精品解析：河南沈丘县中英文学校等校2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷

2025-2026学年度上期期末测评卷 九年级数学（华师版） 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题 （本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列函数中，属于二次函数是 （ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 4. 已知半径为5，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 5. 一个不透明的袋子里装有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） A B. C. D. 6. 如图，在中，，，则的值为（） A. B. C. D. 2 7. 若点 在抛物线上，且 则 与 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 8. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点O，若点的对应点，则位似比为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题 （本大题共6小题，每小题3分， 共18分） 11. 方程的解是______． 12. 抛物线经过原点，则______． 13. 已知，的值为______． 14. 如图，的弦，圆心O到的距离为3，则的半径为 _____． 15. 二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 ___． 16. 边长为6的正六边形外接圆半径是_____． 三、解答题 （本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程 （1）（因式分解法） （2）（公式法） 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）直接写出抛物线对称轴． 19. 如图，是的直径，C为上一点，连接，于点E，D是直径延长线上一点，且平分求证：是的切线． 20. 在一个不透明的盒子里装有分别标有数字，，0，1的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，先从盒子里随机摸出一个小球，记录数字后放回，再随机摸出一个小球，记录数字． （1）列出两次摸球的所有可能结果； （2）求两次摸出的小球上的数字之和为正数的概率． 21. 如图， 在中，、分别是、上的点， 且 ，，，，求的长． 22. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台. （1）假设每台冰箱降价元，商场每天销售这种冰箱利润为元，请写出与间的函数表达式;（不要求写出自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ 23. 如图，在中，，，．在上取一点，以为圆心，长为半径作，恰好与相切于点，连接，． （1）求证：平分． （2）求的半径． 24. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该函数图象的顶点为M，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期期末测评卷 九年级数学（华师版） 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题 （本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列函数中，属于二次函数的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A: 是一次函数，最高次数为1，不符合； 选项B:，是反比例函数，不符合； 选项C: 是二次函数，最高次数为2且，符合； 选项D: 是根式函数，不是多项式函数，不符合． 故选：C． 2. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解题的关键，一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式，可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：方程有两个相等的实数根， ， 得， 故选：． 3. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据抛物线的顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 4. 已知的半径为5，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内；点在圆上；点在圆外是解题的关键．根据点在圆内，进行判断作答即可． 详解】解：由题意知，， ∴，即点在圆内， 故选：A． 5. 一个不透明的袋子里装有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单随机事件的概率，解题关键是牢记概率公式． 直接利用概率公式计算摸到白球的概率． 【详解】解：∵ 袋中总球数为个，白球有个， ∴ 摸到白球的概率为． 故选：B． 6. 如图，在中，，，则的值为（） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，由平行判断成比例的线段，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 由平行线列出比例式求解． 【详解】解：因为，， 所以， 故选：A． 7. 若点 在抛物线上，且 则 与 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 通过求抛物线的对称轴和开口方向，判断函数在时的增减性，从而比较和的大小． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴， ∵在对称轴左侧（），函数值y随着x的增大而增大． 又∵， ∴． 故选：A． 8. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键； 根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A 9. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可知∠ACB的度数为90°． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的相关性质:直径所对的圆周角是直角，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键. 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点O，若点的对应点，则位似比为（ ） A B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求两个位似图形的相似比，求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据两对应点的横坐标求出位似比即可． 【详解】解：因为与是位似图形，位似中心为原点O，若点的对应点， 所以位似比为， 故选：A． 二、填空题 （本大题共6小题，每小题3分， 共18分） 11. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 移项后根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：． 故答案为：． 12. 抛物线经过原点，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，直接把原点坐标代入即可计算出c的值． 【详解】解：把代入得． 故答案为：0． 13. 已知，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可设， ∴； 故答案为． 14. 如图，的弦，圆心O到的距离为3，则的半径为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵弦，圆心O到的距离， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， 即的半径为 5， 故答案为：5． 15. 二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 ___． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】把解析式配方化成顶点式，顶点的纵坐标即为最值． 【详解】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1， ∴对称轴为x＝1， ∴x＝﹣1时，有最小值，y最小值＝﹣1； 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，找到对称轴是解题的关键． 16. 边长为6的正六边形外接圆半径是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解． 【详解】解：正6边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形， ∴边长为6的正六边形外接圆半径是6,故答案为6. 【点睛】本题考查了正多边形和圆，得出正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形是解题的关键． 三、解答题 （本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程 （1）（因式分解法） （2）（公式法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）利用因式分解法解一元二次方程； （2）利用公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：因式分解，得， 所以或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， 所以， 所以， 解得：，． 18. 如图，平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）直接写出抛物线的对称轴． 【答案】（1） （2）抛物线的对称轴为直线 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，求抛物线的对称轴， （1）令求出解，即可得出点A，B的坐标，再令可得答案； （2）将抛物线的关系式配方得出顶点式，即可得出答案． 【小问1详解】 解： 令，则， 解得． ∵点A在点B左侧， ∴； 令，则， ∴； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 19. 如图，是的直径，C为上一点，连接，于点E，D是直径延长线上一点，且平分求证：是的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据直径所对圆周角是直角得出，再根据垂直的意义得出，从而可根据直角三角形的两个锐角互余得出，从而可得，再根据角平分线的定义得出，从而可得，再根据等边对等角得出，从而可得，进而得出，于是可得出是的切线． 【详解】证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明某直线是圆的切线等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 20. 在一个不透明的盒子里装有分别标有数字，，0，1的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，先从盒子里随机摸出一个小球，记录数字后放回，再随机摸出一个小球，记录数字． （1）列出两次摸球的所有可能结果； （2）求两次摸出的小球上的数字之和为正数的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列举随机实验的所有可能结果，根据概率公式计算概率等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据题意，列出两次摸球的所有可能结果； （2）得出两次摸出的小球上的数字之和为正数的可能结果数，再利用概率公式求解． 小问1详解】 解：两次摸球的所有可能结果有： ，，，，，，，，，，，，，，，， 共16种； 【小问2详解】 解：数字之和为正数的结果有： ，，， 共3种， ∴P(数字之和正数) ． 21. 如图， 在中，、分别是、上的点， 且 ，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质， 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由，推出，再根据相似的性质即可求得． 【详解】解：，， ， ∵， ∴， ， 又∵， ， 解得 ． 22. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台. （1）假设每台冰箱降价元，商场每天销售这种冰箱的利润为元，请写出与间的函数表达式;（不要求写出自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ 【答案】（1）;（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价200元. 【解析】 【分析】（1）根据题目要求，售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，则降价x元，平均每天多售出台，列出函数关系式即可；（2）依题意可得当y=4800时，代入函数解析式求解，根据百姓得到实惠的条件取得符合题意的x值． 【详解】解：（1）根据题意，得 . （2）令，即， 解得，， 要使百姓得到实惠，则降价越多越好，所以取. 答：商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠， 每台冰箱应降价200元. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用营销问题中的基本等量关系，求出函数关系式，是解题的关键． 23. 如图，在中，，，．在上取一点，以为圆心，长为半径作，恰好与相切于点，连接，． （1）求证：平分． （2）求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为3 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质和题意求出，然后利用角平分线的判定定理求解即可； （2）首先根据勾股定理求出，然后根据题意得到，然后，则，利用代入求解即可． 【小问1详解】 证明：， 与相切于点， 又点在的内部，， 点在的平分线上，即平分； 【小问2详解】 解：在中，，，， ， ， 又， ． 在中，， 设，则， 又， ， 解得， ， 的半径为3． 【点睛】此题考查了切线的性质，角平分线的判定定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该函数图象的顶点为M，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题(二次函数综合)，的图象与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式中，求出待定系数即可； （2）将二次函数解析式化为顶点式求出顶点M的坐标，确定的高，再结合底边的长求出其面积． 【小问1详解】 解∶将，代入得， ． 解得：， 所以二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解∶因为 所以顶点M的坐标为， 所以的边上的高为， 因为，， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $