解锁“高考数学学科素养”专题系列8函数最值主要阐述变中的“不变”讲义-2026届高三数学一轮复习

解锁 “高考数学学科素养”专题系列——8函数最值主要阐述变中的“不变” 函数的最值除刻画了函数取值的极致和界限，展示了函数图象的最高点与最低点.；刻画了函数值的变化与边界问题，即函数的整体特征，还能在科技、经济、社会中的一些如何使用料最省，效益最大等实际问题，这充分体现数学的一个哲学思想——万变不离其宗. 解锁一：函数最值的本质属性 1.函数的最值定义: 函数的定义域为I，如果存在自变量的一个值，使（对于任意的）I，（1）都有，则称是函数的最大值；（2）都有，则称是函数的最小值. 悟惑: (1)最值是函数值，因此用重要的不等式求最值时要求“一造、二定、三相等”； (2)最值定理(导数部分):如果在闭区间上定义的函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，且所有极值与端点的函数值中，最大者是函数的最大值，最小者是函数的最小值．如一元二次函数，且极值点即为对称轴点.函数若仅有一个极值那么这个极值一定是它的相应最值； (3)最值的本质就是函数值的边界值、图象的最高点与最低点的纵坐标.； (4)求最值比求值域方法更多些.因为最值仅是两个值，所以可以扩大函数自变量的取值范围求最值，只需检验能够取到最值即可，否则改成其它方法. 探点.函数的最小值为 探究1(导数法),令,则,若 ,则不等式恒成立，设，则，所以解得，所以已知函数在上单调递增，所以已知函数在上单调递减，所以当时， 探究2(判别式法)由得，将其平方得，所以，解得或，由知，，所以，当且仅当，即，亦即时取等号，故当时，. (5)求最值分为整体求与局部求(每部分同时最大或最小，则整体有最值). 2.函数最值的本质属性 (1)整体性与绝对性：最值是函数在整个定义域内所有函数值的“最大”或“最小”者，是一个全局性的概念，具有绝对性. (2)可达性：最值不仅仅是一个上界或下界，更重要的是这个“界”必须被函数实际取到. (3)与极值的区别：最值是整体概念，二极值是局部概念.一个函数可能有多个极值点（局部最高点或最低点），但其最值在定义域内最多各有一个.极值只能在定义域内部取得，而最值可以出现在区间的端点. (4)几何意义:从图象上看，函数的最大值对应其图象上最高点的纵坐标，最小值对应其图象上最低点的纵坐标 (5)存在性依赖定义域：函数是否有最值，与其定义域密切相关.定义在闭区间上的连续函数，必存在最大值和最小值（闭区间上连续函数的性质），但在开区间或不连续的情况下，函数可能无最值. 3.研究函数最值的原则 第一步:搞清变量； 第二步:求所研究变量的范围； 第三步:先判定最值的类型，后因型而异； 第四步:求解； 第五步:回答问题. 探点.若，则的最大值为 . 探究：由知，且 ，解得，因为在上单调递增，所以的最大值为. 解锁二：求最值的常见类型与常用方法 1.求最值的常见类型： (1)几何最值：先用几何意义，后化归代数求解. 说明: ①求几何最值的基本策略：①列方程求解，②列不等式求解. ②几何意义即基本几何量、基本函数的图象、基本曲线. ❶整式: 一次（）——线性规划； 二次（当时，）——距离的平方或面积； 高次（如：，设，则.再如： ）——换元或降次划归为基本函数的局部问题. ❷分式，斜率（ ） ❸两个根式的和差,存在一次根式——圆锥曲线的一部分；如:.均为二次根式——两点间距离之和或之差. ❹绝对值，一元——数轴上两点间距离；二元——点到直线距离. ③利用几何意义求最值的关键是恰当定型，精准确定出动点的运动规律. 悟惑1.二元函数 的最小值为 . 探点:所求函数的几何意义是点与两点间距离的平方，点在上，点在，所以点到直线的距离的平方为所求. 悟惑2.已知，,则的最小值为 . 探点:曲线与直线 (2)代数最值： 因型而异 ①未知型(抽象问题)：利用函数性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性) 转移求解； 探点.已知定义在区间上的函数满足，且当时，. (1)求的值； (2)若 ，求在上的最小值. 探究: (1)令，则； (2)设，则，因为当时，，所以，又所以，所以函数在区间上为减函数．为所求的最小值，因为，，所以所求为. ②已知型(具体问题)：因元而异 ❶一元(一个变量或一个动点)问题值域法； 探点1.已知函数，则的最小值为 . 探究1(单调性):由题意知，解得，而函数在单调递增，所以所求的最小值为. 探究2(几何意义):略. 探点2.函数，则的最大值为 ；最小值为 . 探究1：设，则，所以在上单调递增，所以在上的最小值为，最大值为.再设，则，所以在单调递减，所以在上的最小值为，最大值为，又在上的图象连续，所以的最大值为，最小值为. 探究2:当时在上单调递增，此时的最大值为，最小值为.以下同上. 悟惑:已知解析式求函数的最值，首选函数的单调性！求分段函数的最值先分段求，再求最佳者；另外在点处的切线方程为，可证. ❷二元(两个变量或两个动点)问题: (Ⅰ)几何意义法：代数式的几何意义或几何图形； (Ⅱ)重要的不等式: (ⅰ)重要不等式，(ⅱ)基本不等式，(ⅲ)柯西不等式，(ⅳ)绝对值表达式； (Ⅲ)换元: (ⅰ)代数换元代入消元：已知等式解出一个变量代入所求， 换元代入：依据已知结构特征，引进两个变量换元，代入所求； (ⅱ)三角换元：依据已知结构特征和三角同角关系式，引进三角变量换元，代入所求. 探点1：设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为 探究(两动点，线对称转移)：.由题意知，函数与函数互为反函数，所以它们的图象关于直线对称，所以两曲线与曲线上两点间距离的最小值就是直线与曲线距离最小值的二倍.设曲线上一点任意一点的坐标为，则过该点的切线与平行，所以，即，点到直线的距离为，所以所求为，故选. 探点2(两动点，中心对称转移)：点，点分别为与上两点，则最小值为 探究：如图最小值为. 变式：求的最大值，就是求的最大值再加上圆的半径. 探点3. 设实数满足，则的最小值是 ． 探究1(带块换元)：令，则，所以则，故所求最小值为． 探究2(结构换元):设，则，所求变为 ，当且仅当，即时取等号，故所求最小值为． 探究3(齐次型换元): 以下局部判别式法. 探究4(三角换元法):由可设，则 悟惑:本题三角换元不好！；换元的目的是为了“简化”，基本策略是：从结构特征出发构造基本型或利用基本理念：高次变低次、方式变整式、无理变有理、多元变少元等. 探点4.已知实数，满足，则的最小值为__________. 探究1(通分)：因为，所以 又，所以，所以，所以，所以当时最大，此时最小，最小值为. 探究2(基本不等式，乘常数)：由配方得，所以，所以 当且仅当，即最小值为. 探究3(换元法):化归基本型.令,则所以 ，且仅当即时取等号故答案为. 探究4(换元法):由可设,则 ❸多元问题一定用重要的不等式造已知条件. 探点.设，若不等式恒成立，且，则的最小值为 . 构造几句话还是 ，当且仅当时取等号,即取等号，所以当时,有最小值. 悟惑:已知不等式可只用求解过程,本题反映多元变少元、构造函数的思想. 解锁三：函数最值的性质: 1.有界性； 如：或.常用有界限构造不等式、求参数或函数值的取值范围 探点.函数在上的最小值为，则实数的值为 . 探究1(正向求解):已知函数可变为，因为，所以.设，则，设，分及奇函数的性质和均值不等式可求得. 探究2(利用解的意义):由题意知对恒成立且取到等号. 因为，所以.所以上不等式可变为，而，，所以当时最大，且最大值为，所以，即. 悟惑.最值的逆向问题的解决应遵循数学求解逆向题的常规方法：其一，解的意义；其二，数形结合；其三，正向求解. 2.自变量的不唯一性.如正、余弦函数的最值； 3.函数图象的最高点与最低点的纵坐标即为最值； 4.一个变量的不等式或恒()成立，则是的一个最值. 解锁四：最值应用的常见类型： 1.求函数的值域； 2.比较大小（演绎推理，即构造函数说明最值得符合，再赋值;小的最大值大的最小值或差函数的最值与零比较）； 3.研究函数图象的最高点与最低点坐标问题； 4.不等式有解、无解、恒成立问题； 探点.已知是定义在上的奇函数，且，当，且时，有，若对所有恒成立，则实数的取值范围为 探究：将换成，则变为，因为是定义在上的奇函数，所以，从而，由增函数的定义知是增函数，因为对所有恒成立，所以，因为，所以，即，对恒成立，所以，解得或或，故实数的取值范围为或或. 探点.不等式的解集为，则 探究1(解不等式):不等式可变为,即, 易即.因为等式的解集为,所以,解得； 探究2(求最值)：设，，则，所以， 所以 ，即. 5.证明一元函数不等式; 探点.证明： 探究1:设，则的最大值为2，的最小值为2，但最值的条件不同，因此原不等式成立. 探究2设，证明的最小值大于（略） 6.一个函数的图象总在另一个函数图象的上方或下方(差函数的最值与比较). 7.优化问题. 探点1.设，，，则 A. B. C. D. 探究：设，且 ，当时，所以在上单调递减，所以在设，且 ，当时， ，此时，所以在单调递增，所以，即，所以,故选. 探点2:已知函数的定义域为，且同时满足：①；②若，则恒成立;③若,则恒成立. (1)求的值； (2)当时，求证：. 探究:(1)在中，取，又由时， 知，所以， (2)设，则由知 又当时，，而，所以，所以，所以当时，而此时，所以 解锁五：最值的隐形问题 ①，使得成立，即为； ②，使得成立，即为； ③,使得，即为； ④，使得，即为等 探点1.已知函数，若对，使得不等式 成立，则实数的取值范围是 探究:因为对,使得不等式 成立,所以, 解得，故选, 探点2.已知定义在上的函数,且满足,函数 (1)求的解析式 (2)若不等式;求实数的取值范围； (3)设，若对使得，求实数的取值范围 探究：(1) 由得解得，所以的解析式为 (2)由（1）知，所以在上单调递增，所以不等式恒成立等价于，即恒成立，设，则 ，当且仅当，即时取等号，所以，故实数的取值范围为. (3)因为对使得，所以以在上的最小值不小于 在上的最小值。；①若,解得， ②若，则，解得，所以，若，则，所以 综上，实数的取值范围为·. 解锁六：函数最值对函数整体特征作定量阐述 1.界定函数值的绝对范围：最值直接给出了函数值的上界和下界.最大值是函数在定义域内所能达到的最大数值，最小值是函数在定义域内所能达到的最小.数值，这一定量信息完整地框定了函数值的取值区间，是函数值域的端点. 2.反映函数的全局行为：与极值（局部最大/最小）不同，最值是全局性的概念.它不关心函数在某一点附近的变化，而是纵观整个定义域，找出所有函数值中的“冠军”和“亚军”.这使得最值成为衡量函数整体波动幅度和趋势的关键指标. 3.与定义域和连续性紧密关联：最值的存在性及其大小，直接依赖于函数的定义域和连续性.例如，闭区间上的连续函数必然存在最大值和最小值（有界闭区间上连续函数的性质）.这一定量结论为分析函数的整体行为提供了理论保障.反之，若函数在开区间内无最值(如在内无最小值)，则定量揭示了其在边界处的“发散”或“趋近”特性. 4.为不等式和优化提供基准：最值是构造和证明不等式的基础.例如，若已知函数在区间上的最小值为，则可定量地得出对所有恒成立.在实际应用中，最值问题（如成本最低、利润最高）本身就是对函数整体最优性能的定量追求. 5.几何意义的直观体现:在函数图象上，最大值对应图象的最高点的纵坐标，最小值对应最低点的纵坐标.这一定量的“高度”信息，直观地展现了函数图象在垂直方向上的整体“起伏”范围. 综上所述，函数的最值并非一个孤立的点或值，而是对函数在整个定义域内的整体取值能力的最直接、最精确的定量刻画，它界定了函数的数值边界，反映了其全局波动特性，并为后续的分析和应用提供了关键的数值依据. 探点1.已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 探究.根据题意，，，.令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以,且,即,所以。故选：D。 探点2.已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 探究：点 看作曲线 上点P；点 看作直线 上点Q；则为 ,由 ，所以，选A. 探点3.时，恒成立，则的取值范围是_________ 探究：当时，函数的图象如下图所示：因为对于任意，总有恒成立，则的图象恒在的上方因为与的图象相交于 时代入对数函数，求得 所以此时a的取值范围为 探点4.已知 ，若不等式对任意的恒成立，则整数的最小值为____． 探究：因为函数 为单调递增函数，且 ，所以不等对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，设 ，则 ，当时， ；当 时,的最小值为1. 探点5.已知函数，且 (1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，且对于任意实数，总存在实数，使得，求实数的取值范围． 探究：(1)因为函数在区间上单调递减,所以，, 所以实数的取值范围为. （2）,, ,又因为,所以恒成立,所以 .当时， ,当时， , 综上可得：实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $