精品解析：湖南郴州市永兴县2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷

2025年下学期期末义务教育教学质量监测 九年级 数学 （试题卷） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有三道大题，共24道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图象向上平移个单位，则平移后的二次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则∠B的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ） A. 3.82 B. 4.82 C. 6.18 D. 6.28 7. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（ ）米 A. B. C. D. 8. 2025年“湘超”联赛9月7日在长沙市贺龙体育场举行．本届赛事分常规赛（即每个参赛队都与所有其他队比赛且只比赛一场）和淘汰赛两阶段，在常规赛阶段中，来自湖南省各市州的多支本土男足劲旅在为期3个月的时间内展开了91场比赛．若设共有支本土男足劲旅参加比赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 凸透镜成像的原理如图所示，是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，，．若物距与像距之比为，测得蜡烛高为，则像的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（　　） A. B. 抛物线的对称轴是直线 C. D. 点和在抛物线上，则 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为_____． 12. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 13. 如图，，，则的长度是________．     14. 将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 15. 周末，王明和李亮两位同学到森林公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，已知秋千离地面的垂直高度为，安全链长为．荡秋千的起始位置为点时，安全链与铅垂线夹角为，秋千荡到最高点时，，，，在同一平面上，则点离地面的垂直高度是_____． 16. 如图，反比例函数与正比例函数的图像交于点，点，轴于点，轴于点，，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，第17－18题每小题6分，第19－20题每小题8分，第21－22题每小题10分，第23－24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． （1）以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； （2）设与的周长分别为和，试求的值． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点坐标． 20. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度； （3）若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 21. 某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少5件．设销售价格上涨元/件，每天的销售量为件． （1）请写出与的函数关系式． （2）商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？ 22. 2025年9月30日是我国第十二个烈士纪念日，为弘扬革命传统精神，数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量烈士纪念碑 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是烈士纪念碑的地平线，碑高垂直于地平线于点． 测量过程与数据信息 他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，向碑底前进到达点处，测得碑顶的仰角为，已知测角仪的高度是（，在同一直线上） 根据以上数据解答下列问题： （1）求证：是等腰三角形； （2）求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若为中点，且，，求的长； （3）如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末义务教育教学质量监测 九年级 数学 （试题卷） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有三道大题，共24道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象性质．根据反比例函数图象位于第一、三象限的条件列出不等式求解即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象分布在第一、三象限， ∴． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的顶点式的顶点坐标为，即可得出结论． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 将二次函数的图象向上平移个单位，则平移后的二次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，首先根据二次函数的解析式写出平移前抛物线的顶点坐标，根据平移的方向和距离写出平移后的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标写出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：二次函数的顶点为， 把图象向上平移个单位后的顶点坐标为， 平移后的二次函数的表达式为． 故选：A． 4. 若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，解题的关键是将方程的解代入方程求解未知数． 根据一元二次方程解的定义，把代入给定的一元二次方程，得到关于m的一元一次方程，进而求解m的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 故选：B． 5. 已知在中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则∠B的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可得BC的值，由可得∠B的余弦值. 【详解】解： 故选：B. 【点睛】本题主要考查了余弦，同时涉及了勾股定理，角的余弦等于其邻边比斜边，正确表示角的余弦是解题的关键. 6. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ） A. 3.82 B. 4.82 C. 6.18 D. 6.28 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中较长线段与整条线段的比值为是解题的关键．根据黄金分割点的定义，已知较长线段与线段的比值为，代入的长度即可求出的长度． 【详解】解：∵为的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据矩形的性质得到，得到（米），求得米，得到米，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵扶梯的坡比为， ∴， ∴（米）， ∴米， ∵滑梯的坡比为， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：滑梯的长为米． 故选：B． 8. 2025年“湘超”联赛9月7日在长沙市贺龙体育场举行．本届赛事分常规赛（即每个参赛队都与所有其他队比赛且只比赛一场）和淘汰赛两阶段，在常规赛阶段中，来自湖南省各市州的多支本土男足劲旅在为期3个月的时间内展开了91场比赛．若设共有支本土男足劲旅参加比赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，单循环比赛场次的计算，关键是理解每个队比赛场次以及避免重复计算． 设共有支本土男足劲旅参加比赛，根据在为期3个月的时间内展开了91场比赛列出方程即可． 【详解】解：∵共有支队伍参赛， ∴每支队伍需与其余支队伍各赛一场， 又∵每场比赛会被重复计算一次， ∴总比赛场次为， ∵已知总场次为91场， ∴， 故选：B． 9. 凸透镜成像的原理如图所示，是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，，．若物距与像距之比为，测得蜡烛高为，则像的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，通过证明，得出，即可解答．解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（　　） A. B. 抛物线的对称轴是直线 C. D. 点和在抛物线上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握好各项系数对图象的影响、对称轴的求法、特殊点的函数值、距离比较法是解题关键．观察抛物线交轴正半轴，，可判断，由，两点，可得对称轴为直线，可判断，当时，，可判断由)离对称轴的水平距离比)离对称轴的水平距离小，结合图象开口向下，可判断． 【详解】解：由图象可知抛物线交轴正半轴， ，错误，不符合题意； 的图象与轴交于，两点， 对称轴为直线，错误，不符合题意； 由图知，表示的点在与之间， ，错误，不符合题意； 抛物线开口向下，，， 离对称轴的水平距离比离对称轴的水平距离小， ，正确，符合题意； 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，熟练运用分式的性质是解题的关键．将所求分式拆解为已知分式与常数的差，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为 ． 12. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，准确理解根的判别式是解题的关键．由一元二次方程，可计算得到，再根据该一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式大于零，即，最后解得． 【详解】解：方程的判别式为， 其中，，， 代入得． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 ， 解得． 故答案为：. 13. 如图，，，则的长度是________．     【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 14. 将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再求p和q的值，代入求和解答即可． 【详解】解：， 所以，， 则， 故答案为：9． 15. 周末，王明和李亮两位同学到森林公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，已知秋千离地面的垂直高度为，安全链长为．荡秋千的起始位置为点时，安全链与铅垂线夹角为，秋千荡到最高点时，，，，在同一平面上，则点离地面的垂直高度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，灵活运用三角函数和直角三角形的性质是解题的关键． 根据已知条件，先求出的度数，再在中利用角所对的直角边等于斜边的一半求出的长度，最后用减去得到的长度，即为点离地面的垂直高度． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，， ， ， 在中， ， ， 点离地面的垂直高度是． 故答案为：． 16. 如图，反比例函数与正比例函数的图像交于点，点，轴于点，轴于点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数值的几何意义，由题意可得，又，则，从而求出的值，熟练掌握反比例函数系数值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数与正比例函数的交点，轴于点，轴于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，第17－18题每小题6分，第19－20题每小题8分，第21－22题每小题10分，第23－24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】直接利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：， ， ，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． （1）以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； （2）设与的周长分别为和，试求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出周长比即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 解：∵，且相似比为， ∴． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练运用函数图象上点的坐标满足函数解析式、联立方程组求解函数交点是解答本题的关键． （1）先将点代入一次函数解析式求出的值，确定点的坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，从而得到反比例函数的表达式； （2）联立一次函数与反比例函数的解析式，解方程组得到两组解，结合点的坐标，即可确定点的坐标． 【小问1详解】 解：把点代入，得， 解得， 把代入，得， 解得，因此反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：解方程组， 得，， 因此点的坐标为． 20. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度； （3）若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】（1）200， 补全条形统计图，如图所示： （2）；108 （3）“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的应用，计算扇形统计图中的占比和圆心角，用样本估算总体，掌握好相关知识是关键． （1）用“偶尔”的人数除以占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出占比，同样方法算出“较多”的占比，再乘以得出“较多”对应的圆心角； （3）计算出“一直”在样本中的占比，再乘以全校学生数即可． 【小问1详解】 解：对比两个统计图可知，“偶尔”的人数为人，占比， ∴本次抽查的人数为（人）， ∴“较多”的人数为（人）， 【小问2详解】 解：“较少”的百分比为， ∴， “较多”对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名． 21. 某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少5件．设销售价格上涨元/件，每天的销售量为件． （1）请写出与的函数关系式． （2）商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？ 【答案】（1） （2）6元或10元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式和一元二次方程． （1）根据销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少5件，可列出y与x的函数关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得． 【小问2详解】 解：由题意得， 即， 解得． 答：每件涨价元或元，商场每天销售该商品的利润为3900元． 22. 2025年9月30日是我国第十二个烈士纪念日，为弘扬革命传统精神，数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量烈士纪念碑 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是烈士纪念碑的地平线，碑高垂直于地平线于点． 测量过程与数据信息 他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，向碑底前进到达点处，测得碑顶的仰角为，已知测角仪的高度是（，在同一直线上） 根据以上数据解答下列问题： （1）求证：是等腰三角形； （2）求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数） 【答案】（1）见解析 （2）27.5米 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角函数的应用是解题关键． （1）先求出，根据等角对等边证明即可； （2）根据正弦的定义求出长，然后根据线段的和差解答即可． 【小问1详解】 解（1），， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 在Rt中，由， 得米， 米， 答：烈士纪念碑的通高为27.5米． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，的值最大，最大值为；或． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，由题知，则，则，所以，最后通过二次函数的性质即可求解； 要使相似，只有保证是直角三角形即可，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：把，，代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点是二次函数图像在直线上方的点， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 由题知，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； 存在，理由如下： ∵轴，即轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴要使相似，只有保证是直角三角形即可， 当时，如图， ∴， 此时轴，关于抛物线的对称轴对称， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知， ∵，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上，存在点使与相似，此时的坐标为或． 24. 如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若为中点，且，，求的长； （3）如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）根据矩形的性质得到，设，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）延长交于点M，连接根据折叠的性质得到直线，根据等腰三角形的性质得到，设，求得，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，，即，解得， ， ， ， ， ，解得， ， ； 【小问3详解】 解：如图：延长，交于点，连接． ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， （）， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $