精品解析：山西晋中市祁县2025-2026学年第一学期期末学业水平质量监测九年级数学试题

2025—2026学年第一学期期末学业水平质量监测九年级数学 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效，考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 榫卯是中国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可，注意，主视图中存在的线段，在俯视图中被遮住或是看不到的线段要用虚线表示． 本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由题意得“卯”的俯视图为， 故选：A． 2. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，证出是等边三角形是关键． 根据矩形的性质，可以得到是等边三角形，则可以求得的长，进而求得的长． 【详解】解：在矩形中， ，， 又∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 故选：C． 3. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中．某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据点落入黑色部分的频率稳定在 左右，得到点落入黑色部分的概率为，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，点落入黑色部分的频率稳定在左右，即点落入黑色部分的概率为，则估计黑色部分的总面积为， 故选：C． 4. 九年级某班级在一次班级文化评比中，制作了一个如图所示的简易花架摆放班级里的绿植，已知，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出，即，即可得出答案． 【详解】解：， ，即． 解得． 故选：D． 5. 抛物线上三点分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，通过将三点横坐标代入抛物线解析式求出对应纵坐标，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵将代入， ∴， ∵将代入， ∴， ∵将代入， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 能判定的条件是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，需熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似等是解题的关键．据此逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A、三边对应成比例但对应边匹配错误，应为才能判定相似，故A错误． B、与、与不是对应角，不满足两角分别相等的判定条件，故B错误． C、，但与不是这两组边的夹角，不满足两边对应成比例且夹角相等的条件，故C错误． D、，且（是与的夹角，是与的夹角）， 满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，则，故D正确． 故选：D． 7. 如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 11 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数确定一元二次方程的根的取值范围．从表中可以看出当时，，当时，，所以能使成立的一定在范围内． 【详解】解：整理方程 得到：， 令， 由表中数据可知：当时，， 当时，， 当时，即时， 一定有． 故选：B． 8. 如图1，筒车是我国古代的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干盛水筒，其核心部件可看作圆O．如图2，圆O与水面交于A、B两点，点P是筒车上的一个盛水筒，是圆O的直径，连接、，已知，且，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质．解题的关键是圆周角定理的应用． 连接，可得．由是圆O的直径，．由同弧所对的角相等，得．由等腰三角形的性质得． 【详解】解：连接， ， ． 是圆O的直径， ． ． ， ． ， ． 故选：D． 9. 如图，在平行四边形中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（ ） A. 9 B. 6 C. 10 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，菱形判定与性质，勾股定理，证明四边形是菱形是解题的关键． 连接、，设交于点，根据题意证明四边形是菱形，从而得出的长，再根据勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、，设交于点， 由题意可知，是的角平分线， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 以为圆心，长为半径画弧，交于点， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， 又∵， 四边形是菱形， ，，， ， ， ． 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，，分别以点B和点D为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、、于点E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于O点，根据菱形的性质可得， ， ，，进而求得，，，则可得，，再根据即可求解． 本题主要考查了菱形的性质，利用菱形的性质求面积，求扇形面积，求其他不规则图形的面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【详解】解：连接交于O点， ∵四边形是菱形， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一位同学乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行25米，求他下降的高度是___米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，坡度坡比问题(解直角三角形的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据坡度定义设下降高度为米，则水平宽度为米，利用勾股定理，以斜坡长度米为斜边，列方程求解． 【详解】解：设下降的高度为米， 则水平宽度为米， 由勾股定理，得， 解得：（负值舍去）， ∴下降的高度为米， 故答案为：． 12. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设宽为x步，则长为步，根据矩形面积公式列方程． 【详解】解：设宽为x步，则长为步．由题意， 得． 故答案为． 13. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意配方得原抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】解：， 该抛物线的顶点坐标是， 抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后， 那么得到的抛物线的解析式为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为A，B为中点．若，则该反比例函数的表达式为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是正确的运用面积求的值． 由点为的中点，可以求得的面积，根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，图象在第二象限， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， 为中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ， 故该反比例函数的表达式为． 