精品解析：山东烟台市莱阳市2025-2026学年 九年级上学期数学期末试题

山东烟台市莱阳市2025-2026学年九年级上学期 数学期末试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 2. 如图，点是射线上一点，过点作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过点的双曲线交边于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质，正确掌握待定系数法和正方形的性质是解题的关键． 设点的坐标为，则点的坐标为，把点的坐标代入，得到反比例函数的解析式为，结合正方形的性质，得到，，，求出线段和线段的长度，即可得到答案． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点是射线上一点，过点作轴于点， ∴点的坐标为， ∵过点的双曲线交边于点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵以为边在其右侧作正方形， ∴，，， ∴，， ∴． 故选：A． 3. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求角的余弦，取格点，连接，先由勾股定理逆定理得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格可得，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，路灯到地面的距离是，身高的小明从点处沿所在的直线行走到达点时，小明的影子的长度（ ） A. 变长 B. 变长 C. 变短 D. 变短 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，可证明得到，，则，，根据得到，据此可得答案． 详解】解：如图所示，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴小明的影子的长度变短， 故选：D． 5. 老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 6. 如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理及推论是解题的关键． 连接，交于点，作于点，证明，得到，根据是直径得出，证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于点，作于点， ∵点为的内心， ∴是的角平分线，是的角平分线，即，， ∴， ∴， ∵是直径得出， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于、两点，与轴交于点交双曲线于点，连接，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、与中点有关的三角形的面积的计算及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．过点作轴于，则，求出，得出点为的中点，再由得出，得出点是的中点，从而得出，根据反比例函数的几何意义即可得答案． 【详解】解：过点作轴于，则， ∵反比例函数与交于点， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∵函数与交于点，轴， ∴， 解得：， ∵图象在第一象限， ∴． 故选：B． 8. 如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　） A. （ +）海里 B. 2海里 C. （+1）海里 D. 2海里 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作OC的垂线BD，过点A作AE⊥OB，根据题意要求长度即为转化为求BD的长度.根据△OBD的特殊角度的三角函数可求得AE=，利用△AOE特殊角度的三角函数求得OE=2，OB=2+2.通过△BOD可求得BD长度. 【详解】如图，作BD⊥OC于D，则船A离灯塔B的最近距离是BD的长．作AE⊥OB于E． 在直角△ABE中， ∵∠AEB＝90°，∠ABE＝∠BAD﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，AB＝4， ∴AE＝BE＝AB＝2． 在直角△AOE中，∵∠AEO＝90°，∠AOE＝30°， ∴OE＝＝＝2， ∴OB＝OE+BE＝2+2． 在直角△BOD中，∵∠ODB＝90°，∠BOD＝30°， ∴BD＝OB＝+． 故选A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本类题型的关键是构造直角三角形，利用特殊角度的三角函数求线段长度. 9. 如图，在菱形中，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积计算，灵活运用图形割补法是解题的关键． 根据菱形性质与已知角度，可判定为等边三角形，结合中点条件得到；再由及推出的角度关系，进而得到为等边三角形；最后通过“阴影面积”的割补思路，代入等边三角形与扇形面积公式，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形，， 点是的中点， ，即， ，， ， ， 由对称性可得，， 是等边三角形， 在中，，， ，， ，， ． 故选：． 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③；④；⑤若，且，则．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程的关系． 由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ， 故①错误； ②∵对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是最大， ∴为任意实数，则， ， ∴②正确； ③∵对称轴是直线，与轴交点在左边， ∴二次函数与轴的另一个交点在与之间， ∴当时，， ， 故③错误； ， 由③得， ， ∴④正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ∴⑤正确； 综上可知，正确的有②④⑤，共个， 故选： C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，函数 与反比例函数交于A、B两点， 点C在x轴上， 且， 若则k的值= ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，作轴于点D，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵， ∴， ∵函数 与反比例函数交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即， ∴， 故答案为：． 12. 如图，中，，，，于点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求锐角的余弦值、直角三角形两锐角互余及勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．利用勾股定理求出，根据角的和差关系得出，根据三角函数的定义即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】∵是圆直径， ∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， ∵、、、所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 14. 如图，正方形与等边内接于，，则度数为_____． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形的综合问题，涉及中心角的求解，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，求出中心角的度数． 连接，先求出中心角，，然后证明，再由等腰三角形的性质求解的度数，最后由角度和差计算求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 某种商品每件的进价为元．经调查表明：在某段时间内，这种商品若以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为_____元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．正确得出利润关于的关系式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．设利润为元，根据利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价得出关于的关系式，再根据二次函数的性质求最大值即可得答案． 【详解】解：设利润为元， ∵商品每件的进价为元，以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件， ∴， ∵， ∴时，有最大值， ∴要使利润最大，每件的售价应为元． 故答案为： 16. 抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线解析式为，，即可得出，即可表示出的长，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵点是抛物线上的任意一点，轴交于点， ∴， ∴，， ∵位于线段的上方， ∴，， ∵，的长度随增大而减小， ∴， ∴取值范围是． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 如图，一次函数与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． （1）分别写出这两个函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）若为反比例函数在第一象限的图象上一点，且的面积为3，点在点的左侧，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）把代入和，求出和的值，即可得答案； （2）根据一次函数解析式求出，，联立两个解析式求出，根据即可得答案； （3）过点作轴，交于，根据点坐标得出直线解析式为，得出，，的面积为，利用三角形面积公式列方程求出的值，即可得答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数交于点和点， ∴，， 解得：，， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数解析式为， ∴当时，，当时，， ∴，，， 联立一次函数与反比例函数解析式得：， 解得：，， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，交于， 设直线解析式为，， ∵ ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∵点在第一象限，且在点的左侧， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 18. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，) 【答案】6.2米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题； 过点作于点，于点，先根据正切的定义求出，设米，根据坡度的概念用表示出，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：在中，米，， ， 米， 过点作于点，于点， 则四边形为矩形， ，， 设米， 米， 斜坡的坡比是：， 米， 米， 在中， 解得：，经检验是原方程的解， 答：点离地面的距离约为米． 19. 如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，是羽毛球落地点．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为． （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加，则发球机的弹射出口高度应调整为多少米？ 【答案】（1）羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为； （2）发球机的弹射出口高度应调整为． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可； （2）抛物线形状和对称轴不变，即不变，设调整后抛物线的表达式为，求出的值，代入解析式，当时即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ， 解得， ， 羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为． 【小问2详解】 解：设调整后抛物线的表达式为， 发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加， 时，， ， 解得，， ． 当时，， 发球机的弹射出口高度应调整为． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到即可证明结论； （2）先证明可得是等边三角形，即、，进而得到、，最后结合即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用、求解扇形的面积等知识点，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． 21. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的很多方面．一款智能机器人的侧面示意图如图所示，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求这款机器人的最高点距地面的高度．（参考数据） 【答案】最高点距地面的高度为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 过点、分别作，，垂足为、，过点作，垂足为，分别解，，求出、的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：如图，过点、分别作，，垂足为、，过点作，垂足为， ∴四边形为矩形，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最高点距地面的高度为． 22. 某商店销售的一种商品每件进价20元，在第天（）的售价与销量的相关信息如表： 时间／天 售价／（元／件） 70 每天销量／件 设每天销售这种商品的利润为元． （1）当时，求与的函数关系式； （2）销售第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值，解答时求出函数的解析式是关键． （1）根据单价乘以销量可得利润，列出函数关系式即可； （2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案． 【小问1详解】 解： 当时，， ∴当时， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时， ， ∵， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴为，当时， 最大， 当时， ， ∵， ∴当时， 最大， 最大值为； 综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元． 23. 如图，在中，以的边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． （1）连接，根据切线的性质得出，即可证明，根据平行线的性质，结合等腰三角形的性质即可得出； （2）连接，利用勾股定理求出，根据是直径得出，根据角的和差关系可得，即可证明，根据相似三角形的性质可求出的长，进而可得答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如（1）中图，连接， ∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴，即的半径为． 24. 如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求这条抛物线的表达式和的值； （2）如图，点为第一象限抛物线上的点，连接，，，当时，求点的坐标； （3）如图，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点、分别为的边、上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将点、的坐标代入抛物线解析式，求出系数、，结合直角三角形的边角关系确定的值； （2）先求出点的坐标，通过三角函数值相等得到角相等，结合推出，进而确定点的坐标，再联立直线与抛物线的解析式求解点的坐标； （3）通过构造全等三角形将转化为，利用“两点之间线段最短”将问题转化为求的值，结合已知条件求出点的坐标，最后用勾股定理计算的长度，得到的最小值． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和， ，解得：， 抛物线解析式为：， ，， 在中，； 【小问2详解】 解：延长交轴于点， 抛物线与轴交于点和点， 时，， 解得：，， ， ，，， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 由 得（舍去），， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，作，且使，连接，， ，， 在和中， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 作， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：或（舍去）， ， ， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、轴对称性质及两点间距离公式等，熟练运用相关知识和转化思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东烟台市莱阳市2025-2026学年九年级上学期 数学期末试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点是射线上一点，过点作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过点的双曲线交边于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，路灯到地面距离是，身高的小明从点处沿所在的直线行走到达点时，小明的影子的长度（ ） A. 变长 B. 变长 C. 变短 D. 变短 5. 老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于、两点，与轴交于点交双曲线于点，连接，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　） A. （ +）海里 B. 2海里 C. （+1）海里 D. 2海里 9. 如图，在菱形中，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数图象如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③；④；⑤若，且，则．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，函数 与反比例函数交于A、B两点， 点C在x轴上， 且， 若则k值= ____________． 12. 如图，中，，，，于点，则的值为_____． 13. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 14. 如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 15. 某种商品每件的进价为元．经调查表明：在某段时间内，这种商品若以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为_____元． 16. 抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 如图，一次函数与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． （1）分别写出这两个函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）若为反比例函数在第一象限的图象上一点，且的面积为3，点在点的左侧，求点的坐标． 18. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，) 19. 如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，是羽毛球落地点．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为． （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加，则发球机的弹射出口高度应调整为多少米？ 20. 如图，在中，，以为直径分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分面积． 21. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的很多方面．一款智能机器人的侧面示意图如图所示，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求这款机器人的最高点距地面的高度．（参考数据） 22. 某商店销售的一种商品每件进价20元，在第天（）的售价与销量的相关信息如表： 时间／天 售价／（元／件） 70 每天销量／件 设每天销售这种商品的利润为元． （1）当时，求与的函数关系式； （2）销售第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 23. 如图，在中，以的边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 24. 如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求这条抛物线的表达式和的值； （2）如图，点为第一象限抛物线上的点，连接，，，当时，求点的坐标； （3）如图，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点、分别为的边、上的动点，且，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $