （2）请分别计算被抽查男生与女生的平均成绩； （3）请选用（1）与（2）中的一个统计量说明该校男生成绩与女生成绩哪个更好？ （4）被抽查的20名男生成绩的方差为_____． 【答案】（1）8.5，8 （2）8.4；8.2 （3）男生，理由见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息关联，求众数，中位数，平均数，方差等知识点，正确读懂统计图是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义解答； （2）根据平均数的定义解答即可； （3）通过分析中位数、众数、平均数，比较可得答案． （4）根据方差的计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得，男生的成绩从小到大排列排在中间的两个数是8，9，所以男生成绩的中位数是； 由条形统计图可得，女生成绩的众数是8． 故答案为：8.5，8； 【小问2详解】 解：被抽查的男生的平均成绩是； 被抽查的女生的平均成绩是； 【小问3详解】 解：男生的成绩较好，理由如下： 男生的成绩的平均数比女生高，中位数，众数都比女生高， 所以男生的成绩较好． 【小问4详解】 解：方差为< 故答案为：． 23. 有A，B，C三种款式的帽子，E，F，G三种款式的围巾，小慧任意选一顶帽子和一条围巾、 （1）小慧选择A款式帽子的概率是_____． （2）利用画树状图或列表的方法，求出小慧恰好选中A款式帽子和E款式围巾的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键． （1）直接根据概率公式解答即可； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，从中得出恰好选中A款式帽子和E款式围巾的情况，进而求出相应的概率． 【小问1详解】 解：小慧选择A款式帽子的概率是； 故答案为： 【小问2详解】 解：用列表法表示搭配的所有可能性结果如下： 帽子 围巾 A B C G AG BG CG E AE BE CE F AF BF CF 共有9种所有可能出现的结果，其中恰好选中A款式帽子和E款式围巾的有1种， 所以恰好选中A款式帽子和E款式围巾的概率为． 24. 如图，是的直径，为的切线，与相交于点E，，交的延长线于点F，． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据求解． 【小问1详解】 解： 如图，连接OD， 为的切线， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，即的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确做出辅助线是解题关键． 25. 如图，在中，，于点D，为锐角． （1）将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）以点C为圆心，的长为半径画弧，以点A为圆心，的长为半径画弧与前弧交于点E，点E即为所求； （2）证明，推出，在中，，设，，由，推出，可得，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，点E即为所求； 【小问2详解】 解：连接， 在中，，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】 （3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【答案】（1）图2；图1 （2）见详解 （3）米 【解析】 【分析】本题考查投影和相似三角形的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形即可求解； （3）利用相似三角形的性质构建方程组和方程，求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，反映平行投影的情形图是图2；反映中心投影的情形图是图1； 故答案为：图2；图1； (2)如图所示，即为所作； （3）如图，记图1的投影中心为O，过点O作交的延长线于点N， ，，， ，， ，， ，， ，，，， ，即， ，即， 则，解得， ，， ， ， ， ，，，， ，即， 解得， 则竹竿的影长为米． 27. 已知抛物线（m为常数）． （1）若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，则t的取值范围为_____； （2）若对于任意实数x，都有，此时抛物线与直线交于M，N两点，求的长． 【答案】（1）①，②或 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合运用，掌握函数与方程和不等式的关系是解决本题的关键． （1）①把代入解析式，利用待定系数法求解析式；②根据解析式，得到二次函数开口方向和对称轴，利用，得到点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，得到 或，再根据，即可求解． （2）根据对于任意实数x，都有，得出对于任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出m的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：①将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； ②可知抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离， 即，解得或， 又， 或， 解得或． 【小问2详解】 解：对于任意实数x，都有， 对于任意x都成立， ，即， ， 抛物线的解析式为， 令，得，解得，， 点M、N的横坐标分别为和， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $