精品解析：新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团第二中学2025-2026学年高一年级第一学期寒假集训数学竞赛(二试) 集训期末水平测评

新疆生产建设兵团第二中学2028届2025-2026学年高一年级第一学期寒假集训 数学竞赛（二试）集训期末水平测评 1. 如图，是锐角垂心，是的中点，过作于.求证： . 2. 设a，b，c正实数.求证： . 3. 在中，已知，为外心，的平分线与交于，关于中点对称点为，交于，交于.求证： 共圆. 4. 设非负实数，对，记.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆生产建设兵团第二中学2028届2025-2026学年高一年级第一学期寒假集训 数学竞赛（二试）集训期末水平测评 1. 如图，是锐角垂心，是的中点，过作于.求证： . 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】延长交于点，先证共圆，再证为圆的切线，根据切线的性质可得，再根据，即可得到结论. 【详解】延长交于点，因为为垂心，所以. 连接，则. 取中点为. 因为，，所以点在以为圆心的圆上，所以. 连接，则，所以. 因为，，所以. 又，所以. 又，， 所以. 所以与圆相切于点，所以， 又，所以 2. 设a，b，c为正实数.求证： . 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意，利用作差法先证，即可推得，进而可得，同理可证，，进而可得，利用权方和不等式可证得，最后由基本不等式证明，即得得证. 【详解】证明原命题成立，先证， 因均为正实数， 由 ，当且仅当时，等号成立. 故成立，则， 因，故有， 而 ， 即得，当且仅当时，等号成立. 同理可证，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立， 故有 ①， 当且仅当时，所有等号成立. 由权方和不等式，可得②， 当且仅当时，即时等号成立， 因，当且仅当时，所有等号成立， 将以上三个不等式相加整理得， 则， 得， 故由②可得， 再由①可得，得证. 3. 在中，已知，为的外心，的平分线与交于，关于中点对称点为，交于，交于.求证： 共圆. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】取中点，连接并延长，交射线于点，先证为中点，再设点关于直线的对称点为，问题转化为证点四点共圆.利用三角形的相似，可得，结合圆的相交弦定理，可得，可判断点四点共圆. 【详解】取中点，连接并延长，交射线于点， 因为为的外心， 所以，， 又， 所以点为的中点. 设点关于直线的对称点为，则， 所以只需证点四点共圆即可 由均垂直于，则， 又因为，所以. 由点与，与分别关于直线对称， 可得、、三点共线，且， 所以. 在和中，，，所以， 所以. 又、、、四点都在圆上，所以. 所以. 所以、、、四点共圆. 所以四点共圆. 4. 设是非负实数，对，记.求证：. 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】先通过变量替换将原不等式转化为，再利用阿贝尔恒等式及的结论进行放缩证明即可. 【详解】证法一: 令 ，,, 则原不等式等价于: , 因为 ，所以 ， 故由阿贝尔恒等式有, 因为，且 ，所以, 又 ，，故, 两式相加得： 故 成立，所以原不等式成立. 证法二: 因为, 故要证明原不等式，只需证明 对 ，比较上式两端 的系数，要使得上式成立， 只需证明 因为 ，且当时， ， 所以，成立, 故原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $