精品解析：河北昌黎第一中学2025-2026学年高三年级上学期期末考试数学试卷

河北昌黎第一中学2025-2026学年高三年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，又， 所以. 故选：D 2. 设为虚数单位，，则“”是“复数 是纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，根据复数 是纯虚数求出，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】 . 因为复数 是纯虚数，所以，解得. 所以“”是“复数 是纯虚数”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知为第三象限角， 若， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正切的二倍角公式求解即可. 【详解】由为第三象限角，得, 由， 得，解得，则， 故选：B 4. 已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，得到，得到长轴长 【详解】椭圆的上顶点为，代入，可得， 左焦点为，代入，可得，解得， 故，故，故长轴长为. 故选：A 5. 已知函数是奇函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性求得，进而计算可求得. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：C. 6. 若直线被圆截得的弦长为，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 7. 已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得函数的最小正周期，结合正弦函数的性质求得最大值点和最小值点满足的条件，再对四个选项一一判断检验，即得答案. 【详解】由题意可得函数的最小正周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值1又有最小值， 且区间的长度为8， 对于A，若，当时，最大值点为， 最小值点为， 由于，满足要求； 对于B，若，当时，最大值点为， 最小值点为， 由于，满足要求； 对于C，若，当时，最大值点为， 最小值点为， 由于，满足要求； 对于D，若，当时，最大值点为， 最小值点为，当时，最大值点为2038， 显然，内只包含最小值点，不包含最大值点，不满足要求. 故选：D 8. 已知实数，若， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性计算即可. 【详解】条件可化为， 令，则， 易知时，， 时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则，故， 又，所以， 则，即. 故选：C 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式结合条件可得，进而求出数列的通项公式与前项和，依此分别判断四个选项即可. 【详解】对于A，由得，即，由得， 代入得，联立，且，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 则为定值，故D正确. 故选：ACD 10. 在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 为等腰三角形 D. 的周长是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦定理及积化和差公式、诱导公式可将已知式子化简，再利用辅助角公式及三角函数的有界性可求得，进而可判断各选项. 【详解】由正弦定理得， 由积化和差公式得， 将，，代入得 ， 整理得， 由辅助角公式得， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 所以， 又为三角形的内角， 所以，即，故A正确； 所以，解得，所以，故B错误； 由知为等腰三角形且，故C正确； 由等腰三角形的性质知，所以的周长是，故D错误. 故选：AC. 11. 在正三棱锥中，，分别为的中点，，点在底面上的投影为，在侧面内的投影为，则（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为 C. 为的四等分点 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，再通过空间向量运算和几何性质，逐一验证线面垂直、体积、投影点位置及外接球表面积等结论. 【详解】 如图所示，以的中点为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，因为是正三棱锥，则底面是正三角形，则， 正三角形的中心（重心）坐标为三顶点坐标的平均值：， 点在底面的投影为，故的坐标与相同， 设其高度为，即，，； 选项A：由，而，， 故可以解得​​，即， 向量，，, 计算点积：，， 因，平面， 故平面，选项A正确； 选项B：底面正三角形面积，高为，则体积为​​，选项B正确； 选项C：因为在侧面内，且与平面交线为，是中点， 所以必在直线上（正三棱锥的对称性）； 设，其中为参数，， 因此的坐标可以表示为：， 平面，意味着与平面内的任意向量都垂直，这里取和验证: ，，， 由，得点积为：, 展开计算：，则可以推得，即是线段上靠近的三等分点（），而非四等分点，选项C错误； 选项D：外接球心在过底面中心且垂直底面的直线上，设, 由，列方程：， 化简后得，解得​​， 代入得，表面积：，选项D正确. 故选：ABD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则与的夹角为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】首先求向量和，再代入向量的夹角公式，即可求解. 【详解】，所以， 则，即. 所以与的夹角为. 故答案为： 13. 已知直线与函数的图象相切，且它们仅有一个公共点，则直线的方程为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义结合因式分解计算函数的零点即可. 【详解】设切点为，则， 所以的方程为，即， 又直线与只有一个交点， 即只有一个根， 整理得，解之得， 要满足题意需，所以. 故答案为：. 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上且位于第二象限内， 的面积为，过原点且平行于的直线与和的角平分线分别交于点，且 ，则双曲线的离心率为_____. 【答案】5 【解析】 【分析】设，根据中位线定理及角平分线的定义可得，根据双曲线的定义及三角形的面积公式、余弦定理可求出，由勾股定理可求出c，进而可求出离心率. 【详解】设，如图， 因为，为的中点，所以为的中点，且, 又为的角平分线，所以，所以， 所以为等腰三角形，所以，即，所以. 由双曲线的定义可知，所以， 所以的面积为， 所以. 在中，由余弦定理得， 将代入上式整理得，解得. 所以，解得， 所以，且，所以， 所以，解得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：5. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列满足，，. （1）求数列的通项公式; （2）证明:对，. 【答案】（1） （2） ，故 对1，2，3… ， ∴ .， 因为， 所以 即 【解析】 【分析】（1）先由递推公式结合题中条件，得到，判断出数列是等差数列，求出通项，即可得出结果； （2）先由（1），根据裂项的方法，得到对1，2，3…，进而可求出，即证明结论成立. 【小问1详解】 由可得， ∵，∴，依此类推， ∴，∴， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，即， 【小问2详解】 略 16. 图，已知四棱台的底面为正方形，平面，，为的中点. （1）证明:平面; （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求棱的长度. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意可得，，所以四边形是平行四边形，所以，结合线面平行的判定即可得证； （2）以为原点，正方向为轴建立空间直角坐标系，设，分别求出平面与平面的法向量，结合两平面夹角的余弦值为，即可解得，进而求得的长度. 【小问1详解】 连接，如图， 因为，且四棱台的底面为正方形， 所以，易得，所以四边形是平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为原点，正方向为轴建立空间直角坐标系，如图： 设，则， 易得平面的法向量可取，设平面的法向量为， ，，则有，设，则， 则平面与平面夹角的余弦值为 ， 解得，则，，则. 17. 某厂欲将一些零件交给该厂甲、乙两个车间加工，据以往统计发现，甲车间加工零件的达标率为90%. （1）现将甲、乙两车间加工的该种零件按 的比例混合在一起，从混合放在一起的零件中，随机抽取一件，该零件达标的概率为80%. （i）求乙车间加工零件的达标率； （ii）若从混合放在一起的零件中，随机抽取3个，记这3个零件中达标的个数为，求的分布列和期望； （2）乙车间为了争取更多的加工量，着重提高了加工该种零件的达标率，已知在乙车间提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为，在乙车间不提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为.设事件“乙车间提高了加工该种零件的达标率”，“该厂给乙车间增加加工量”，若，，，证明： 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析；期望为； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）（i）根据全概率公式，即可求解； （ii）首先确定，，再根据二项分布求分布列和数学期望； （2）首先根据条件确定，再根据条件概率公式，以及对立事件概率公式，化简证明. 【小问1详解】 （ⅰ）设“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是甲车间生产”，“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是乙车间生产”，“从混合放在一起的零件中随机抽取一件是合格品”， 由条件可知，，，，， ， 得， 所以乙车间加工零件的达标率为； （ⅱ），，， ，， ， 分布列如下， 0 1 2 3 期望 【小问2详解】 由，即，则， 所以， 得， ， 所以， 所以， 即， 所以， 得，即， 所以， 所以，得证. 18. 已知抛物线的准线为，点到的距离为3.过点作两条直线， 其中斜率为 的直线与交于、两点，斜率为 的直线与交于、两点，其中点均在第四象限. （1）求抛物线的方程; （2）若，证明: ; （3）若直线经过点，证明直线经过定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的准线方程，利用点到直线距离求出即可. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式及韦达定理求出，进而求出即可. （3）设，由直线过点得，由直线过点得，再探求出的关系即可推理得证. 【小问1详解】 抛物线的准线为，由点到的距离为3， 得，解得，所以抛物线的方程. 【小问2详解】 依题意，令，由，得，设， 直线的方程为，直线的方程为， 由消去得，则， ，同理得， 所以. 【小问3详解】 直线的斜率，方程为， 整理得，而直线过点，则， 设，同理得直线的方程，而直线过点， 因此，由，得， 则，直线的方程， 即，整理得， 所以直线经过定点. 19. 已知函数，，. （1）讨论的单调性; （2）若与有相同的最小值，求实数的值; （3）设是的两个不同的极值点，判断与的大小，并证明你的结论. 【答案】（1）当时，是增函数；当时，单调在上单调递减；在上单调递增. （2）. （3） ，证明如下： 函数的定义域为. . 设是的两个不同的极值点，则是方程，即的两个不同实根. 即，所以. 令，则. 令，则. 令，则. 因为，所以恒成立，所以为增函数. 所以，即，所以为增函数，所以. 因为，所以，即. 即. 【解析】 【分析】（1）利用导数，通过讨论的取值范围，分析导函数的正负，即可得函数的单调性； （2）通过讨论的取值范围，分别求得与的最小值，得方程以，即，令，通过分析的单调性，得有唯一零点，从而求得； （3）由是的两个不同的极值点，得是方程，即的两个不同实根.由，得,令，则.通过构造函数，并分析函数的单调性，可得其取值情况，从而判断与的大小关系. 【小问1详解】 函数的定义域为. . 因为恒成立，所以当时，恒成立，是增函数； 当时，令，得. 因为是增函数，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，是增函数； 当时，在上单调递减；在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）得，当时，是增函数，无最小值； 当时，单调在上单调递减；在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为. ，定义域为. . 当时，恒成立，是减函数，无最小值； 当时，令，得. 因为是增函数，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 因为与有相同的最小值，所以，即. 令，则. 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得最大值，最大值为. 所以是减函数. 因为，所以方程有唯一实数根. 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北昌黎第一中学2025-2026学年高三年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， 则（ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，，则“”是“复数 是纯虚数”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知为第三象限角， 若， 则（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是奇函数，若，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线被圆截得的弦长为，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，若， 则（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 为定值 10. 在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论正确的有（ ） A B. C. 为等腰三角形 D. 的周长是 11. 在正三棱锥中，，分别为的中点，，点在底面上的投影为，在侧面内的投影为，则（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为 C. 为的四等分点 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则与的夹角为_____ 13. 已知直线与函数的图象相切，且它们仅有一个公共点，则直线的方程为_____ 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上且位于第二象限内， 的面积为，过原点且平行于的直线与和的角平分线分别交于点，且 ，则双曲线的离心率为_____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15 已知数列满足，，. （1）求数列的通项公式; （2）证明:对，. 16. 图，已知四棱台底面为正方形，平面，，为的中点. （1）证明:平面; （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求棱的长度. 17. 某厂欲将一些零件交给该厂甲、乙两个车间加工，据以往统计发现，甲车间加工零件的达标率为90%. （1）现将甲、乙两车间加工的该种零件按 的比例混合在一起，从混合放在一起的零件中，随机抽取一件，该零件达标的概率为80%. （i）求乙车间加工零件的达标率； （ii）若从混合放在一起的零件中，随机抽取3个，记这3个零件中达标的个数为，求的分布列和期望； （2）乙车间为了争取更多的加工量，着重提高了加工该种零件的达标率，已知在乙车间提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为，在乙车间不提高加工达标率的条件下，该厂给乙车间增加加工量的概率为.设事件“乙车间提高了加工该种零件的达标率”，“该厂给乙车间增加加工量”，若，，，证明： 18. 已知抛物线的准线为，点到的距离为3.过点作两条直线， 其中斜率为 的直线与交于、两点，斜率为 的直线与交于、两点，其中点均在第四象限. （1）求抛物线的方程; （2）若，证明: ; （3）若直线经过点，证明直线经过定点，并求出该定点坐标 19. 已知函数，，. （1）讨论的单调性; （2）若与有相同的最小值，求实数的值; （3）设是的两个不同的极值点，判断与的大小，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $