专题四 微专题1 排列组合与二项式定理 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义围绕排列组合、二项式定理、计数原理与概率等核心考点，按“考点透析-跟踪练习”架构整合知识，通过真题解析、方法归纳、分层训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以真实情境问题（如特警分配、任务指派）培养数学眼光，通过二项式定理中同余问题训练逻辑推理（数学思维），设置选择、填空、解答分层练习。结合核心素养设计教学活动，能高效提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

专题四 概率与统计 微专题1 排列组合与二项式定理 一、考点透析 考点1 排列组合问题 1.(2025·河南省开封市·模拟)在某互联网大会上，为了提升安全级别，将名特警分配到个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少人，最多人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2.(2025·云南省昭通市·联考)甲、乙、丙、丁、戊五人完成，，，，五项任务所获得的效益如下表： 甲 乙 丙 丁 戊 现每项任务选派一人完成，其中甲不承担任务，丁不承担任务的指派方法数有          种；效益之和的最大值是          ． 3．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 考点2 二项式定理 1.(2025·广东省东莞市·模拟)若，则(    ) A. B. C. D. 2.(2025·山东省淄博市·模拟)已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为           3．（2025高三·全国·专题练习）定义：给定一个正整数，如果两个整数满足能够被整除，就称整数对模同余，记作.若，，则的一组值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 考点3 计数原理与概率 1.(2025·湖北省武汉市·模拟)为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为(    ) A. B. C. D. 2．（多选题）（2025·云南·模拟预测）已知二项式，若该二项式的展开式的二项式系数之和为16，则（    ） A． B． C．从任取两个数且，则事件“”的概率为 D．将进行排列，共有30种不同的情况 3.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·模拟)对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和是给定的正整数，且，再从每个子总体中各随机抽取个元素组成样本，用表示元素和同时出现在样本中的概率，则          ；所有的和等于          ． 二、跟踪练习 1.(2025·吉林省松原市·模拟)的展开式中的系数为，则实数(    ) A. B. C. D. 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）设正整数，其中，记为上述表示中为1的个数．例如：，所以．已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B．对任意的，有 C．若，则使成立的的取值个数为 D． 3.(2025·湖南省郴州市·模拟)如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域、区域、区域、区域、区域、区域共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有          种不同的涂色方案． 4.(2025·吉林省吉林市·模拟)已知多项式，则          ． 5.(2025·甘肃省白银市·模拟)甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号，，，，，的卡片各张，两人轮流从中不放回的随机抽取张卡片，直到其中人抽到的卡片编号之和等于或者所有卡片被抽完时，游戏结束若甲先抽卡，则甲抽了张卡片时，游戏恰好结束的概率为          ． 6．（2025高三·全国·专题练习）设，且，求证： (1)； (2)求证：． （证明过程中可以运用公式：对个正数，总有，式中等号成立的充要条件为） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题四 概率与统计 微专题1 排列组合与二项式定理 一、考点透析 考点1 排列组合问题 1.(2025·河南省开封市·模拟)在某互联网大会上，为了提升安全级别，将名特警分配到个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少人，最多人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D  【解析】解：先不管甲和乙,若三个路口的人数按，，分配，则共有种方法； 若三个路口的人数按，，分配，则共有种， 其中，包括了甲和乙在同一个路口的情况，共有种， 故甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有种． 故选：． 2.(2025·云南省昭通市·联考)甲、乙、丙、丁、戊五人完成，，，，五项任务所获得的效益如下表： 甲 乙 丙 丁 戊 现每项任务选派一人完成，其中甲不承担任务，丁不承担任务的指派方法数有          种；效益之和的最大值是          ． 【答案】  【解析】解：依据乘法原理，选派方法共有种， 由表可知，五项工作获得的效益值总和最大为，但不能同时取得； 要使总和最大、甲可以承担或项工作，丙只能承担项工作，则丁不可以承担项工作，所以丁承担项工作； 乙若承担项工作，则甲承担项工作，戊承担项工作，此时效益值总和为：， 乙若不承担项工作，则乙承担项工作，甲承担项工作，则戊承担项工作，此时效益值总和为：， 所以，完成五项工作后获得的效益值总和最大是． 故答案为：；． 3．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误； 对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和， 因，故，故C正确； 对于选项D，因为 ， 则，故D错误； 故选：C. 考点2 二项式定理 1.(2025·广东省东莞市·模拟)若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为， 当时，， 当时，， 当时，， 则， 所以， 所以． 故选：． 2.(2025·山东省淄博市·模拟)已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为           【答案】  【解析】解：由二项式展开式中只有第项的二项式系数最大，即展开式有项， 所以， 则展开式中的通项公式为，，，，， 令，解得， 故展开式中含项的系数． 故答案为：． 3．（2025高三·全国·专题练习）定义：给定一个正整数，如果两个整数满足能够被整除，就称整数对模同余，记作.若，，则的一组值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】依题意得能够被5整除. 而 ， 所以能够被5整除. 对于A，，，则，不能被5整除，A不正确. 对于B，，，则，显然不能被5整除，B不正确. 对于C，，，则 ， 不能被5整除，C不正确. 对于D，，，则 ，能被5整除， 故选：D. 考点3 计数原理与概率 1.(2025·湖北省武汉市·模拟)为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：将五名同学分为四组，每组人数分别为、、、，分组方法种数为种， 所以，五名同学报名四门课程，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修， 不同的报名种数为种， 考虑数独的报名人数， 若数独只有一人报名，从乙和丙中选一人，有种情况， 若选修几何画板只有一人，从剩余人中除甲以外的人中任选人，有种情况， 最后将剩余人分为两组，再分配给另外两门课程， 此时不同的选择情况种数为种； 若选修几何画板有两人，有种情况，剩余两人选修剩余两门课程， 此时不同的选择方法种数为种； 若数独有两人报名乙和丙， 则选修几画板的有剩余人中除甲以外的两人中任选一人，有两种情况． 剩余两人报名剩余两名课程， 此时不同的选择方法种数为种 综上所述，所求概率为． 故选：． 2．（多选题）（2025·云南·模拟预测）已知二项式，若该二项式的展开式的二项式系数之和为16，则（    ） A． B． C．从任取两个数且，则事件“”的概率为 D．将进行排列，共有30种不同的情况 【答案】ACD 【详解】由二项式的二项式系数之和为16，即，所以，故A选项正确； 令，则，令，，则，所以B选项错误； ∵，∴，∴， 在这5个数中，有三个正数两个负数，则任取两个数，则两个数一正一负的概率为，故C选项正确； 由，所以对的全排列的个数为，故D选项正确. 故选：ACD. 3.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·模拟)对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和是给定的正整数，且，再从每个子总体中各随机抽取个元素组成样本，用表示元素和同时出现在样本中的概率，则          ；所有的和等于          ． 【答案】   【解析】解：从中随机抽取个元素，共有种不同的抽法， 从中随机抽取个元素，共有种不同的抽法， 所以从每个子总体中个随机抽取个元素组成样本所有的抽法，共有， 从中随机抽取个元素，其中抽到的抽法有种方法， 从中随机抽取个元素，其中抽到的抽法有种方法， 由古典概型的概率计算公式，可得． 当时，， 而从中选两个数的不同方法数为，则的和为； 当时，同理可得的和为； 当时，， 而从中选取一个数，从中选一个数的不同的方法数为， 则的和为，所以． 故答案为：；． 二、跟踪练习 1.(2025·吉林省松原市·模拟)的展开式中的系数为，则实数(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由， 的展开式的通项公式为，所以， 令，解得， ，令，解得， 展开式中的系数为，可知， 所以． 故选：． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）设正整数，其中，记为上述表示中为1的个数．例如：，所以．已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B．对任意的，有 C．若，则使成立的的取值个数为 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，有2个1，所以，正确； 对于B，当时，，所以，此时 ，不符合题意，错误； 对于C，注意到， 所以集合中的任一元素均可由唯一表示， 能使的的取值个数为，正确； 对于D，，记， 又，两式相加得 ，所以，则，正确. 故选：ACD 3.(2025·湖南省郴州市·模拟)如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域、区域、区域、区域、区域、区域共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有          种不同的涂色方案． 【答案】  【解析】解：若仅用三种颜色涂色，则区域，同色，区域，同色，区域，同色，共有种涂法 若用四种颜色涂色，则区域，，区域，，区域，中有一组不同色，则有种情况， 先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有种涂法，共有种涂法 故总的涂色方案有种． 故答案为：． 4.(2025·吉林省吉林市·模拟)已知多项式，则          ． 【答案】  【解析】解：因为， 令，得； 令，得， 则，即． 故答案为：． 5.(2025·甘肃省白银市·模拟)甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号，，，，，的卡片各张，两人轮流从中不放回的随机抽取张卡片，直到其中人抽到的卡片编号之和等于或者所有卡片被抽完时，游戏结束若甲先抽卡，则甲抽了张卡片时，游戏恰好结束的概率为          ． 【答案】  【解析】根据题意可知甲抽了张卡片时，游戏恰好结束相当于从张卡片中抽取了张， 且甲抽取的三张卡片数字之和为，乙抽取的两张卡片数字之和不为， 则总的情况相当于从张卡片中抽取了张并进行排列，即共种排法， 其中三张卡片数字之和为的组合有，，；，，；，，共种情况， 两张卡片数字之和为的组合有，一种情况， 当甲抽取的数字为，，；，，时， 乙在剩余的个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为，，时，若乙抽取的两张卡片数字可能为，，此时不合题意， 此时共有种， 所以符合题意的排列总数为种，可得所求概率为． 故答案为：． 6．（2025高三·全国·专题练习）设，且，求证： (1)； (2)求证：． （证明过程中可以运用公式：对个正数，总有，式中等号成立的充要条件为） 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）由于，则， 又，故. （2）根据公式，对个正数，总有，式子等号成立的充要条件为， 故， 而， 这样， 所以，又， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $