1.6.1 探究ω对y=sinωx的图象的影响 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 1.6.1 探究𝛚对y=sin𝛚x的图象的影响 互动设计课程 1 学 习 目 标 掌握函数 y=sinωx 与 y=sinx 图象之间的变换关系（周期变换/横向伸缩）。。。 返回主页 1 理解参数 ω 对函数 y=sinωx 图象的影响规律掌握函数 y=sinωx 与 y=sinx 图象之间的变换关系（周期变换/横向伸缩）能够准确求出 y=sinωx 的周期，并绘制其简图理解周期变换的实质是横坐标的伸缩变换 2 通过列表、描点、画图，经历从具体到抽象的探究过程利用信息技术（几何画板）动态观察 ω 变化对图象的影响培养归纳猜想、验证证明的数学思维能力体会由特殊到一般、数形结合的数学思想 情 境 引 入 【情境一：生活中的周期变化】 返回主页 【情境二：音乐与数学】 【情境三：复习引入】 【情境一：生活中的周期变化】 不同转速的“摩天轮” 交流电频率变化对电流影响 摩天轮转得快和转得慢，其高度随时间变化的图象有什么区别？ 50Hz和60Hz的交流电，其电流随时间变化的曲线有何不同？ 这些差异能用数学语言描述吗？与函数 y=sinx 有什么关系？ 【情境二：音乐与数学】 播放不同音高的同一音符，展示其声波图象变化。 思考： 音高不同意味着频率不同，声波的”密集程度”不同 , 如何用数学函数描述这种”密集程度”的变化？ 【情境三：复习引入】 回顾：我们已经学习了 y=sinx 和 y=cosx 的图象与性质，它们的周期都是 2π。 设问： 如果函数变为 或 ，周期还会是 吗？图象会发生什么变化？ 互 动 设 计 【活动1：复习铺垫】 返回主页 【活动2：分组探究实验】 【活动3：发现规律】 【活动1：复习铺垫】 快速抢答： 1. 函数 的周期是 ______，频率是 ______ 2. 周期 与频率 的关系是 ______ 3. 在物理学中，简谐振动 中， 叫做 ______，它与周期 的关系是 ______ 预设答案： ；；；角频率； 或 引出课题： 今天我们从数学角度探究 ω 对函数图象的影响。 【活动2：分组探究实验】 实验任务： 探究 、 与 的关系 A组：探究 1. 完成表格： 0 0                   在同一坐标系中画出 和 的图象 观察：y=sin2x 的周期是多少？与 y=sinx 相比，图象发生了什么变化？ B组：探究 1. 完成表格： 0 0                   在同一坐标系中画出 和 的图象 观察： 的周期是多少？与 相比，图象发生了什么变化？ 【活动3：发现规律】 函数 周期 与 的比较 图象变换 在 内完成2个完整周期 横向压缩为原来的 在 内只完成半个周期 横向伸长为原来的2倍 归纳猜想： - 对于 （），周期 - 时，周期变小，图象横向压缩 - 时，周期变大，图象横向伸长 探 求 新 知 【知识点1：周期变换的规律】 返回主页 【知识点2：周期的计算公式】 【知识点3：五点法作图（周期变换后）】 【知识点4：易错点与注意事项】 【知识点1：周期变换的规律】 定理： 函数 （ 且 ）的图象可以由 的图象经过横向伸缩变换得到： 参数范围 变换方式 周期变化 图象特征 横坐标缩短为原来的 变”密”了，频率加快 横坐标伸长为原来的 变”疏”了，频率减慢 记忆口诀： “ 大周期小，图象压缩； 小周期大，图象拉伸” 或 “ 与周期成反比，与压缩程度成正比” 【知识点2：周期的计算公式】 公式： 函数 （）的最小正周期为 推导： - 因为 的周期是使函数值重复的最小正数 - 即 对所有 成立 - 所以 ，得 注意： 这里的 在物理学中称为角频率，单位是 rad/s 【知识点3：五点法作图（周期变换后）】 对于 （），一个周期内的五点： 0 0 0 1 0 -1 0 关键： 横坐标要除以 ω！ 【知识点4：易错点与注意事项】 易错点 正确理解 混淆横向与纵向变换 影响横坐标（周期）， 影响纵坐标（振幅） 伸缩比例错误 横坐标变为 倍，不是 倍 周期公式记错 ，不是 忽略 的前提 若 ，先用诱导公式化为正（如 ） 与平移变换混淆 周期变换是伸缩，不是平移； 才是平移 典 例 铺 路 【例题1】求周期并绘制简图 【例题2】图象变换描述 【例题1】求周期并绘制简图 求下列函数的周期，并用五点法画出它们在一个周期内的简图： (1) (2) (1) 周期 0 0 0 1 0 -1 0 图象特征：在 内完成一个完整周期，比 “密”一倍 (2) 周期 0 0 0 1 0 -1 0 图象特征：在 内完成一个完整周期，比 “疏”三倍 【例题2】图象变换描述 说明下列函数的图象由 的图象经过怎样的变换得到： (1) (2) 解答： (1) 将 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到 的图象。 (2) 将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 的图象。 【例题3】周期应用 已知函数 （）的图象在区间 上恰好有一个最高点和一个最低点，求 的取值范围。 分析： - 一个最高点和一个最低点意味着包含 个周期到 个周期之间 - 更准确地说，需要包含一个最大值点和一个最小值点 步骤： - 周期 - 在 上， - 要有一个最高点和一个最低点，需要： - 至少包含 （第一个最高点）和 （第一个最低点） - 但不能包含第二个最高点 所以： 解得： 即 答案： 【例题4】综合应用 函数 （）在区间 上至少出现 10 次最大值，求 的最小值。 分析： - 每个周期出现一次最大值 - “至少10次最大值”意味着至少包含9个完整周期加第一个最大值点 步骤： - 周期 - 第10个最大值出现在 - 要求这个值 ： 解得： 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 函数 的周期是 ______，它是由 的图象横坐标 ______ 得到的。 答案： ；缩短为原来的 【基础训练】 2. 函数 的周期是 ______，它是由 的图象横坐标 ______ 得到的。 答案： ；伸长为原来的 3 倍 【基础训练】 3. 要得到 的图象，只需将 的图象（　） A. 横坐标缩短为 　　　B. 横坐标伸长为 2 倍 C. 纵坐标缩短为 　　　D. 纵坐标伸长为 2 倍 答案： B 【基础训练】 4. 用五点法画出 在 上的简图，并指出其单调递增区间。 答案： - 周期 - 五点：, , , , - 单调递增区间：，（或一般形式 ，） 【基础训练】 5. 已知函数 的周期为 ，则 ______。 解析：，解得 【能力提升】 6. 函数 （）在 内恰好有 3 个零点（包括端点），求 的取值范围。 答案： - 零点为 （） - 恰好3个零点：，且 - 所以 - 解得 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 函数 的周期是（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 解析： 2. 将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），所得函数的周期是（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 解析：变换后函数为 ，周期 【填空题】（每题5分） 3. 函数 在 上的零点个数为 ______。 解析：周期 ，在 上零点为 ，共3个 4. 若函数 （）在区间 内单调递增，则 的取值范围是 ______。 解析： - 的增区间为 - 取 ，增区间为 - 要求 - 即 ，解得 - 又 ，所以 【解答题】（10分） 5. 已知函数 （）。 (1) 若 的周期为 ，求 ； (2) 在(1)的条件下，求 在 上的最大值和最小值。 答案： (1) 由 ，得 (2) - 当 时， - 在 递增，在 递减 - 当 即 时， - 当 或 时， 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 3. 思想方法 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 53 2. 方法小结 1. 周期计算 - 公式法：（注意 正负） - 定义法：找最小正数 使 2. 图象变换描述规范 > “将 图象上所有点的横坐标 变为原来的 （纵坐标不变），得到 的图象” 注意： - 说”缩短”还是”伸长”取决于 还是 - 必须强调”纵坐标不变” 3. 五点法作图步骤 1. 计算周期 2. 确定五点横坐标：（即 ） 3. 计算对应纵坐标： 4. 描点连线 3. 思想方法 数形结合：通过图象直观理解周期变化 参数思想： 作为参数控制周期，体现数学建模思想 变换思想：图象的伸缩变换，为后续学习平移、振幅变换做准备 特殊到一般：从 等特殊值归纳一般规律 $