故答案为：． 15. 如图，边长是正方形，点C是边上靠近点B的三等分点，连接，点F，H分别为，上的点，连接交于点G，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过E点作交于M点，延长至N点，使，连接、．先根据证明，则可得，．由 ，且可得，则可得，．再根据证明，则可得 ．设，则，，，在中，根据列方程求得，则可得 ，根据勾股定理可得，再证四边形是平行四边形，则可得． 【详解】解：如图，过E点作交于M点，延长至N点，使，连接、． ∵四边形是正方形，且边长是 ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵点C是边上靠近点B的三等分点， ∴， ∴， ， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值混合运算，解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：因式分解，得， 或， 解得：，． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，． （1）求k的值； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题． （1）把代入一次函数，得到，即，再把代入反比例函数即可求； （2）把代入一次函数，得到，再根据求解即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：把代入一次函数，得， ， 把代入反比例函数，得， 即； 【小问2详解】 解：把代入一次函数，得， 解得，即， 时，，即， ， 则的面积为； 【小问3详解】 解：根据图像，时x的取值范围为或． 18. 2026年农历马年新春，某商场推出“集生肖福卡，赢新春好礼”活动，设置奋进马、吉祥马、安康马、喜乐马4种福卡，每张福卡被抽到的概率相同．顾客每次抽奖可随机获得1张福卡，抽完后放回，再进行下一次抽奖． （1）若顾客抽奖1次，抽到“奋进马”的概率是________； （2）顾客连续抽奖2次，求抽到的2张福卡是同一种类的概率．请用树状图或列表法解答． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求概率，概率公式． （1）确定顾客抽奖1次情况数，抽到“奋进马”的情况占总情况数的多少即可； （2）画出树状图，得到连续抽奖2次情况数，再找出符合题意的情况，即可得到概率． 【小问1详解】 解：顾客抽奖1次，可抽到奋进马、吉祥马、安康马、喜乐马4种福卡， 则抽到“奋进马”的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设奋进马、吉祥马、安康马、喜乐马4种福卡分别为A、B、C、D， 顾客连续抽奖2次，画树状图如下： 共有16种，其中抽到的2张福卡是同一种类的有4种， 故概率为． 19. 文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店购进了一批某品牌头盔，该品牌头盔每个的成本为30元，经市场调研发现，当每个头盔的售价为40元时，月销售量为300个，在此基础上，每个头盔的售价每上涨1元，则月销售量减少10个．设每个头盔的售价上涨x元（x为正整数），月利润为y元， （1）直接写出y与x的函数关系式________ （2）当售价上涨多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1）（为正整数） （2）当售价上涨10元时，月利润最大，最大月利润是4000元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）每个头盔的售价上涨x元，则售价为元，月销售量为个，再用每个头盔的利润乘以月销售量即可； （2）利用配方法得到最值即可． 【小问1详解】 解：设每个头盔的售价上涨x元（x为正整数）， 则售价为元，月销售量为个， ∴，解得， 又x为正整数，则且x为正整数， 月利润， 即（且x为正整数）； 故答案为：（为正整数）； 【小问2详解】 解： ， 当时，月利润最大，最大值为4000元， 答：当售价上涨10元时，月利润最大，最大月利润是4000元． 20. 学校无人机社团的同学们想测量教学楼的高度，将无人机垂直向上飞到距离地面的点D处，测得教学楼A的俯角，将无人机沿教学楼方向水平飞行到点C处，测得教学楼B的俯角是，教学楼的高度是多少米．（精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长交直线于E点，则．在中，根据三角函数的定义求得 ，则可得．在中， 根据三角函数的定义求得，进而可得． 本题主要考查了利用三角函数的定义解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交直线于E点， 则， 在中， ，，， ∴， 由题知， ∴， 在中， ， ， ∴， ∴． ∴教学楼的高度大约为． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 阅读以下材料，完成相应任务： 标准对数视力表的设计基于相似图形的原理，视力表中不同视力对应的“E”形图案都是相似的，且视力值V与“E”的长a（单位：）满足反比例关系：（k为常数）．已知视力1.0对应的“E”长，同时空白缺口宽d为长a的． 定义：若两个相似图形的相似比为，则称这两个图形的“视觉比”为（视觉比反映图形在视觉中的大小感知）． 任务： （1）求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式； （2）若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”． 【答案】（1） （2）见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的特征，以及用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式，先得到，进而得到，再计算比值即可证得，结合“视觉比”的概念求解即可． 【小问1详解】 由题可知，时，， ，解得， 答：“E”长a与视力V之间的函数解析式为； 【小问2详解】 证明：时，即， 时，即， 则，， ， ， 又与的相似比为， 与的“视觉比”为． 22. 如图1，小明和哥哥在打羽毛球时发现：网前吊球路线近似抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示：从A点击球，击球点A为抛物线顶点，击球点A到地面的距离，且击球点A在球网左侧与球网的水平距离为，网高，球经过球网正上方的点C；吊球的落点为E，以地面为x轴，过击球点A作垂直于地面的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求网前吊球的路线表达式； （2）网前吊球的落点E到球网的水平距离是多少米？ （3）羽毛球的竖直高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系式为，已知羽毛球经过时恰好到达点C，求b的值，并求出羽毛球从击球到落地的总飞行时间（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征及解一元二次方程，求出对应表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，得到即可； （3）利用待定系数法，得到，再令即可得到飞行时间． 【小问1详解】 解：根据题意，，， 设网前吊球的路线表达式为， 把代入，得，解得， 答：网前吊球的路线表达式为； 【小问2详解】 解：令，即， 整理得，解得（负值已舍去）， ，，， 答：网前吊球落点E到球网的水平距离是米； 【小问3详解】 解：∵， ∴时，，解得， ， 令，即， ， 解得：（负值已舍去）， 答：羽毛球从击球到落地的总飞行时间为． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形纸片的边的中点．将正方形纸片沿折叠，点B落在F处，再展开铺平，过点B作交于点G，连接． 【初步探究】 （1）求证：四边形是菱形； 【深入探究】 （2）如图2，延长交于点H，求证：． 【拓展延伸】 （3）将两个边长为1的相同正方形拼成矩形，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，再由可得，进而可得，，根据四条边都相等的四边形是菱形即可证明四边形是菱形． （2）连接，先根据证明，则可得．设正方形纸片的边长为4，则，，．在中， 根据列方程求得，则可得，，进而可得 ． （3）分两种情况： ①如图，当F点在线段的延长线时，设与的交点为N点．先证，利用相似三角形对应边成比例列比例式可求得，． 再证明，利用相似三角形对应边成比例列比例式可求得，由折叠的性质可得． ②当F点在线段上时，连接．由题意得，则可得，由勾股定理可得，则可得．设，则， 根据列方程求得，进而可得． 【详解】（1）证明： 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）证明：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可得， ， ， ∴， ∴， ∵E点是边的中点 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 设正方形纸片的边长为4，， 则，，，， ∴， 在中， ， ∴， 解得， ∴，， ∴． （3）解：分两种情况： ①如图，当F点在线段的延长线时，设与的交点为N点， 由题知四边形是矩形，且，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 解得，， ∵沿折叠得到， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴． ②如图，当F点在线段上时，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识，注意分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末学业水平质量监测九年级数学 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效，考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 榫卯是中国古代建筑、家具及其他木制器械主要结构方式，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 12 3. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中．某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为（ ） A. B. C. D. 4. 九年级某班级在一次班级文化评比中，制作了一个如图所示的简易花架摆放班级里的绿植，已知，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线上三点分别为，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 能判定的条件是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 7. 如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 12 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，筒车是我国古代的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干盛水筒，其核心部件可看作圆O．如图2，圆O与水面交于A、B两点，点P是筒车上的一个盛水筒，是圆O的直径，连接、，已知，且，那么等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（ ） A. 9 B. 6 C. 10 D. 7 10. 如图，在菱形中，，，分别以点B和点D为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、、于点E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一位同学乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行25米，求他下降的高度是___米． 12. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 13. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为____________． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为A，B为中点．若，则该反比例函数的表达式为____． 15. 如图，边长是正方形，点C是边上靠近点B的三等分点，连接，点F，H分别为，上的点，连接交于点G，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程： 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，． （1）求k的值； （2）求面积； （3）直接写出时x的取值范围． 18. 2026年农历马年新春，某商场推出“集生肖福卡，赢新春好礼”活动，设置奋进马、吉祥马、安康马、喜乐马4种福卡，每张福卡被抽到的概率相同．顾客每次抽奖可随机获得1张福卡，抽完后放回，再进行下一次抽奖． （1）若顾客抽奖1次，抽到“奋进马”的概率是________； （2）顾客连续抽奖2次，求抽到的2张福卡是同一种类的概率．请用树状图或列表法解答． 19. 文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店购进了一批某品牌头盔，该品牌头盔每个成本为30元，经市场调研发现，当每个头盔的售价为40元时，月销售量为300个，在此基础上，每个头盔的售价每上涨1元，则月销售量减少10个．设每个头盔的售价上涨x元（x为正整数），月利润为y元， （1）直接写出y与x的函数关系式________ （2）当售价上涨多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 20. 学校无人机社团的同学们想测量教学楼的高度，将无人机垂直向上飞到距离地面的点D处，测得教学楼A的俯角，将无人机沿教学楼方向水平飞行到点C处，测得教学楼B的俯角是，教学楼的高度是多少米．（精确到，参考数据：，，） 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 阅读以下材料，完成相应任务： 标准对数视力表的设计基于相似图形的原理，视力表中不同视力对应的“E”形图案都是相似的，且视力值V与“E”的长a（单位：）满足反比例关系：（k为常数）．已知视力1.0对应的“E”长，同时空白缺口宽d为长a的． 定义：若两个相似图形的相似比为，则称这两个图形的“视觉比”为（视觉比反映图形在视觉中的大小感知）． 任务： （1）求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式； （2）若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”． 22. 如图1，小明和哥哥在打羽毛球时发现：网前吊球路线近似抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示：从A点击球，击球点A为抛物线顶点，击球点A到地面的距离，且击球点A在球网左侧与球网的水平距离为，网高，球经过球网正上方的点C；吊球的落点为E，以地面为x轴，过击球点A作垂直于地面的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求网前吊球的路线表达式； （2）网前吊球的落点E到球网的水平距离是多少米？ （3）羽毛球的竖直高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系式为，已知羽毛球经过时恰好到达点C，求b的值，并求出羽毛球从击球到落地的总飞行时间（结果保留根号）． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形纸片的边的中点．将正方形纸片沿折叠，点B落在F处，再展开铺平，过点B作交于点G，连接． 【初步探究】 （1）求证：四边形是菱形； 【深入探究】 （2）如图2，延长交于点H，求证：． 【拓展延伸】 （3）将两个边长为1的相同正方形拼成矩形，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $