课下巩固检测练(23) 子数列与增减项问题（Word练习）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

[课下巩固检测练(二十三)]　子数列与增减项问题 (每题10分) 1.已知公差不为0的等差数列中，a1＝1，a4是a2和a8的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为Tn，求T20的值. 解：(1)设数列的公差为d， 因为a4是a2和a8的等比中项， 所以＝a2·a8，即＝， 因为a1＝1，所以d＝1或d＝0(舍)， 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，所以通项公式an＝n. (2)由(1)得an＝n，因为ak与ak＋1(k＝1，2，3…)之间插入2k， 所以在数列中有10项来自，10项来自， 所以T20＝1＋21＋2＋22＋…＋10＋210＝×10＋＝2 101. 2.已知数列的前n项和Sn满足3n2－29n－2Sn＝0. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的通项公式为bn＝2n，若由数列与的公共项按从小到大排列得到数列，求数列的前n项和Tn. 解：(1)因为3n2－29n－2Sn＝0，所以Sn＝n2－n. 当n＝1时，a1＝－＝－13； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝3n－16. 当n＝1时满足an＝3n－16，故数列的通项公式为an＝3n－16. (2)设bm＝an，即2m＝3n－16，m，n∈N*. 由bm＝2m，所以bm＋1＝2m＋1＝2·2m＝2＝6n－32＝3－16， 由2n－∉N*，可知bm＋1∉，即bm＋1不是两个数列的公共项， bm＋2＝2m＋2＝22·2m＝4＝12n－64＝3(4n－16)－16， 由4n－16∈N*，可知bm＋2∈，所以bm＋2是两个数列的公共项， 因此，若ck＝bm＝an，则ck＋1＝bm＋2＝a4n－16，所以＝＝＝4，且c1＝2， 所以两数列的公共项所构成的新数列是以2为首项，以4为公比的等比数列， 所以数列的前n项和Tn＝＝. 3.设Sn为数列的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列.令bn＝Tn为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)证明：当n＞3时，Tn＞Sn. 解：(1)由题意得，＝1，＝1＋(n－1)×＝， ∴2Sn＝(n＋1)an　①， 当n≥2时，2Sn－1＝nan－1　②， 由①－②得2an＝(n＋1)an－nan－1，即＝(n≥2)， ∴···…·＝···…·，∴＝n，∴an＝n(n≥2). 又n＝1时，a1＝1满足an＝n，∴an＝n. (2)证明：由an＝n得bn＝Sn＝. ①当n为偶数时，Tn＝×(－1)＋×2＋×6＋×6＝， 此时，Tn－Sn＝－＝＞0，故Tn＞Sn， ②当n为奇数时(n＞3)，Tn＝Tn－1＋bn＝＋n－2＝， ∴Tn－Sn＝＝＞0， 综上，当n＞3时，Tn＞Sn. 4.已知数列的前n项和为Sn，且n，an，Sn成等差数列. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记bn＝2log2(1＋an)－1，若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求c1＋c2＋…＋c100的值. 解：(1)由n，an，Sn构成等差数列，得2an＝n＋Sn，所以2an－1＝n－1＋Sn－1(n≥2)，两式相减得an＋1＝2an－2an－1， 所以an＋1＝2(n≥2)，又当n＝1时，S1＋1＝2a1，所以a1＝1；当n＝2时，2a2＝2＋a1＋a2，解得a2＝3， 满足a2＋1＝2，所以是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1. (2)由(1)可知bn＝2log2(1＋an)－1＝2n－1，所以b1＝1，bn＋1－bn＝2，故是以1为首项，2为公差的等差数列， 又因为a1＝b1＝1，a2＝b2＝3，a3＝b4＝7，a4＝b8＝15，a5＝b16＝31，a6＝b32＝63，a7＝b64＝127，a8＝b128＝255，b107＝213， 令c1＋c2＋…＋c100＝M，则M＝－， 即M＝－[(21＋22＋…＋27)－7]＝－＋7＝1072－28＋9＝11 202. 学科网（北京）股份有限公司 $