必刷小卷4 小题标准练(4) 8+3+3 73分练-2026届高三数学三轮冲刺

必刷小卷4 小题标准练[4] 8+3+3 73分练 (时间:40分钟　分值:73分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则( ) A. B. C.5 D.20 3.已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-2 5.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( ) A.1.8cm B.2.5cm C.3.2cm D.3.9cm 6.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8.已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.某校元旦晚会节目预选赛上， 名评委老师给张三的节目打的分数分别为：、、、、、，则下列说法正确的是（ ） A．得分的中位数为 B．得分的第百分位数为 C．若去掉一个最高分和一个最低分，则得分的平均值会变大 D．若去掉一个最高分和一个最低分，则得分的方差会变大 10．若函数的最小正周期为，则不可能是的零点的有（     ） A． B． C． D． 11.如图①，在边长为4的正方形ABCD中，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把，和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图②所示，连接AM，MF，则下列结论正确的是( ) A. B.三棱锥的体积为4 C.三棱锥外接球的表面积为 D.过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.曲线在点处的切线方程为 . 13.2026年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动3次的概率为__________. 14.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，（，），若P是两条曲线的一个交点，且，则的最小值为__________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 必刷小卷4 小题标准练[4] 8+3+3 73分练 (时间:40分钟　分值:73分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解法一（通解）：由，得，解得，所以，所以，故选C. 解法二（优解）：因为，所以，故排除B，D.又，所以，故排除A. 故选C. 2.已知向量，，若，则( ) A. B. C.5 D.20 【答案】B 【解析向量，，由，得，，则，所以.故选：B 3.已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】设复数，则共轭复数，因为， 列出方程组为：求解该方程组得：. 所以复数.在复平面内对应点坐标为，横坐标，纵坐标， 所以该点在第一象限.故选：A. 4．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-2 【答案】B 【解析】记等差数列的公差为，依题意，，故，则.故选B. 5.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( ) A.1.8cm B.2.5cm C.3.2cm D.3.9cm 【答案】B 【解析】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，所以， 利用点斜式方程可得到直线：，整理为， 所以原点O到直线距离为，故选：B. 6.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，函数显然是增函数；当时，，而在R上单调递增，所以则，即a的取值范围是.故选B. 7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当从大于0的方向趋近于0时，， 当时，，因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是.故选D 8．已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，，解得， 所以，因这样的点有且仅有一个，由图知此时， 则圆心到直线的距离为6， 即，化简得，其中， ，则， ， 所以，即，则直线的斜率为， 所以直线，即， 联立，解得，即， 因的中点坐标为，且， 则以为直径的圆的方程为 ，整理得， 易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线， 将两圆的方程相减得， 故直线的方程为.故选：B. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.某校元旦晚会节目预选赛上， 名评委老师给张三的节目打的分数分别为：、、、、、，则下列说法正确的是（ ） A．得分的中位数为 B．得分的第百分位数为 C．若去掉一个最高分和一个最低分，则得分的平均值会变大 D．若去掉一个最高分和一个最低分，则得分的方差会变大 【答案】BC 【解析】 将6个分数按从小到大的顺序排列得：86、90、92、94、95、98.所以中位数为，所以A错误；计算，所以第75百分位数为第5个数95，所以B正确；6个分数的平均分为，方差， 若去掉一个最高分和一个最低分后，，，所以，所以C正确，D错误． 10．若函数的最小正周期为，则不可能是的零点的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意可知，，所以，因此. 令，则，即（）， 解得（）. A选项：令，解得（），故A选项为零点； B选项：令，解得（），故B选项不可能为零点； C选项：令，解得（），故C选项不可能为零点； D选项：令，解得（），故D选项不可能为零点；故选BCD. 11.如图①，在边长为4的正方形ABCD中，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把，和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图②所示，连接AM，MF，则下列结论正确的是( ) A. B.三棱锥的体积为4 C.三棱锥外接球的表面积为 D.过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为 【答案】ACD 【解析】由题意，将三棱锥补形为长、宽、高分别为2，2，4的长方体，如图. 易知平面PEF.因为平面PEF，所以，故A正确.因为M为PE的中点，所以，故B错误.设三棱锥外接球的半径为R.因为三棱锥的外接球为补形后长方体的外接球，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确.过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为.最小截面为过点M且垂直于球心O与M连线的圆，此时截面圆半径，所以截面圆面积的最小值为，所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为，故D正确.故选ACD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】由求导可得，则所求切线斜率为， 因此所求切线方程为，化简得. 故答案为：. 13.2026年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动3次的概率为__________. 【答案】 【解析】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动3次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论.记向左，向右，向上，向下， （1）若1步到位为事件，则满足要求的是或或或或， 或或或或，所以； （2）若3步到位为事件，则满足要求的是 所以；所以， 满足的情况有：，，.所以， 所以.故答案为：. 14.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，（，），若P是两条曲线的一个交点，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】不妨设椭圆方程为，双曲线的方程为（，），，设P是两条曲线在第一象限内的一个交点，则有，， 所以，.则在中，由余弦定理知 ，整理得，. 所以，则，当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $