第03讲 一元二次方程的应用（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版新教材）

本讲义聚焦一元二次方程的应用，系统覆盖变化率、传染与枝干问题、单循环和双循环问题、销售利润问题、几何面积问题、动点与几何问题六大考点，构建从基础模型到综合应用的学习支架。 资料以知识点讲解为基础，搭配典例与变式题，结合旅游、贸易、销售等生活情境，培养学生抽象能力、模型意识和应用意识。课中辅助教师突破找等量关系等难点，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升问题解决能力。

第03讲 一元二次方程的应用 考点1：一元二次方程应用-变化率 考点2：一元二次方程应用-传染，枝干问题 考点3：一元二次方程应用-单循环和双循环问题 考点4：一元二次方程应用-销售利润问题 考点5：一元二次方程应用-几何面积 考点6：一元二次方程应用-动点与几何问题 重点： （1）能根据题意，正确列出一元二次方程 （2）会解一元二次方程（直接开方、配方法、公式法、因式分解） （3）检验解是否符合实际意义（长度、时间、人数不能为负、小数要合理） 难点： （1）找等量关系 （2）单位统一、题意理解 （3）舍去不合题意的根 （4）常见题型不会套模型 知识点1：变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 【题型1：一元二次方程应用-变化率】 【典例1】随着旅游旺季的到来，我县某景区旅客人数逐月增加，二月份游客人数为万人，四月份游客人数为万人． (1)求三、四两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)随着“五一黄金周”的到来，预计五月份该景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的倍．按照估计该景区五月份接待游客人数将达到多少万人？ 【答案】(1) (2)按照估计该景区五月份接待游客人数将达到万人 【分析】本题考查了一元二次方程与实际问题，关键是找到恰当的相等关系列方程； （1）根据列方程即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解得：；（负值，不合题意，舍去）， 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）由（1）可知：五月份月增长率应为， 那么五月份接待游客为（万）， 答：按照估计该景区五月份接待游客人数将达到万人． 【变式1】假设我省自由贸易港于年月日正式封关运行．封关后，预计贸易额会快速增长．据统计，封关当年（年）贸易额为亿元，两年后（年月日）贸易额会达到亿元． (1)求这两年贸易额的年平均增长率； (2)若按增长率保持不变，请计算到年月日我省的贸易额将达到多少亿元？ 【答案】(1) (2)亿元 【分析】本题考查了一元二次方程中增长率的知识，解题的关键是熟练掌握增长后的量增长前的量（增长率）． （1）设这两年贸易额的年平均增长率，增长后的量增长前的量（增长率），列出方程，解方程即可得到答案； （2）由两年后（年月日）贸易额会达到亿元乘以即可得到答案． 【详解】（1）解：设这两年贸易额的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：这两年贸易额的年平均增长率为； （2）解：∵到贸易额的年增长率保持不变， ∴亿元， 答：到年月日我省的贸易额将达到亿元； 【变式2】前年生产药品的成本是4000元，随着生产技术进步，今年生产药品成本是2560元． (1)求该药品成本的年平均下降率； (2)按照这个年平均下降率，预计明年生产该药品的成本是多少元？ 【答案】(1)药品的年平均下降率为 (2)预计明年生产药品的成本是2048元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设药品的年平均下降率为，直接根据增长率公式列方程求解即可； （2）用今年成本乘以即可． 【详解】（1）解：设药品的年平均下降率为， ， 解得，（舍）， 答：药品的年平均下降率为； （2）解：（元）， 答：预计明年生产药品的成本是2048元． 【变式3】为落实新课程教学要求，提高学生科学素养，我市某中学2023年投资20万元新增一批电脑，计划以后两年以相同的增长率进行投资，2025年投资万元． (1)求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； (2)从2023年到2025年，该学校三年为新增电脑共投资多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． （1）设年平均增长率为，根据投资金额列出方程求解即可； （2）根据增长率求出2024年的投资金额，然后求出总和即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为，根据题意得， ， 解得（不合题意，舍去）， ∴该学校为新增电脑投资的年平均增长率为； （2）解：2024年投资为（万元）， （万元）， ∴该学校三年为新增电脑共投资万元． 知识点2：传染，枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【题型2：一元二次方程应用-传染问题】 【典例2】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【答案】(1)平均一个人传染了7人 (2)经过三轮传染后，患流感人数不能突破600 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有64人患病，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出算式求出三轮传染后的总人数，进行判断即可． 【详解】（1）解：设平均一个人传染了人， 则． 解得，（舍去）． 答：平均一个人传染了7人． （2）经过三轮传染后，患流感人数为， ． 答：经过三轮传染后，患流感人数不能突破600人． 【变式1】某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 【变式2】某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染． (1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？ 【答案】(1)每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑 (2)三轮传播后，被感染的电脑共有3456台 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是本题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有，再解方程求出满足条件的x的值即可； （2）将代入中计算即可． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 根据题意得：，即， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑； （2）解：由题意可知，， 由（1）知， 则（台）， 答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台． 【变式3】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？ (2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均个人传染了个人 (2)第三轮传染后共有人患流感 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解答时根据两轮传染后共有121人建立方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，一轮后就有人传染，第二轮就应该传染人，将两轮的总人数加起来建立方程求解即可． （2）根据（1）中求出一个人传染到第三轮时，共患流感人数，再翻倍即为两个人患流感到第三轮时，共患流感人． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每人传染了人， 根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． （2）解：有一个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人）， 当两个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人）， 答：第三轮传染后共有人患流感． 【题型3：一元二次方程应用-枝干问题】 【典例3】小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【答案】小华邀请了10名同学转发 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传播规则，结合经过两轮转发后共有111个人参与了小华创意作品的转发活动，即可得出关于x的一元二次方程求解． 【详解】解：设小华邀请了x名同学转发， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小华邀请了10名同学转发． 【变式1】某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 【答案】这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 【变式2】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【变式3】化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 知识点3：握手比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【题型4：一元二次方程应用-单循环问题】 【典例4】2022年是广东省男子篮球联赛举办的第8年，常规赛将采用分区分组巡回赛制（每两队之间进行一场比赛），某小组共进行了10场比赛，问该小组有多少支球队参赛？ 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据等量关系列出一元二次方程． 设该小组有n支球队，根据每两队之间进行一场比赛，可知共比赛了场，由此列一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该小组有n支球队参赛 每两队之间进行一场比赛，则比赛总场数为 根据题意， 两边同时乘以2，得 即 因式分解，得 解得或（舍去） ∴该小组有5支球队参赛． 【变式1】某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，求共有多少个队参加？ 【答案】共有8个队参赛 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有x个队参赛，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【详解】解：设共有x个队参赛，则 解得：（舍去）． 答：共有8个队参赛． 【变式2】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次，若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数． 【答案】参加聚会的人数是8人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设有x个人参加聚会， 根据题意可得：， 所以， 解得，（不合题意舍去）， 所以参加聚会的人数是8人． 【变式3】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？ 【答案】参加第一轮比赛的共有15名选手 【分析】设参加第一轮比赛的共有名选手，根据“每位棋手与棋手比赛一盘制，第一轮比赛共下了105场”，列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设参加第一轮比赛的共有名选手， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 参加第一轮比赛的共有15名选手． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【题型5：一元二次方程应用-双循环问题】 【典例5】某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛? 【答案】11支 【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数队的个数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设有支球队参加比赛． 由题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， ∴有11支球队参加比赛． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键． 【变式1】某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？ 【答案】全班有名同学 【分析】设全班有x名学生，根据全班共送了张相片得：，解方程可得答案． 【详解】解：设此班有x名同学， 则， 解得:， (舍去)， 答：此班有名同学． 【点睛】本题一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 【变式2】手工制作小组有若干人，他们将自己制作的手工艺品向本组成员各赠送一件，已知全组共互赠手工艺品件，求该小组有多少位同学？ 【答案】该小组有名同学 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 先求每名同学赠的手工艺品，再求名同学赠的手工艺品，而已知全组共互赠了件，故根据等量关系可得到方程． 【详解】解：设该小组有名同学， 则每名同学所赠的手工艺品为：件， 那么名同学共赠：件， 所以，． 解得：不合题意舍去，， 答：该小组有名同学． 【变式3】目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 【答案】这条线路共有8个站点． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票， 根据题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：这条线路共有8个站点． 知识点4：销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 【题型6：一元二次方程应用-销售利润问题】 【典例6】某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少5件．设销售价格上涨元/件，每天的销售量为件． (1)请写出与的函数关系式． (2)商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？ 【答案】(1) (2)6元或10元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式和一元二次方程． （1）根据销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少5件，可列出y与x的函数关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得． （2）解：由题意得， 即， 解得． 答：每件涨价元或元，商场每天销售该商品的利润为3900元． 【变式1】浑源黄芪，又称正北芪．早在清朝，就以名贵特产进贡于朝廷．它是国内绿色保健品种的佳品，也是我国外贸出口的名贵药材．某药材公司以20元/千克的价格收购一批浑源黄芪进行销售，日销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）之间满足一次函数的关系，经过市场调查获得部分数据如下表． 销售价格（元/千克） 20 25 30 35 40 日销售量千克 600 450 300 150 0 (1)根据表中的数据，求与的函数表达式． (2)该药材公司应该如何确定这批浑源黄芪的销售价格，才能使日销售利润恰好为3000元？ 【答案】(1) (2)30元/千克 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用、一元二次方程的实际应用，理解题目表格中的数据之间的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据利润单件利润销售量得到，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为． 将，代入， 得，解得， 与的函数表达式为； （2）解：由题意，得， 即， 整理得， 即， 解得． 答：这批浑源黄芪的销售价格定为30元/千克，才能使日销售利润恰好为3000元． 【变式2】景区里一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元．根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售杯．年春节期间，店家决定进行降价促销活动，请帮店家完成下列问题： (1)当每杯售价降低5元时，每杯奶茶的利润是________元； (2)①当每杯奶茶售价降低元时，每杯奶茶的利润是________元，平均每天的销售量是________杯，平均每天的利润额是________元；（请用含的最简式子表示） ②当每杯奶茶售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额？ 【答案】(1)14 (2)①；；；②当每杯奶茶售价定为元时，满足题意 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）当每杯售价降低5元时，每杯奶茶的利润是售价减去成本价； （2）①根据题意列出含x的代数式，②根据题意列出关于x的一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为：． （2）解：依题意得①当每杯奶茶售价降低元时，每杯奶茶的利润是元； 平均每天的销售量是杯； 平均每天的利润额是： 元． 故答案为：；；； ②令， 整理，得， 解得或． 为使顾客获得最大优惠， 选， (元)． 当每杯奶茶售价定为元时，满足题意． 【变式3】据统计，年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强，年“五一”假期接待游客量达约万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为元时可全部住满；每间客房每天定价每增加元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用． (1)求年“五一”到年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率； (2)为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率为，根据年“五一”到年“五一”假期的游客人数，列出一元二次方程，解之取正值即可； （2）设房价定为元时，根据宾馆当天的利润为元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为，依题意有，       解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）设房价定为元时，店家才能实现每天利润元，依题意有： ，          解得，，           住宿单价需尽可能低， ， ， 答：房价应该定为元时，民宿当天的利润为元． 知识点5：几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【题型7：一元二次方程应用-几何面积】 【典例7】如图，在足够大的空地上有一段长为30米的旧墙，小乐同学想利用旧墙和铁围栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了40米铁围栏． (1)设花园的一边长为x米，请用含x的代数式表示另一边的长； (2)若所围成的矩形花园的面积为128米2，求所利用旧墙的长． 【答案】(1)的长为米； (2)所利用旧墙的长为8米． 【分析】本题考查用代数式表示数量关系、一元二次方程的应用，掌握等量关系式的表示方法及一元二次方程的解法是解题关键． （1）根据矩形花园，可知，再根据另三边一共用了40米铁围栏，可知，代入即可得答案； （2）根据已知条件及矩形的面积，代入可得关于的一元二次方程，然后，解方程，最后根据实际情况依次判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形花园， ∴． ∵矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了40米铁围栏，设花园的一边长为x米， ∴ 米， 即米； （2）解：根据题意，得，       解得．       当时， ，（不合题意，舍去） 当时， ．（符合题意） ∴所利用旧墙的长为8米． 【变式1】如图，某儿童乐园的场地是长、宽分别为、的矩形（阴影部分）．现将该儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将原场地的长、宽增加相同的长度后形成一个新矩形场地，若扩充后的新矩形场地面积为，求新矩形场地的长与宽． 【答案】新矩形场地的长为，宽为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用（矩形面积问题），熟练掌握根据矩形面积公式建立方程并检验解的合理性是解题的关键．设长和宽增加的相同长度为，根据矩形面积公式：面积长宽，建立一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根，即可得到新矩形的长和宽． 【详解】解：设长和宽增加的相同长度为，则长为，宽为，由题意得 ， ， 解得，（长度不能为负，舍去）， 新矩形的长， 新矩形的宽， 答：新矩形场地的长为，宽为． 【变式2】如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 【答案】(1)米和米或米和米 (2)米和米 【分析】本题考查一元二次方程的应用，不等式的应用， （1）设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米，再根据“总面积为平方米”得到关于的一元二次方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； （2）根据题意列出方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； 正确理解题意，列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， 当时，（米）； 当时，（米）； ∴和各为米和米或米和米； （2）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， ∴， 此时，（米）， ∴和各为米和米． 【变式3】如图，现利用一面长度为的墙围，以及长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在边上开了一个宽度为的小门． (1)设米，则___________米． (2)间能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出该矩形菜园的长与宽；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)当长为，宽为时，可以围出一个面积为的矩形菜园． 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的应用，表示出矩形的长与宽是解题关键． （1）设为米，根据图形求解即可； （2）根据“面积为”列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：设为米， ∵篱笆长，小门宽， ∴； （2）解：当长为，宽为时，可以围出一个面积为的矩形菜园． 理由如下： 由题意，得： 解得，， 当，（舍去）， 当，， 答：当长为，宽为时，可以围出一个面积为的矩形菜园． 知识点6：动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【题型8：一元二次方程应用-动点与几何问题】 【典例8】如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)出发秒或秒后，的面积为 (2)出发秒或秒后，线段的长为 (3)的面积不能为，见解析 【分析】本题考查了直角三角形的面积，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键． （1）设运动时间为秒时，则，．根据的面积为，列方程解答即可． （2）设运动时间为秒时，则，．根据勾股定理，列方程解答即可． （3）根据三角形的面积，构造一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实数根；若有，则可能；若没有，则不能． 【详解】（1）解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，的面积为． （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，线段的长为． （3）解：假设能，根据题意得：， 整理，得：， ， 该方程无解， 假设不成立，即的面积不能为． 【变式1】如图，在矩形中，，，点从点出发沿边向终点以的速度移动；同时，点从点出发沿边向终点以的速度移动． (1)几秒时的长等于； (2)几秒时的面积等于． 【答案】(1)5秒或7秒 (2)2秒或4秒或秒 【分析】本题考查了矩形中的动点问题，矩形的性质和一元二次方程的几何应用问题，需分类讨论是解题的关键． （1）分点在边上和点在边上这两种情况，列出一元一次方程求解即可； （2）分点在边上和点在边上这两种情况，分别表示出的面积求解即可． 【详解】（1）解：设点的运动时间为， 当点在边上时，， 当时，即，解得． 当点在边上时，， 当时，即，解得． 综上所述，5秒或7秒时的长等于． （2）设点的运动时间为， 当点在边上时，，，，， ∵， ∴， 化简得：， 解得，． 当点Q在边上时， ， 解得． 综上所述，2秒或4秒或秒时的面积等于． 【变式2】如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒 (1)用含t的代数式表示：______ ，______ ； (2)当t为何值时，的面积为？ (3)是否存在某一时刻t，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)秒 (3)存在， 【分析】本题考查了列代数式，动态几何问题(一元二次方程的应用)，根据矩形的性质求面积，解题关键是正确列出一元二次方程． (1)利用的长的长-点P的运动速度运动时间，可用含t的代数式表示出的长，利用的长=点Q的运动速度运动时间，即可用含t的代数式表示出的长； (2)根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； (3)存在，根据的面积等于矩形面积的，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， 故答案为：，； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：当t为秒时，的面积为； （3）存在，根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：存在某一时刻t，使得的面积等于矩形面积的，此时t的值为． 【变式3】如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度均为，当点到达点时，同时停止运动，设运动时间为． (1)当时，求的值； (2)当的面积为时，求的值． 【答案】(1) (2)9或12 【分析】本题主要考查了三角形中的动点问题，等角对等边，列方程解决几何问题，解题的关键是理解题意，掌握以上性质． （1）根据点的速度和时间，表示出相关线段的长度，根据等角对等边列出一元一次方程求解即可； （2）根据三角形的面积列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：； （2）解：∵ 解得：， ∴t的值为9或12． 1．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为平方步，长比宽多步，问宽和长各几步？设宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意正确表示出长和宽，再利用面积公式列方程；设宽为步，则长为步，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设宽为步，则长为步， 根据矩形面积公式可列方程： ， 故选C． 2．镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶元降至每瓶元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 设每次降价的百分率为，根据经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率)，即可得出关于的一元二次方程， 【详解】解：设每次降价的百分率为， ∴第一次降价后售价为元，第二次降价后售价为元， ∵最终售价为元， ∴， 故选：C． 3．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，找到“等量关系”列方程是解决问题的关键． 第一轮传播了个人，第二轮传播了个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得，（舍去），， 的值是， 故选：C． 4．我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设个位数字为，根据题意列方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为， 根据题意可得． 故选：A． 5．某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据利润公式：利润（售价进价）销量，结合降价后售价为元和销量千克，列出方程，即可作答． 【详解】解：∵售价每千克降低x元， ∴实际售价为元，每千克利润为元，每天销量为千克， 依题意，， 即， 故选：A． 6．元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡156张，设小组人数为人，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小组人数为人，根据每个人都要给其他人赠送一张贺卡建立方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 7．2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 【答案】13个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设共有x个球队参加比赛，则可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设共有x个球队参加比赛． ．    整理得：． 解得： （不合题意，舍去）     答：共有13个球队参加比赛． 8．某超市销售一款大葱礼盒，平均每天可售出盒，每盒盈利元．为了提升销量、增加盈利，超市决定适当降价，经测算发现，每盒礼盒每降低元，平均每天可多售出盒． (1)若每盒礼盒降价元时，平均每天可售出多少盒礼盒？此时每天销售获利多少元？ (2)在每盒盈利不少于元的前提下，要使该礼盒每天销售获利元，问每盒礼盒应降价多少元？ 【答案】(1) 平均每天可售出盒礼盒，此时每天销售获利元； (2) 每盒礼盒应降价元． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解题关键是根据“销量单件利润总利润”列出一元二次方程． （1）根据所给数量关系求出平均每天的销量，再乘以每件的利润即可得出每天的利润； （2）根据“销量单件利润总利润”列出一元二次方程，再根据每件盈利不少于元对求出的根进行取舍即可． 【详解】（1）解：每盒礼盒每降低元，平均每天可多售出盒， 每盒礼盒降价元时，平均每天可多售出盒， 每天获利元， 故每盒礼盒降价元时，平均每天可售出盒礼盒，此时每天销售获利元； （2）解：设每盒礼盒应降价元，则平均每天可多售出盒， 由题意得， 整理得， 解得， 当每盒礼盒降价元时，每盒盈利元，，符合题意， 故每盒礼盒应降价元． 9．如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，已知墙的长度足够长，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．若苗圃园的面积为，求x的值． 【答案】15 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：已知这个苗圃园垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为． 根据题意，得，解得， 故x的值为15 10．2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低20元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设月平均增长率是x，结合数量关系列式求解即可； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是x， 根据题意得：， 解：，（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率是； （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，每天的销售量为（件）， 当时，每天的销售量为（件）， ∵， ∴售价应降低20元， 答：售价应降低20元． 11．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元二次方程的应用 考点1：一元二次方程应用-变化率 考点2：一元二次方程应用-传染，枝干问题 考点3：一元二次方程应用-单循环和双循环问题 考点4：一元二次方程应用-销售利润问题 考点5：一元二次方程应用-几何面积 考点6：一元二次方程应用-动点与几何问题 重点： （1）能根据题意，正确列出一元二次方程 （2）会解一元二次方程（直接开方、配方法、公式法、因式分解） （3）检验解是否符合实际意义（长度、时间、人数不能为负、小数要合理） 难点： （1）找等量关系 （2）单位统一、题意理解 （3）舍去不合题意的根 （4）常见题型不会套模型 知识点1：变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 【题型1：一元二次方程应用-变化率】 【典例1】随着旅游旺季的到来，我县某景区旅客人数逐月增加，二月份游客人数为万人，四月份游客人数为万人． (1)求三、四两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)随着“五一黄金周”的到来，预计五月份该景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的倍．按照估计该景区五月份接待游客人数将达到多少万人？ 【变式1】假设我省自由贸易港于年月日正式封关运行．封关后，预计贸易额会快速增长．据统计，封关当年（年）贸易额为亿元，两年后（年月日）贸易额会达到亿元． (1)求这两年贸易额的年平均增长率； (2)若按增长率保持不变，请计算到年月日我省的贸易额将达到多少亿元？ 【变式2】前年生产药品的成本是4000元，随着生产技术进步，今年生产药品成本是2560元． (1)求该药品成本的年平均下降率； (2)按照这个年平均下降率，预计明年生产该药品的成本是多少元？ 【变式3】为落实新课程教学要求，提高学生科学素养，我市某中学2023年投资20万元新增一批电脑，计划以后两年以相同的增长率进行投资，2025年投资万元． (1)求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； (2)从2023年到2025年，该学校三年为新增电脑共投资多少万元？ 知识点2：传染，枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【题型2：一元二次方程应用-传染问题】 【典例2】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【变式1】某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【变式2】某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染． (1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？ 【变式3】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？ (2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？ 【题型3：一元二次方程应用-枝干问题】 【典例3】小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【变式1】某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 【变式2】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【变式3】化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 知识点3：握手比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【题型4：一元二次方程应用-单循环问题】 【典例4】2022年是广东省男子篮球联赛举办的第8年，常规赛将采用分区分组巡回赛制（每两队之间进行一场比赛），某小组共进行了10场比赛，问该小组有多少支球队参赛？ 【变式1】某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，求共有多少个队参加？ 【变式2】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次，若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数． 【变式3】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？ 【题型5：一元二次方程应用-双循环问题】 【典例5】某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛? 【变式1】某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？ 【变式2】手工制作小组有若干人，他们将自己制作的手工艺品向本组成员各赠送一件，已知全组共互赠手工艺品件，求该小组有多少位同学？ 【变式3】目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 知识点4：销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 【题型6：一元二次方程应用-销售利润问题】 【典例6】某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少5件．设销售价格上涨元/件，每天的销售量为件． (1)请写出与的函数关系式． (2)商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？ 【变式1】浑源黄芪，又称正北芪．早在清朝，就以名贵特产进贡于朝廷．它是国内绿色保健品种的佳品，也是我国外贸出口的名贵药材．某药材公司以20元/千克的价格收购一批浑源黄芪进行销售，日销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）之间满足一次函数的关系，经过市场调查获得部分数据如下表． 销售价格（元/千克） 20 25 30 35 40 日销售量千克 600 450 300 150 0 (1)根据表中的数据，求与的函数表达式． (2)该药材公司应该如何确定这批浑源黄芪的销售价格，才能使日销售利润恰好为3000元？ 【变式2】景区里一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元．根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售杯．年春节期间，店家决定进行降价促销活动，请帮店家完成下列问题： (1)当每杯售价降低5元时，每杯奶茶的利润是________元； (2)①当每杯奶茶售价降低元时，每杯奶茶的利润是________元，平均每天的销售量是________杯，平均每天的利润额是________元；（请用含的最简式子表示） ②当每杯奶茶售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额？ 【变式3】据统计，年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强，年“五一”假期接待游客量达约万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为元时可全部住满；每间客房每天定价每增加元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用． (1)求年“五一”到年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率； (2)为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为元？ 知识点5：几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【题型7：一元二次方程应用-几何面积】 【典例7】如图，在足够大的空地上有一段长为30米的旧墙，小乐同学想利用旧墙和铁围栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了40米铁围栏． (1)设花园的一边长为x米，请用含x的代数式表示另一边的长； (2)若所围成的矩形花园的面积为128米2，求所利用旧墙的长． 【变式1】如图，某儿童乐园的场地是长、宽分别为、的矩形（阴影部分）．现将该儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将原场地的长、宽增加相同的长度后形成一个新矩形场地，若扩充后的新矩形场地面积为，求新矩形场地的长与宽． 【变式2】如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 【变式3】如图，现利用一面长度为的墙围，以及长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在边上开了一个宽度为的小门． (1)设米，则___________米． (2)间能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出该矩形菜园的长与宽；若不能，说明理由． 知识点6：动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【题型8：一元二次方程应用-动点与几何问题】 【典例8】如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【变式1】如图，在矩形中，，，点从点出发沿边向终点以的速度移动；同时，点从点出发沿边向终点以的速度移动． (1)几秒时的长等于； (2)几秒时的面积等于． 【变式2】如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒 (1)用含t的代数式表示：______ ，______ ； (2)当t为何值时，的面积为？ (3)是否存在某一时刻t，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度均为，当点到达点时，同时停止运动，设运动时间为． (1)当时，求的值； (2)当的面积为时，求的值． 1．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为平方步，长比宽多步，问宽和长各几步？设宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶元降至每瓶元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则的值是（   ）． A． B． C． D． 4．我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡156张，设小组人数为人，可列方程 ． 7．2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 8．某超市销售一款大葱礼盒，平均每天可售出盒，每盒盈利元．为了提升销量、增加盈利，超市决定适当降价，经测算发现，每盒礼盒每降低元，平均每天可多售出盒． (1)若每盒礼盒降价元时，平均每天可售出多少盒礼盒？此时每天销售获利多少元？ (2)在每盒盈利不少于元的前提下，要使该礼盒每天销售获利元，问每盒礼盒应降价多少元？ 9．如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，已知墙的长度足够长，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．若苗圃园的面积为，求x的值． 10．2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 11．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $