排列组合中的涂色问题 讲义-2026届高三数学二轮专题

涂色问题 例:用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂一种颜色,相邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种? 解析:先给①号区域涂色有5种方法,再给②号涂色有4种方法,接着给③号涂色方法有3种,由于④号与①、②不相邻,因此④号有4种涂法,根据分步计数原理,不同的涂色方法有 母题:四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域,且相邻两个区域不能同色 通性通法:依题意,只能选用4种颜色,要分五类: (1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有; (2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有; (3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有; (4)③与⑤同色、②与④同色,则有; (5)②与④同色、③与⑥同色,则有; 综上,涂色方法总数为 变式1:如图所示,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种? 通性通法:依题意,至少要用3种颜色 (1) 当用三种颜色时,区域2与4必须同色,区域3与5必须同色,故有种; (2) 当用四种颜色时,若区域2与4同色,则区域3与5不同色,有种;若区域3与5同色,区域2与4不同色,有种。故用四种颜色时共有种。 综上,共有 变式2:用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色,相邻两个区域涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法? 通性通法:可把问题分为三类: (1) 四格涂不同的颜色,方法种数为; (2) 有且仅有两个区域颜色相同,即只有一组对角小方格涂相同的颜色,涂法种数为; (3) 两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为 综上,涂法种数为 变式3、如图,6个扇形区域A、B、C、D、E、F,现给这6个区域着色,要求同一区域涂同一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现有4种不同的颜色可供选择 通性通法: (1) 当相间区域A、C、E着同一种颜色时,有4种着色方法,此时,B、D、F各有3种着色方法,有种方法 (2) 当相间区域A、C、E着色两种不同的颜色时,有种着色方法,此时 B、D、F有种着色方法,则有种着色方法 (3) 当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法,此时B、D、F各有2种着色方法,此时有种方法 综上,有种方法 母题:将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是多少? 通性通法:满足题意的染色至少要用三种颜色 (1) 若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、B、C、D四点,此时只能A与C、B与D分别同色,故有种方法 (2) 若恰有四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种染A与B,由于A、B颜色可以交换,故有种染法;再从余下的两种颜色中任选一种染D与C,而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有种方法 综上,有300种方法 母题:用红、黄、蓝、白四种颜色涂矩形的四条边,每条边只涂一种颜色,且使相邻两边涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法? 解:法一:(1)使用四种颜色有种方法 (2)使用三种颜色,则必须将一组对边染成同色,故有种 (3) 使用两种颜色,则两组对边必须分别同色,有种 综上,共有84种 法二:涂色按的顺序进行,对、涂色有种涂色方法。由于CD的颜色可能与AB同色或不同色,这影响到DA颜色的选取方法数。故讨论: ①当CD与AB同色时,这时CD对颜色的选取方法唯一,则DA有三种可选 ②当CD与AB不同色时,CD有两种可供选择的颜色,DA也有两种可供选的颜色 从而对CD、DA涂色有种涂色方法 综上,种 变式1:用六种颜色给正四面体ABCD的每条棱染色,要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色,有多少种不同的涂色方法? 通性通法: (1)若恰用三种颜色涂色,则每组对棱必须涂同一种颜色,而这三组间的颜色不同,故有种方法 (2)若恰用四种颜色涂色,则三组对棱中有两组对棱的组内对棱涂同色,但组与组之间不同色,故有种方法 (3) 若恰用五种颜色涂色,则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色,故有种方法 (4) 若恰用六种颜色涂色,则有种方法 综上,共有4080种 母题:从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的6个面涂色,每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色,则不同的涂色方案共有多少种? 通性通法: (1)若用六种颜色,确定某种颜色所涂面为下底面,则上底颜色可有5种选择,在上、下底已涂好后,再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面,则其余3个面有种涂色方案,则 (2) 若用五种颜色,选定五种颜色有种方法,必有两面同色(为相对面),确定为上、下底面,其颜色可有5种选择,再确定一种颜色为左侧面,此时的方法数取决于右侧面的颜色,有3种选择(前后面可通过翻转交换),则 (3) 共用四种颜色, (4) 共用三种颜色, 综上,230种 变式1:四棱锥,用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上,要求相邻不同色,有多少种涂法? 通性通法:这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题,如图,区域1、2、3、4相当于四个侧面,区域5相当于底面,根据共用颜色多少分类 (1) 最少要用3种颜色,即1与3同色、2与4同色,此时有种; (2) 当用四种颜色时,1与3同色、2与4两组中只能有一组同色,此时有种 综上,72种 母题:如图,把一个圆分成个扇形,每个扇形用红、白、蓝、黑之一染色,要求相邻扇形不同色,有多少种染色方法? 通性通法:设分成个扇形时染色方法为种 (1) 当时,、有种,即 (2) 当分成个扇形,如图,、不同色,、不同色,…,与不同色,共有种染色方法,但由于、相邻,所以应排除、同色的情形;、同色,可把、看成一个扇形,与前个扇形加在一起为个扇形,此时有种染色法,故有如下递推关系:, . 学科网(北京)股份有限公司 $