6.2.3 向量的数乘运算 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3　向量的数乘运算 一、必备知识基础练 1.(探究点一)化简6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)为(　　) A.6a+2b+8c B.6a-14b C.-2a-14b D.6a+2b 2.(探究点三·2025江苏南京高一期中)设a,b为非零向量,则“|a|=2|b|”是“a=2b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(探究点三)已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则(　　) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 4.(探究点三)已知λ,μ∈R,且a≠0,则在以下各命题中,正确命题的个数为(　　) ①当λ<0时,λa与a的方向一定相反; ②当λ>0时,λa与a的方向一定相同; ③当λ≠0时,λa与a是共线向量; ④当λμ>0时,λa与μa的方向一定相同; ⑤当λμ<0时,λa与μa的方向一定相反. A.2 B.3 C.4 D.5 5.(探究点三·2025黑龙江大庆高一期末)设e1,e2是空间中两个不共线的向量,已知=3e1+ke2,=e1+2e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则k的值为(　　) A.3 B.-3 C.9 D.-9 6.(多选题)(探究点二)如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　) A. B. C. D. 7.(探究点三)若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　.  8.(探究点三)已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=　　　 =　　　　.  9.(探究点一·2025广东东莞高一期中)(1)化简(2a+4b)-(4a-b); (2)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,求向量x. 10.(探究点二)如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b. (1)用a,b分别表示向量; (2)求证:B,E,F三点共线. 二、关键能力提升练 11.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 12.已知△ABC的重心为O,则向量=(　　) A. B. C.- D.- 13.在△ABC中,若3=2-2,则点D(　　) A.在直线AB上 B.在直线AC上 C.在直线BC上 D.为△ABC的外心 14.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ(),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 15.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,一定能使向量a,b共线的是(　　) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD,其中=a,=b 16.设a,b是两个不共线的非零向量.若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=　　　　.  17.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD.求证:M,N,C三点共线. 三、学科素养创新练 18.已知向量a,b满足|a+b|=1,|a-5b|=2,则|a-2b|的最大值为　　　　,最小值为　　　　. 19.用向量运算刻画三角形的重心. (1)已知△ABC,求一点G满足=0. (2)求证:满足条件=0的点G是△ABC的重心. 参考答案 1.D　原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a+2b.故选D. 2.B　|a|=2|b|表示向量a的长度是向量b长度的2倍,但a,b的方向不一定相同,所以由|a|=2|b|推不出a=2b;反之,由数乘定义可知,若a=2b,则|a|=2|b|. 综上,“|a|=2|b|”是“a=2b”的必要不充分条件.故选B. 3.A　∵向量=2a+4b,=a+2b, ∴=2,即A,B,D三点共线.故选A. 4.D　根据实数λ与向量a的积λa的方向规定,易知①②③都是正确的;对于④,由λμ>0可得λ,μ同为正数或同为负数,所以λa和μa或者都与a同向,或者都与a反向,所以λa与μa是同向的,故④正确;对于⑤,由λμ<0可得λ,μ异号,所以λa和μa中,一个与a同向,另一个与a反向,所以λa与μa是反向的,故⑤是正确的.故选D. 5.D　因为e1,e2是空间中两个不共线的向量,且有=3e1+ke2,=e1+2e2,=2e1-e2,所以=e1-3e2.因为A,B,D三点共线,所以, 所以存在实数λ,使得=λ, 所以3e1+ke2=λ(e1-3e2),所以λ=3,k=-9.故选D. 6.AC　A选项,,A选项正确; B选项,)+,B选项错误; C选项,=-,C选项正确; D选项,=-,D选项错误.故选AC. 7.等腰梯形　由已知得=-,因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形. 又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形. 8.2　2　因为-3+2=0,所以=2(),所以=2,所以=2. 9.解(1)(2a+4b)-(4a-b)=[(a+2b)-(4a-b)]=(3b-3a)=2b-2a. (2)因为3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=x+3a-4b=0,故x=4b-3a. 10.(1)解∵)=(a+b), ∴(a+b). ∵b,∴=-a+b. (2)证明由(1)知=-a+b,=-a+(a+b)=-a+b=, ∴.∴共线. 又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线. 11.D　∵△DEF∽△BEA,∴,∴DF=AB.∴.∵=a,=b,联立得(a-b),(a+b), ∴(a+b)+(a-b)=a+b. 12.C　设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,由于O是△ABC的重心,所以×()=×()=-. 故选C. 13.A　因为3=2-2,所以3=2-2=2()=2,所以共线. 因为有公共端点B,所以A,B,D三点共线,所以点D在直线AB上,故选A. 14.B　题中向量式中有两共起点的向量,于是可利用移项得,从而将向量式中的点O去掉. ∴=λ.令,则是以A为起点,向量所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量,即在∠BAC的平分线上. ∵=λ,∴共线. ∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心. 15.AB　选项A中,联立2a-3b=4e和a+2b=-2e,消去向量e可得出4a+b=0,∴b=-4a,且a≠0,所以向量a,b共线. 选项B中,∵a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0, ∴λ,μ都不为0,∴a=b,所以向量a,b共线. 选项C中,当x=y=0时,满足x+y=0,此时对任意的向量a,b都有xa+yb=0,∴得不出向量a,b共线; 选项D中,∵在梯形中AB与CD不一定平行,∴得不出向量a,b共线.故选AB. 16.-4　∵向量ka+2b与8a+kb的方向相反, ∴ka+2b=λ(8a+kb),其中λ<0,即k=8λ,2=λk,解得k=-4,或k=4,当k=4时,λ=>0,不符合题意,舍去, ∴k=-4. 17.证明设=a,=b,则由向量减法的三角形法则可知a-b.又∵N在BD上且BN=BD,∴)=(a+b), ∴(a+b)-b=a-b=a-b),∴,∴共线. 又∵有公共点C,∴C,M,N三点共线. 18.　易知a-2b=[(a+b)+(a-5b)],所以有|a-2b|=|[(a+b)+(a-5b)]|=|(a+b)+(a-5b)|.所以|(a+b)+(a-5b)|≤|a+b|+|a-5b|=3,当且仅当a+b,a-5b同向时,等号成立,此时|(a+b)+(a-5b)|取最大值3,|a-2b|取最大值, 又|(a+b)+(a-5b)|≥||a+b|-|a-5b||=1,当且仅当a+b,a-5b反向时,等号成立,此时|(a+b)+(a-5b)|取最小值1,|a-2b|取最小值. 19.(1)解设点D,F分别是AB,BC的中点,连接CD,AF交于点G,则G为△ABC的重心, 延长CD到点E,使得DE=GD,连接AE,BE,BG,如图, 由向量加法的平行四边形法则,得=2, 因为点G为△ABC的重心, 所以||=2||,故=2, 所以=2=0, 所以△ABC的重心G满足题意. (2)证明因为=0,所以=-,以GA,GB为邻边作▱GAEB,连接GE,由向量加法的平行四边形法则,得,所以,设AB与GE交于点D,由平行四边形的性质可知点D为AB和GE的中点,所以=2,即点G在中线CD上.同理可证点G也在其他两边的中线上,即点G是三角形三条中线的交点,所以点G为△ABC的重心. 8 学科网（北京）股份有限公司 $