专题14 直线与圆（真题研析+真题精炼+模拟探源，全国通用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以“考情-真题-模拟”为脉络，聚焦直线与圆位置关系、综合应用，通过微点拨提炼距离公式、圆心距判定等方法，融合直观想象与数学运算，构建“概念-方法-应用”逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆位置关系|3真题+5模拟|相切用圆心到直线距离=半径，弦长结合勾股定理|从直线/圆方程（基础）到位置关系判定（原理），再到距离、弦长计算（应用）| |圆与圆位置关系|2真题+3模拟|用圆心距与半径和差比较位置，公共弦方程由两圆方程作差|圆的方程→圆心距计算→位置关系判定→公共弦/切线问题| |综合应用与轨迹|3真题+4模拟|轨迹用坐标转移法，最值结合数形转化|动点/参数问题→几何条件代数化→函数/不等式求最值，体现逻辑推理|

专题14 直线与圆 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 直线倾斜角、斜率、各类直线方程求解；两直线平行、垂直判定与位置关系判断；点到直线距离、两平行线间距离计算；圆的标准方程与一般方程互化；直线与圆、圆与圆位置关系判定，常涉及弦长、切线方程、最值问题；多结合动点、定点、参数范围综合命题，常与不等式、函数最值交汇。 2．素养考向 直观想象：借助坐标系画图分析直线、圆几何特征，直观判断交点、相切、相交等位置形态。 数学运算：熟练配方求圆心半径，利用距离公式、勾股定理处理弦长、切线计算，提升代数运算准确度。 逻辑推理：将几何位置条件转化为方程、不等式，运用数形结合、等价转化思想处理定点、定值、最值类综合问题。 圆的方程，直线与圆的位置关系 2026·北京卷T11（直线和圆相切） 2025·全国一卷T7（直线与圆的位置关系） 2025·天津卷T12（弦长） 2024·北京卷T3直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 2026·全国一卷T11（圆与圆的位置关系） 2026·全国二卷T9（圆与圆的位置关系） 圆的综合应用与轨迹方程 2024·全国甲（文）卷T10（最值问题） 2024·全国甲（理）卷T12（最值问题） 2024·新课标Ⅱ卷T5（圆的轨迹） 2026年全国一卷、二卷聚焦直线方程、两直线位置关系、点线距离公式以及圆的方程核心考点。一卷侧重创新情境，结合动点、切线、弦长考查最值、定值及参数范围综合问题，综合性较强；二卷侧重基础应用，重点考查直线与圆、圆与圆的位置关系判定，题型常规基础。两卷均以解析几何基础运算为核心，贴合基础拔高分层考查要求。 直观想象上，借助平面坐标系图形，直观辨析直线与圆的几何位置特征；数学运算上，熟练完成配方、距离计算、方程求解，夯实解析几何运算功底；逻辑推理上，将几何条件转化为代数方程，运用数形结合、等价转化思想解题，凸显几何代数融合的命题特点。 考向一 直线与圆的位置关系算 典例1．（2026·北京卷T11）已知直线与圆相切，则________． 微点拨：直线与圆相切等价于圆心到直线距离等于半径，套用点到直线距离公式列方程，解方程即可求得参数的值。 考向二 圆与圆的位置关系 典例2．（2026·全国二卷T9）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 微点拨：明确动圆圆心、半径，用圆心距判断两圆位置关系；验证圆心到坐标轴距离判断相切；两圆方程作差直接得到公共弦直线方程，逐一判断选项。 考向一 直线和圆的位置关系 1．（2025·全国一卷T7）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京卷T3）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津卷T12），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 考向二 圆和圆的位置关系 4.（2026·全国一卷T11）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 考向三 圆的综合应用与轨迹问题 5.（2024·新课标Ⅱ卷T5）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 6．（2024·全国甲（文）卷T10）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（2024·全国甲（理）卷T12）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 2．（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 3．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 4．（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 5．（2026·福建三明·二模）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为（   ） A． B． C．1 D． 6．（2026·湖南永州·三模）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·陕西西安·三模）已知圆（，且），在这五个圆中任意选取两个不同的圆，则这两圆相切的不同取法种数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 10．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 11．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2026·湖北·三模）已知，，，点在圆上运动，则（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆为的内切圆 D．的最大值为88 14．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 15．（2026·山西忻州·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若，则或 D．存在直线，使得 16．（2026·陕西榆林·三模）已知直线与圆和圆都相切，则（    ） A．的值有4组 B．直线与圆相切 C．直线与圆和圆都没有公共点 D．与圆和圆都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 三、填空题 17．（2026·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动（包括端点），点满足，若点满足，则直线的斜率的取值范围为___________. 18．（2026·天津·二模）已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的方程为______． 19．（2026·天津·模拟预测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 20．（2026·山东烟台·二模）已知直线与圆交于A，B两点，设线段AB的中点为，则点到点的距离的最大值为__________. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 直线与圆 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 直线倾斜角、斜率、各类直线方程求解；两直线平行、垂直判定与位置关系判断；点到直线距离、两平行线间距离计算；圆的标准方程与一般方程互化；直线与圆、圆与圆位置关系判定，常涉及弦长、切线方程、最值问题；多结合动点、定点、参数范围综合命题，常与不等式、函数最值交汇。 2．素养考向 直观想象：借助坐标系画图分析直线、圆几何特征，直观判断交点、相切、相交等位置形态。 数学运算：熟练配方求圆心半径，利用距离公式、勾股定理处理弦长、切线计算，提升代数运算准确度。 逻辑推理：将几何位置条件转化为方程、不等式，运用数形结合、等价转化思想处理定点、定值、最值类综合问题。 圆的方程，直线与圆的位置关系 2026·北京卷T11（直线和圆相切） 2025·全国一卷T7（直线与圆的位置关系） 2025·天津卷T12（弦长） 2024·北京卷T3直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 2026·全国一卷T11（圆与圆的位置关系） 2026·全国二卷T9（圆与圆的位置关系） 圆的综合应用与轨迹方程 2024·全国甲（文）卷T10（最值问题） 2024·全国甲（理）卷T12（最值问题） 2024·新课标Ⅱ卷T5（圆的轨迹） 2026年全国一卷、二卷聚焦直线方程、两直线位置关系、点线距离公式以及圆的方程核心考点。一卷侧重创新情境，结合动点、切线、弦长考查最值、定值及参数范围综合问题，综合性较强；二卷侧重基础应用，重点考查直线与圆、圆与圆的位置关系判定，题型常规基础。两卷均以解析几何基础运算为核心，贴合基础拔高分层考查要求。 直观想象上，借助平面坐标系图形，直观辨析直线与圆的几何位置特征；数学运算上，熟练完成配方、距离计算、方程求解，夯实解析几何运算功底；逻辑推理上，将几何条件转化为代数方程，运用数形结合、等价转化思想解题，凸显几何代数融合的命题特点。 考向一 直线与圆的位置关系算 典例1．（2026·北京卷T11）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得，解得. 微点拨：直线与圆相切等价于圆心到直线距离等于半径，套用点到直线距离公式列方程，解方程即可求得参数的值。 考向二 圆与圆的位置关系 典例2．（2026·全国二卷T9）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 微点拨：明确动圆圆心、半径，用圆心距判断两圆位置关系；验证圆心到坐标轴距离判断相切；两圆方程作差直接得到公共弦直线方程，逐一判断选项。 考向一 直线和圆的位置关系 1．（2025·全国一卷T7）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选B 2．（2024·北京卷T3）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为，故选D. 3．（2025·天津卷T12），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 考向二 圆和圆的位置关系 4.（2026·全国一卷T11）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 【答案】BCD 【解析】记到直线的距离分别为，则，，. ∵ 直线与三个圆均有两个交点， ∴ ，，，对应弦长为. A：∵ 解，得， 解，得， 不妨取， ∵， ∴，记， 解，得，记， 当，即时，， 此时不存在这样的直线与三个圆都相交. ∴ 不能取任意实数，A错误. B：∵ ， ∴ . 由得，平方得，即或. ①当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. ②当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. 综上，共条直线满足条件，B正确. C：令， ∴ ，， 令，则， ∴ . 令，即， 平方整理可得，解得或，即或， 经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确. D：当时，，， ∴ ，， 令，则， ∴ . 设，求导得， 令得，此时取最大值， ∴ 的最大值为，D正确.    考向三 圆的综合应用与轨迹问题 5.（2024·新课标Ⅱ卷T5）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【解析】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为.故选：A 6．（2024·全国甲（文）卷T10）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小，此时.故选：C 7．（2024·全国甲（理）卷T12）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 2．（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 3．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由题意得，解得，当时，不重合，故， 可化为，所以与的距离为. 4．（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 【答案】C 【解析】由题可知，圆心为，半径为， 过圆心作，垂足为，又，则， 所以在中，，则， 即圆心到直线的距离，解得或. 5．（2026·福建三明·二模）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】设点O到直线l的距离为，所以， 所以， 当时，即时，等号成立. 6．（2026·湖南永州·三模）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题可知，点M的轨迹是以为圆心，半径的圆. 则，所以. 7．（2026·陕西西安·三模）已知圆（，且），在这五个圆中任意选取两个不同的圆，则这两圆相切的不同取法种数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】已知每个圆的半径，若两圆内切，则，不符合题意；若两圆外切，则，则两圆外切的取法有和，和，和，共3种. 综上所述，两圆相切的不同取法种数为3． 8．（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 9．（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【解析】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 10．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【解析】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 12．（2026·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立方程组，可得直线的方程， 原点到直线的距离为， 在中，过作的垂线，垂足为，则为的中点，， 在中，，所以，所以. 二、多选题 13．（2026·湖北·三模）已知，，，点在圆上运动，则（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆为的内切圆 D．的最大值为88 【答案】BCD 【解析】对于A，，则点在圆外，故A错误； 对于B，直线的方程为，整理为，故B正确； 对于C，直线的方程为与圆相切， 直线的方程为与圆相切，直线的方程为， 圆心到直线的距离，则圆与直线相切， 又圆心在内，所以圆为的内切圆，故C正确； 对于D，设，因为，，三点， 所以， ， 因为点P在圆上运动，则，解得， 所以， 当时，取得最大值88，故D正确． 14．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 【答案】AC 【解析】对于A选项，由得， 则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确； 对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得， 解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误； 对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为， 因为，故，解得， 因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确； 对于D选项，由C选项可得， 则，，则， 令，则，令，为开口向下的二次函数， 对称轴为，因此在上，单调递增， 所以，因此没有最大值，故D选项错误. 15．（2026·山西忻州·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若，则或 D．存在直线，使得 【答案】ABCD 【解析】圆的圆心为，圆的圆心为．直线化为． 两个圆心到直线的距离分别为，． 两圆的半径均为1，故弦长满足． 对于A，当时，，所以．故A正确； 对于B，当时，，所以．故B正确； 对于C，若，则，即，化简得． 所以或．故C正确； 对于D，若取直线，则该直线经过两个圆的圆心，此时， 故．故D正确． 16．（2026·陕西榆林·三模）已知直线与圆和圆都相切，则（    ） A．的值有4组 B．直线与圆相切 C．直线与圆和圆都没有公共点 D．与圆和圆都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 【答案】AC 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 依题意，，，联立解得或， 当时，，解得或； 当时，，解得或，因此有4组值，A正确； 要直线与圆相切，必有，而当时，直线与圆不相切，B错误； 由，得直线与圆和圆都没有公共点，C正确； 由圆和圆的圆心都在轴上，且两圆外离，这两个圆上距离最小的点为， 因此与两圆都相切的圆中，最小的半径为，面积最小为，D错误． 三、填空题 17．（2026·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动（包括端点），点满足，若点满足，则直线的斜率的取值范围为___________. 【答案】 【解析】设上的点，，点的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，其方程为， 设，且， 所以，整理得，所以， 所以，所以能成立， 所以或，所以； 18．（2026·天津·二模）已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的方程为______． 【答案】 【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为圆的圆心在抛物线的准线上，所以设圆的圆心坐标为， 则圆的半径为， 因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得，所以半径， 因此圆的方程为. 19．（2026·天津·模拟预测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【解析】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 20．（2026·山东烟台·二模）已知直线与圆交于A，B两点，设线段AB的中点为，则点到点的距离的最大值为__________. 【答案】 【解析】，所以圆心，半径， 由垂径定理，， ，直线恒过定点， 所以，因为为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆， 圆心为的中点，半径为，圆的方程为， 设点，则到的距离， 所以点到的最大距离为. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $