精品解析：湖北孝感市大悟县2025-2026学年上学期期末学情调研检测九年级数学试卷

大悟县2025——2026学年度上学期期末学情调研检测 九年级数学试卷 （本卷满分120分，考试时长120分钟） 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在答题卡指定的位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，计30分．下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．） 1. 下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B. 画一个三角形，其内角和为 C. 抛掷一枚骰子，朝上面的点数是5 D. 射击运动员射击一次，命中9环 3. 林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率 结果保留小数点后三位 0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902 下列说法正确的是（ ） A. 若移植10棵幼树，成活数将为8棵 B. 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 C. 移植的幼树越多，成活率越高 D. 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900 4. 随着环保意识的增强和技术的革新，新能源汽车逐渐成为消费者的热门选择，某品牌新能源汽车今年3月份的销量为1200辆，由于国补政策的连月升温，5月份的销量为3500辆，设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到位置，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，圆锥体的高底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D. 10. 如图1，在四边形ABCD中，ADBC，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ABC，P为BD上一个动点，E为AB中点．设x＝PD，y＝PA+PE，得图2所示y关于x的函数图象，其中Q（m，n）是图象的最低点，则m+n的值为（　　） A. 7 B. 7 C. 9 D. 9 二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每小题3分，计15分．） 11. 在英文单词 believe 中，字母“e”出现的频率是_______． 12. 已知点M的坐标为，则点M关于原点对称的坐标为______． 13. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表，则__________． … －1 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于E，F两点，过点F作⊙O的切线交AB于点G．若AC＝3，CD＝2.5，则FG的长是________． 15. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是_____． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分．） 16. 解方程 （1） （2） 17. 已知二次函数y＝x2+2x+3． （1）利用配方：将y＝x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出抛物线的顶点坐标； （2）当﹣1＜x＜3时，请直接写出函数值y的取值范围． 18. 已知，是方程的两个根． （1）若，求的值： （2）若，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 20. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．张琪和李荷是电竞游戏的爱好者，她们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为、、、四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）张琪购买门票在区观赛的概率为___________； （2）求张琪和李荷在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 21. 某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； （2）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 22. 如图，，分别是的直径和弦，半径于点．过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 23. 已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，连接EF、CF、AF． （1）如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果） （2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论； （3）点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数． 24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线．交y轴于点点P是该抛物线上的动点，其横坐标为m，将点P沿y轴正方向向上平移1个单位长度得到点Q，过点P作轴于点N，连结，以为边作矩形． （1）求此抛物线对应的函数关系式； （2）记抛物线的顶点为，在第一象限内是否存在点，使得的面积为若存在，请求出点P的坐标； （3）在A、P两点之间的部分（包含A、P两点）图象记为G．设线段与此抛物线的交点的横坐标为n，图象G最高点与最低点的纵坐标之差为h，若，求h的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大悟县2025——2026学年度上学期期末学情调研检测 九年级数学试卷 （本卷满分120分，考试时长120分钟） 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在答题卡指定的位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，计30分．下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．） 1. 下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键． 根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B. 画一个三角形，其内角和为 C. 抛掷一枚骰子，朝上面的点数是5 D. 射击运动员射击一次，命中9环 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的判断， 根据随机事件和必然事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：因为任意投掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，所以A不符合题意； 因为画一个三角形，其内角和为是必然事件，所以B符合题意； 因为抛掷一枚骰子，朝上面的点数是5是随机事件，所以C不符合题意； 因为射击运动员射击一次，命中9换是随机事件，所以D不符合题意． 故选：B． 3. 林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率 结果保留小数点后三位 0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902 下列说法正确的是（ ） A. 若移植10棵幼树，成活数将为8棵 B. 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 C. 移植的幼树越多，成活率越高 D. 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900 【答案】D 【解析】 【分析】题考查了利用频率估计概率，概率的意义．概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． 【详解】解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴所以这种幼树移植成活率的概率约为， 故选D． 4. 随着环保意识的增强和技术的革新，新能源汽车逐渐成为消费者的热门选择，某品牌新能源汽车今年3月份的销量为1200辆，由于国补政策的连月升温，5月份的销量为3500辆，设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率的应用，根据题意，3月份到5月份间隔2个月，销量从1200辆增长到3500辆，设月平均增长率为，则5月份的销量为，由此建立方程． 【详解】解：设每月销量的平均增长率为，则4月份的销量为辆，5月份的销量在4月份基础上再增长，即辆，根据题意得： ， 故选：B． 5. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得和则可求得答案． 【详解】解：∵分别切于A、B，切于点E， ∴， ∴， 即的周长为12， 故选：D． 6. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到位置，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换，熟练掌握旋转性质，是解决此题的关键，根据旋转变换的性质得出,根据，求出，进而计算即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∵， ， 故选：A． 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的情况，利用一元二次方程的定义和判别式判断根的情况是解题的关键．根据一元二次方程的定义得到，再利用根的判别式，解出不等式组即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且． 故选：D． 8. 如图，圆锥体的高底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，解题的关键是先利用勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式计算． 先根据圆锥的高和底面半径，用勾股定理求出母线长；再将和底面半径代入侧面积公式，计算得出结果． 【详解】解：， ． ． 故选：C． 9. 如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将化为顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，s有最大值，此时． ∵飞机滑行到最大距离时停下来，此时时间也为最大值， ∴， 故选：A． 10. 如图1，在四边形ABCD中，ADBC，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ABC，P为BD上一个动点，E为AB中点．设x＝PD，y＝PA+PE，得图2所示y关于x的函数图象，其中Q（m，n）是图象的最低点，则m+n的值为（　　） A. 7 B. 7 C. 9 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由图2即点P的运动可知，当点P和点B重合时，y＝9；过点A作AA′⊥BD于点M，交BC于点A′，连接A′E交BD于点P，连接AP，通过计算可得此时的点P对应图2中的点Q；结合∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，分别求解即可． 【详解】解：∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°， ∵ADBC， ∴∠ADB＝∠DBC＝30°， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD； 如图，过点A作AA′⊥BD于点M，交BC于点A′，连接A′E交BD于点P，连接AP， ∴∠AMB＝∠A′MB＝90°， ∵∠ABD＝∠CBD，BM＝BM， ∴△AMB≌△A′MB（ASA）， ∴AM＝A′M，AB＝A′B， ∴点A与点A′关于BD对称，y＝PA+PE取得最小值，即此时的点P对应图2中的点Q， ∴n＝A′E， 由图2即点P的运动可知，当点P和点B重合时，y＝9； ∴AB+BE＝9， ∵AB＝A′B，∠ABC＝60°， ∴△ABA′是等边三角形， ∵点E是AB的中点， ∴AB＝2BE，A′E⊥AB， ∴2BE+BE＝9， ∴BE＝3，AB＝6， ∴BD＝2BM＝2×＝ 6， 在Rt△A′BE中，∠A′EB＝90°，∠ABC＝60°， ∴A′EBE＝3，即n＝3； 同理可得，BPBE＝2， ∴DP＝4，即m＝4； ∴n+m＝7． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及等边三角形的性质与判定，含30°的直角三角形的三边关系，轴对称最值问题等内容；解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每小题3分，计15分．） 11. 在英文单词 believe 中，字母“e”出现的频率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出英文单词believe总的字母个数和e的个数，再根据握频率=进行计算即可． 【详解】解：∵英文单词believe共有7个字母，其中有3个e， ∴字母“e”出现的频率是； 故答案为：. 【点睛】此题考查频数与频率，解题关键在于掌握频率的计算公式即可. 12. 已知点M的坐标为，则点M关于原点对称的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标的横纵坐标均为相反数求解即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的定义可知，点M的坐标为，则点M关于原点对称的坐标为， 故答案为：． 13. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表，则__________． … －1 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，利用二次函数的点求解是解题的关键．先确定出表格给出的抛物线上点的坐标，然后求解即可． 【详解】解：根据表格可得出该二次函数经过点、点和点， 代入原式可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于E，F两点，过点F作⊙O的切线交AB于点G．若AC＝3，CD＝2.5，则FG的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接DF，OF，根据切线的性质可得到OF⊥FG，即∠OFG=90°，从而得到∠OFC=∠OCF，再由∠ACB＝90°，D为AB的中点，可得∠BGF=90°，AB=2CD=5，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到∠DFC=90°，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：连接DF，OF，如图， ∵FG是⊙O的切线 ∴OF⊥FG，即∠OFG=90°， ∴∠OFC+∠GFB=90° ∵OF=OC ∴∠OFC=∠OCF ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴BD=CD ∴∠DBC=∠DCB ∴∠B=∠OFC ∴∠B+∠GFB=90° ∴∠BGF=90° ∵CD=2.5， ∴AB=2CD=5， ∵AC＝3， ∴， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠DFC=90°， ∴FD⊥BC， ∵DB=DC， ∴BF=BC=2， ∵∠B=∠B，∠ACB=∠BGF=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴， ∵， 即， ∴FG=． 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 15. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：∵点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴，， ∴，， 代入 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，即，③错误，不符合题意． 综上所述，结论正确的是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分．） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法，如公式法、配方法或因式分解法． （1）先将方程两边同除以2简化，再用配方法或公式法求解； （2）通过十字相乘法进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， ． 【小问2详解】 解： ， 或， ． 17. 已知二次函数y＝x2+2x+3． （1）利用配方：将y＝x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出抛物线的顶点坐标； （2）当﹣1＜x＜3时，请直接写出函数值y的取值范围． 【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+5，顶点坐标为：（2，5）；（2）＜y≤5． 【解析】 【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数顶点坐标得出答案； （2）直接利用二次函数增减性以及结合极值法求出y的取值范围． 【详解】（1）由题意可得： y=x2+2x+3=（x﹣2）2+5， 顶点坐标为：（2，5）； （2）当﹣1＜x＜3时， 当x=﹣1，y=， 则y的取值范围为：＜y≤5． 【点睛】此题主要考查二次函数的性质，用配方法求顶点坐标以及增减性，熟练掌握，即可解题. 18. 已知，是方程的两个根． （1）若，求的值： （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知：该一元二次方程有两个相等的实数根，从而令，即可求出结论； （2）根据根与系数的关系可得，然后代入已知等式即可求出m的值，然后根据进行取舍即可． 【详解】解：（1） ∴． 解得 （2）是方程的两个根， ， ， 即 解得 ∵方程有实数根， ． 解得： 应舍去． ． 【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况求参数的值和根与系数的关系，掌握一元二次方程根的情况与的关系和根与系数的关系是解决此题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1）A1B1C1即为所求； （2）A2B2C2即为所求；     （3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 20. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．张琪和李荷是电竞游戏的爱好者，她们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为、、、四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）张琪购买门票在区观赛的概率为___________； （2）求张琪和李荷在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种， 小明和小张在同一区域观看比赛的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 由题意得，小明购买门票在区观赛的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 略 21. 某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； （2）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】（1）每件衬衫的售价90元 （2）每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键． （1）设每件衬衫的售价上涨x元，则且（即），即可求解； （2）由结合二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每件衬衫的售价上涨x元，由题意得： 且（即）， 解得：（舍弃）， ∴， 答：每件衬衫的售价90元 【小问2详解】 解：每件衬衫的售价上涨x元，月利润是y元， 则， ∴，开口向下， ， ∴当时，y有最大值，最大值为； 此时每件衬衫的售价为（元）， 答：每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元． 22. 如图，，分别是的直径和弦，半径于点．过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可以证得，根据全等三角形的性质以及切线的性质定理可以得到，即，即可证得是的切线； （2）根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接， 是的切线，是的直径， ， 于点， ， ， 在和中， ， （SAS）， ， ， 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：于点， ， ，是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 23. 已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，连接EF、CF、AF． （1）如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果） （2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论； （3）点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数． 【答案】（1） 解：， 理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴， ∵将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF， ∴BE=BF，∠EBF=， ∴∠EBF=∠ABC， ∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF， ∴（SAS） ∴∠BAE=∠BCF=， ∴∠ACF=， ∴∠AFC+∠FAC=； （2） （1）的结论仍然成立， 理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=， ∵将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF， ∴BE=BF，∠EBF=， ∴∠EBF=∠ABC， ∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF， ∴（SAS） ∴∠BAE=∠BCF=， ∴∠ACF=， ∴∠AFC+∠FAC=； （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可证，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性质可得结论； （2）由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可证，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性质可得结论； （3）由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得AB=AE，再分这情况讨论，结合等腰三角形的性质可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，当点E在点A下方时， ∵△ACF是等腰直角三角形， ∴AC=CF， ∵△ABE≌△CBF， ∴CF=AE， ∴AC=AE=AB， ∴∠ABE=， ∴∠EBC=， 如图，当点E在点A上方时， 同理可得： ∴ ∴∠EBC=． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线．交y轴于点点P是该抛物线上的动点，其横坐标为m，将点P沿y轴正方向向上平移1个单位长度得到点Q，过点P作轴于点N，连结，以为边作矩形． （1）求此抛物线对应的函数关系式； （2）记抛物线的顶点为，在第一象限内是否存在点，使得的面积为若存在，请求出点P的坐标； （3）在A、P两点之间的部分（包含A、P两点）图象记为G．设线段与此抛物线的交点的横坐标为n，图象G最高点与最低点的纵坐标之差为h，若，求h的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、三角形面积计算、二次函数图象上点的坐标特征以及函数最值分析，解题的关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，掌握割补法求三角形面积，并能根据二次函数的性质分析图象上的最值问题． （1）将点代入抛物线解析式，通过解方程求出，进而得到抛物线的函数关系式； （2）利用割补法，将的面积转化为梯形与两个三角形的面积差，列出方程求解，再根据点在第一象限筛选出符合条件的坐标； （3）根据线段与抛物线交点的横坐标，先求出对应点的纵坐标，进而得到点的纵坐标，再结合二次函数的对称轴与单调性，确定图象的最高点和最低点纵坐标，从而求出的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入中，得，解得． ∴该函数解析式为． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，直线与直线的交点为，直线与轴的交点记为． 由题意可得， ． 即． 解得． 因为点在第一象限，所以． 将代入函数中，得． 点的坐标为． 【小问3详解】 解：由题意知，点在对称轴右侧． 情况一：当与抛物线的交点的横坐标为2时，如图所示． 将代入中，得，所以． ∵点向上平移一个单位得到点， ． 将代入中，得（舍） 因此，当时，图像有最高点，此时纵坐标为2；当时，图像有最低点， 此时纵坐标为． ． 情况二：当与抛物线的交点的横坐标为3时，如图所示． 将代入中，得，所以． ∵点向上平移一个单位得到点， ． 将代入中，得（舍） 因此，当时，图像有最高点，此时纵坐标为2；当时，图像有最低点， 此时纵坐标为． ． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $