四川省成都市航天中学校2025-2026学年高一下学期数学暑假作业：三角函数单元测试（一）

**基本信息** 以“概念辨析-性质应用-图像变换-综合拓展”为主线，融合多解法对比与数学文化，系统构建三角函数知识网络与解题方法体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|终边相同角表示、充要条件判断、三角函数定义应用|从角的概念到函数定义，构建三角函数基础认知链| |性质应用|5题|同角关系转化、三角恒等变换、最值分析|结合函数性质与代数变形，形成“条件→公式→结论”推理路径| |图像变换|2题|平移伸缩变换、图像性质分析|通过图像变换规律，建立解析式与图像特征的对应关系| |综合拓展|2题|解三角形、泰勒公式应用|关联三角知识与实际问题，体现数学建模与逻辑推理素养|

2025-2026年高一暑假专题练习三角函数单元测试 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 9元 1.下列与角4的终边相同的角的表达式中正确的是() A.2+45《e2B.k360+年ke)C.k-360-315e2D. a+证keZ到 2.设甲：sin2a+sin2B=1」 sina+cos B=0 ,乙： ,则() A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3.已知函数 )=026+3(a>0且a1)的图象经过定点A,且点A在角0的终边上， sin0-cos 则sin0+cos9=() B.0 C.7 na++cou+)=25coa+日}nA 4.若 ,则() A.tan(a-B)=1 B.tan(a+B)=1 C.tan(a-B)=-1 D.tan(c+B)=-1 5.若π<a<3 1-sina 1+sina ,则V1+sina V1-sina的化简结果是() 2 2 2 2 A.tand tana C. D sina cosa 6.函数f)=Asin(@x+4>0,0>0水孕的部分图像如图所 示，现将函数f()的图像向左平移6个单位长度，再将图像上所 7π 12 有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()的 图像，则(x)的表达式可以为() A.gy)=2sinx+） B.8)=2cox-3 C.86)=2sm5+g .1 6 D.80=2os5r-7 1 7.若 0ca60cAsa+AmA是wa 472 89 6 33√2 A.130 B.130 C.65 D.65 &若孟数=or-青引o>0动上无摄小值，则o的取在范H为() a(到 511 5117 D.(66 二、多选题 9.若2sina+cosa=5 ,则() A.tana=2 B.ang=5+1 22 C.2sina-cosa=5 D. sin2a=4 10.已知函数 )2sin(r+o)o网 2的图象过点A(0,1)和B(x,-2)x>0),则 () A.p=π 6 B.当x∈[0，时，f(x)的值域，2] 4 C.AB的最小值为3 D.函数y=x-(x)有三个零点 已知函数f四)=sincosxx22]有以下结论，则说法正确的 「3π5π A.f(x)的图象关于直线y轴对称 B.f(x)在区间4’4」上单调递减 ,)的一个对称中心是0 D.f(x)的最大值为2 三、填空题 12.已知2，B都是锐角，cosa=号 cos(C+)三-14，则B 13.已知函数f(x)=cos2x向右平移2个单位长度后得到8(x).若对于任意的 「ππ xe-3'6], 总存在∈[m,n川]，使得f(G)=8(:),则m-川的最小值为一 -x2-2x+3,x≤1， x<<<x<x<3' 3张eR,使得)=f()=fs)=f)=f:)=k」 能成立，则+++的取 值范围是 四、解答题 sin(-x)cos()tan(x) 2 15.已知f(x)= cos(3π-x)sin(π+x) sina+2cosa (1)化简函数f(x): ()②若f(a)=3,求2sina-cosa和sinacosa的值. 2 410, se+例-是。 (1)求cos2a的值： (2)求cosB的值. 17.已知函 /0=2如r-孕cs+ 2 1)xe0,时，求f的值域； ②若a5,ae(5 gg刊，求sin2a的值： 3)设8)=5f5x +及)+/x-令，求g树在0孕上的最值 5 81 18.已知函数 =m2x- 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C. (1)求 石的值，并求数了四的对称中心坐标 个 x∈0， (2)将y=f()的图象向右平移6个单位得到函数8()，若对任意 都有 8()≤g(A恒成立，且4为△1BC的内角，求角4， (3)在(2)的条件下，a=4,设点H在锐角△ABC所在平面内，且满足 函丽=丽欣-C丽，求△BC 面积的取值范围· 19.英国数学家泰勒发现了如下公式： sinx=x x3 x5 x7 3引517+… COSX=1 2!461+… 其中n!=1×2×3×…×n, 这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如， 用前三项计算cos03:就得到60s031-03°，03 2！4！ =0.9553375.利用这些公式也可以得 到：nr<x'sinx>r- 3 cosx>1 21，sinx<x +51,cos<1 x23x3 2+41… (1)试用上述公式计算sinl的值（精确到0.001）； x∈0，- sinx、l (2)证明：当 2时， x>2: (3)设f(x)=Asin x,当f(x)的定义域为[m,m时，值域也为[m,m,则称[m,n]为f(x)的 “和谐区间”.当A=-2时，f(x)是否存在“和谐区间”？若存在，求出(x)的所有 “和谐区间”，若不存在，请说明理由. 参考答案 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 答案 B D D ⊙ A B ACD AD 题号 11 答案BD 1.c 【详解】易知角度制与弧度制在同一个式子当中不能混用，即AB错误； 又平与4终边位置相同，可表示为2x+ke2), k360°+45(k∈Z) .360°-315°(k∈Z 也可表示 还可以表示为 ,即C正确，D错误 故选：C 2.B 【详解】当5im'a+snp=1时，例如a=受，B=0但5nc+esB≠0， sin2a+sin2B=1 即 推不出sina+cosB=0 sina+cos B=0 sin2a+sin2B=(-cos B)2+sin2B=1 当 时， sin a+cos B=0 sin2a+sin2B=1 即 能推出 综上可知，甲是乙的必要不充分条件 故选：B 3.D 【详解】对于函数)=。心+3(0>0且a1),当x=3时，y=4,即1（很4）， 因为点A在角8的终边上， 所以m0- sin0-cos0 4 -1 sin0-cos0 cos tan0-1_3 1 于是sin0+cos0sin0+cos0 tan+1 4 cos0 317, 故选：D 4.C 【详解】[方法一]：直接法 sin a cos B+cosasin B+cosa cos B-sinasin B=2(cosa-sina)sin B 由已知得： sina cosB-cosasin B+cosa cos B+sinasin B=0 sin(a-β)+cos(a-B)=0 即： 所以a(a-P)=-1 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法-设B-0则sina+cosa=0,取a=-元 4,排除A,B: 再取=D期sm邮tcos-2np,取B子，排除D,进C [方法三]：三角恒等变换 sina+)+cosa+=sin(a+A+孕-2sina+经+月] 4 =2sin(a+)cosB+2cos(a+)sin B=22cos(a+)sin B 4 4 所以V2sin(a+平)cosB=2cos(a+)simE sin(a+等cos月-cos(a+年sinB-0即sim(a+年-m=0 .sin(a-B+)-sin(a-B)cos+cos(a-B)sin 42 sin(a-B)+2 -cos(a-B)=0 4 4 ∴.sin(a-B)=-cos(a-B)即tan(a-B)=1, 故选：C 5.D 1-sina 1+sina (（1-sina)2 (1+sina)月 【详解】 \1+sina 1-sina (1+sina)(1-sina) V(1-sina)(1+sina) _1-sina,1+sinal cosa cosa, 由于元<a<3 ,所以cosa<0,1+sina>0,1-sina>0,故 1-sina 1+sina 1-sina 1+sina 2 cosa cosa cosa cosa cosa, 故选：D 6.B 【详解】由图像可知：A=2:0=2s如6-1，又州<至，所以=一名：由 -0.可0沿后e ,解得=号 .2 7 7,又 224即20位年日，解得号<0<1。 T7π3T12π7π32π 12 K7,故k=1,0=2:即 f0)=2sn2x-名，将高数的图像向左平移名个单位长度得 -2m2x+8)22r+ , 再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得 8=2mr+}-2smr号+引}2ox引 故选：B. 7.A 【详解】由0<a<号，0<B<受，得0<a+P<:, 由asa+)=}得ma+月- 4 四ma=[a+-到到ma例ee+p- 方a+m-(--a小c0-孕ma+ma-孕-品 ma+m0-a+na争-mu月mB争然， aam[e+(ane-(a-】- 8.B 【1当子之时，在取)上第次使得-号引- π3π 11π ，解得6w, 与号智时在0树上第次使用如引9 5π 2,解得=30， <元≤ 5 11 当30 6o时，函数f(x)在[0，)上无最小值，解得3<0≤ 6 511 所以ω的取值范围为3’6。 9.ACD 【详解】由2sina+cosa=5可得 4sina+cos+4sina cos5, sin2a+cos2a 4tan'a+1+4tand=5 进而可得 tan'a+1 ,所以tan2a-4tana+4=0,故tana=2,A正确， 于tana=2,故sina=2cosa,结合2sina+cosa=√5，因此sina=2V5, 5, 2sina-cosa 3V5 因此 5,C正确， 4 sin2a=2 sina cosa=」 5,D正确， 2二1 2sin2a 2 tan _1-cosa5-V5V5-1 2 cos 2cos sin sina252,B错误. 2 2 10.AD 【详解】因为函数 =3ae+pf引的条过点40得2me-1母府 sn印=分小行所以9-名，A运顶正确： m散-2m+8,eax （的图象tk2万得a看引- 函数 ,+5-3亚+2m,keZ,=4+2k,kZ, 4 62 3 当*=os)-号 +0-9f- 3,C选项错误： 函数y=x-()的零点个数可以转化为 =xy=f(x)=2sin 6的交点个数， (x) y=x 如图两个函数有三个交点可得函数'=x-(闪有三个零点，D选顶正确 故选：AD 11.BD 【详解】当22时， f(x)=sinxcosx=sin xcosx=sin 2x π3π 当22时， f(x)=sinxcosx=-sinxcosx=- -sin 2x 作出函数 f(x) 的图象如图： 元 3π 则函数关于y轴不对称，故A错误， 3π 「3π 区间2 兀， 门的中点坐标为4，区间”2的中点坐标为4， 3π5π 则(x)在区间4’4上单调递减，故B正确， 由图象知f()关于x=2对称，故C错误， ππ 当引时，2x[同，当2-时，f)取得提大. 在生关于，热传.a大，数D 故选：BD 12.360 π 【详解】a、B为锐角，0<a+B<π cosa=1 cos(a+)=-11 7 14 -43 .'sina =v1-cos2 a 7,sin(a+B)-1-cos (a+B)-53 ∴.cosB=cos[(a+B)-a] =ma+sse+me+ma-th号5-号 由于B为锐角，B= 故答案为：3 18号 【详解】函数∫(x)=cos2x向右平移12个单位长度后得到1 因为对于任意的 总存在∈[m,”],使得f(:)=g(:),所以(：)的取值范围应包含 [ 根据余弦函数的性质，为使m-川取最小值，只需函数8()在x∈[m,川]上单调且 由2kx-≤2x-石≤2kx低eZ)可得：-年≤x≤ka+号ke2),因此m-小的最小值为 3 6 后 故答案为：3 14.(5,3+22) -x2-2x+3,x≤1， 【详解】函数f()=n」、 an2x>1且r≠2m-lnez的部分图像如下图： y=f(x) -k x31x42x53 的图像与直线=的交点的模坐标由小到大依次为，，与，，。 抛物线=-r-2x+3的顶点坐标为14，与轴的交点坐标为 （-3,0)(1,0) 要使得 <x3<x<x4<x<3 需满足0<k<4 <-3,x3+x3=-2 由图像可得 -x2-2x+3<4, 所以由x<-3, 解得-1-22<x<-3’所以-1-22<x<-3: y=tan-x 由函数 的对称性可知，x4+x=4, 所以++龙+6=-2+4=2 又因为 <-x<1+2√2 所以5<5+考++x-书<22+1+2 所以5+5+无+x-的取值范围是53+2列 15.(1)-tanx 1 3 (2)7；10 【详解】(1))= in)an()conin(-an)uan cos(3π-x)sin(π+x) (-cosx)(-sinx) (2)因为f(a)=-tana=3】 所以tana=-3, sina+2cosa tana+2 -3+2 1 所以2sina-cosa2tana-12x(-3)-17; sinacosa tana -3 3 sinacosa sin'a+cos atan'a+1(-3+110. 个 16.(1)25 77 (2)85 【详解】(1) 7N2 4 4 10 则 =2x72x27 101025: 2 (2)coa+4=2 -sin a= 2 10,则osa-sina= 5, (cosa-sina)'=cosa+sin2a-2sina cosa=1-2sina cosa= 25’ 故sina cosa= 25,又0<a< ,则sina>0,cosa>0: (cosa+sin a)=cosa+sina+2sina cosa=1+2x 12_49 2525’ > 故cos+sina=5,即有cosa 3 5、sina 5, 由0<a<,0<B 2, 2,则a+B∈(0，π)， o-cos[(+B)-a]-cos(@+)cosa+sin(a+)sina 8、4,15377 =17*5+17*585 5 4+√2 (2)6 3)最大值为35 ，最小值为4 【详解】(1)f)=V2 sin xco-V2cos'x+5-2sn 22 sin 2x cos2r=sn2r-7 2 e0经2x-年 4的核动力 @=ma到引-片，所umia争-1m0a争-1- (2)因为 vas)oma- 3, sn2a=sm2a子+孕=sml2a-争os+ew2a孕sn月 4 4 41 4 1222√2_4+V2 =32326 (3)g(x)-5sin(x+)+sin(5x-)=5cosx-cos5x, 则8'(：=-5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x xeoilaxcod 则g如2x≥0：且0<x<石时os3x>0,吾时os3<0 故当0<x< 6时，g(x)>0,g(x)单调递增： 当6<x<4时，g(x)≤0，g(x)单调递减： （52+5-32 5,0=5-1=4,8日号 2 敌3因在，上的最大值为33，最小值为 /5π+m,0 18.(1)1, 122, keZ a号 令2x-骨，ke2得-设+经，keZ: 5π，km 的数田)的对中心坐标为220Z 2照---m千引引-m2- 都有8()sg(4)恒成立， g为5内D月的大.防24-答-0，则-月 (3)因为-丽=丽c=AcM,所以历(m-HC)=0,c(m-丽)=0 即丽C=0.c-B1=0,故砺1.c1所，所u”为△4BC 的垂心， 连接BH并延长交AC于点D,连接CH并延长交AB于点E,则BD⊥AC,CE⊥AB, 在四边形ADHE中，由∠A+∠HmA+∠H+∠DHE=2:且4-号，得∠D=经，则 <BHC=2π 3, 在△HBC中，由余弦定理， 得BC2=HB2+HC2-2HB·HC.cos∠BHC, 所以16=HB2+HC2+HB·HC≥3HB.HC, 得HB-HCs16 ,当且仅 当HB=HC=4V3 3时， 等号成立， 所以厦-BC∠BC=5 -M45 3, 4v3 0, 又SAc>0,故△HBC面积的取值范围为 3 E H B 19.(1)0.842 ∈0，π sinx>x- x (2)证明：由题意有，当(2时， 3!, 则nx>1- 加x>l- 31即0 6· π）2 >1-10、1 6 6 1、π 2 242 sinx 1 故当（2时，x2 3 -2,2] 存在“和谐区间”，为 【详解】(1)由题意知，sin1≈1-+ 3150=1-1+1101 ≈0.842 6120120 (2)略 (3)因为A=-2,则f()=-2sinx, 若存在“和谐区间”，则由2≤f)≤2，有-2≤m<n≤2. 当n>m≥0时，则由[m,m]=[0,π)，得f(x)≤0，这与值域为[m,川s[0,)矛盾， 故不存在“和谐区间”. 同理当m<n≤0时，也不存在“和谐区间”. 下面讨论m<0<n, 0,5[m,n 当n22时，则之5人 ,所以f()的最小值为-2，则m=-2. 所以2’2 [m,n] 所以f(x)的最大值为2，则n=2. 此时，f()的定义域为[-2,2]，值域为[-2,2]，符合题意. 当0cn经时， 当m≤受时，同理可得m-21=2,不符合题意，舍去 m=-2sinn 当2m<0时 ”<0时，f(x)=-2sinx在区间m,川上单调递减，则'n=-2sinm, 所以m+m=-2(6inm+sin） 如果m+n>O,即0<-m<n<2,则有sin>sin(-m 所以sinn-sin(-m)=sinn+sinm>0. 所以-2(sinm+sinm)<0,这与m+n=-2(sinm+sinm)矛盾，舍去. 同理如果m+n<0,也不符合题意，舍去. n 如果m+m=0,即n=-m,所以2=sin”. πsinn、1 由2)知，当”0)时.”>2，即 snn之2，矛盾，舍去 综上所述，（四存在“和谐区间”，且“和谐区间”为[-2,2]。