精品解析：山东省烟台莱阳市（五四制）2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末学业水平检测 初四数学 温馨提示： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、卷面书写（本题满分3分 二、选择题（本题共10个小题，满分30分．每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案． 【详解】解：该几何体左边是一个圆柱，从上面看，看到的是一个长方形，该几何体右边下部分是正方体，上部分是圆柱，看到的是一个正方形内里镶嵌一个圆， 即该几何体的俯视图是：． 故选：A． 2. 如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A. 这条圆弧所在圆的半径为 B. 点在这条圆弧所在圆外 C. 原点在这条圆弧所在圆上 D. 这条圆弧所在圆的圆心为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 3. 已知，，是反比例函数的图像上的三点，若，，则下列关系式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性．首先确定该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，结合题意确定，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点，在第三象限，点在第一象限， ∴， ∴，，，， ∴选项B、C、D正确，不符合题意，选项A不正确，符合题意． 故选：A 4. 定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 4.5千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解， 【详解】解：如图，过点作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 5. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 6. 如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（　　） A 俯视图不变，左视图不变 B. 主视图改变，左视图改变 C 俯视图不变，主视图不变 D. 主视图改变，俯视图改变 【答案】A 【解析】 【分析】结合几何体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化. 【详解】将正方体①移走后， 新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变，主视图发生了改变， 故选A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键． 7. 如图，方格纸中小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形．过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 8. 设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故C选项错误； 如图所示，若，则， 故B选项正确，D选项错误； 故选：B 9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ） A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算以及弧长的计算，设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为8尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺， 故选：A． 10. 如图，函数的图像过点和（其中），有下面五个判断：①；②；③；④ ⑤；其中正确的个数（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图像及其性质，利用数形结合思想，抛物线的性质计算判断即可． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确， ∵， ∴，即， 故②正确， ∵函数的图像过点和（其中）， ∴，， ∴，， ∴ ， 故③正确， ∵函数的图像过点和（其中）， ∴， ∵， 故④正确， ∵函数的图像过点和（其中）， ∴ ∴， 故⑤正确， 故选：D． 三、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果） 11. 如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，熟练掌握平行投影的变化规律是解题的关键：①太阳光下物体影子的长短不仅与物体的高度有关，而且与时间有关：同一时刻，高物体的影子较长，所有物体的影子长度与其高度成正比；②太阳光下物体影子的方向和长度变化规律（北半球）如下：一天之中，由于太阳东升西落，所以早晨物体的影子向西，傍晚物体的影子向东．一天之中，物体影子的方向变化为：正西—西北—正北—东北—正东，影子的长度变化为：长—短—长． 根据不同时刻物体在太阳光下的影子的方向、大小的变化规律进行判断即可：就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：正西—西北—正北—东北—正东，物体影子的长短为：长—短—长． 【详解】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③， 故其按时间的先后顺序为：， 故答案为：． 12. 如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设米，，根据三角形函数得出，，根据，得出，求出，据此计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 设米， 在中，， ∴， 中，， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， 这棵树的高度约为米． 故答案为：． 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点C，且，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形并利用三角形的面积公式得出是解题的关键． 连接、，由三角形的面积公式可得，，进而可得，，于是可得，然后根据反比例函数的图象所在的象限，即可确定的值． 【详解】解：如图，连接、， 点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点C， ， ， ， 又， ， ， 反比例函数的图象在第四象限， ， ， 故答案为：． 14. 如图，是的直径，点C、D在上，且，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，连接，根据题意得出，根据勾股定理求出，再根据的角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 15. 如图是一款抛物线型落地灯简示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面2.25米，最高点C距灯柱的水平距离为1.5米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为____________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力，解题的关键是建立坐标系，将实际问题转化为数学问题．以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则点C坐标，点B坐标 设抛物线的解析式为， 将点B代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得：（舍去）或， 茶几到灯柱的距离为米， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，交的延长线于点F，连接，再以为直径画半圆，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，解直角三角形的计算．取的中点，连接，作于点，利用特殊角的三角形二次函数值求得，再根据扇形面积公式结合图形求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，作于点， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 四、解答题（本题共8个小题，满分69分，要求写出必要的证明过程或演算步骤） 17. 如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O，若，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，翻折变换，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 过点O作于点H，交于点M，连接，根据折叠的性质得到垂直平分，所以，再判断为等边三角形得到，接着根据垂径定理得到，然后证明是的中位线得到，最后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到的长即可． 【详解】解：过点O作于点H，交于点M，连接，如图， ∵弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ， ． 故答案为：． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）若点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，的面积为1，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案； （2）联立，即可求解； （3）设，则，根据三角形的面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数， ， 故， 将代入反比例函数， 得， ∴这个反比例函数的表达式； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或， 可知； 【小问3详解】 解：设，且，交x轴于点M，如图； ， ， ， 解得， 点P的坐标为或． 19. 在公园里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点D、E均在景点C的正北方向且米，景点B在景点C的正西方向，且米，景点B在景点A的南偏东方向且米，景点D在景点A的东北方向． （1）求道路AD的长度（结果保留根号）； （2）若甲从景点A出发沿的路径去景点E，与此同时乙从景点B出发，沿的路径去景点E，在两人速度相同的情况下谁先到达景点E？（参考数据：，） 【答案】（1）道路的长度约为米 （2）乙先到达点E 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可求出的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行判定即可解答． 【小问1详解】 解：过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，如图所示： 由题意得： ，， 在中，，米， （米）， （米）， 米， 米， （米）， 米， 在中，， （米）， 道路的长度约为米； 【小问2详解】 解：米，米， （米）， 在中，米， （米）， 在中，， （米）， 甲的路程（米）， 乙的路程（米）， ∵，两人速度相同， ∴乙先到达点E． 20. 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式： （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； （3）连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）由，先求出点坐标，然后将点坐标代入，即可求出的值，进而可得反比例函数解析式；由点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为可求出点坐标，将、两点坐标代入，可得二元一次方程组，解方程组即可求出、的值，进而可得一次函数解析式； （2）由（1）得，，根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式的解集即可； （3）根据两个三角形面积相等，可推出点一定在正比例函数或直线的图象上，联立方程组求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：设， ，， ，， ， 点在反比例函数图象上， ， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为， ， ， ， 、两点在一次函数的图象上， 将，代入，得： ， 解得：， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：，， 根据函数图象及交点坐标可知： 不等式时x的取值范围为：或； 【小问3详解】 解：， 根据同底等高可知，点一定在正比例函数的图象上， ， 解得：， 点的坐标为：或； 当点在直线右侧时，根据一次函数图象的平移规律可知，点在直线的图象上， ， 解得：或， 点的坐标为：或； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合（一次函数与反比例函数的交点问题），求一次函数解析式，求反比例函数解析式，根据交点确定不等式的解集，一次函数图象平移问题，三角形的面积公式，从函数的图象获取信息，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 21. 如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可得，由切线的性质可得，从而得到，再根据直角三角形的两锐角互余可得，最后根据等角的余角相等即可证明，进而证得； （2）连接，由直径所对的圆周角为直角可得，再结合，可证明，根据中点的性质可得的长度，再由勾股定理求得的长度，最后根据相似的性质可求得的长度． 【小问1详解】 证明：如图： 连接，则， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接： 可得， ∵为直径，且， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，切线的性质，直角三角形的两锐角互余，等角的余角相等，圆的直径所对的圆周角为直角，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点并正确作出辅助线是解题的关键． 22. 【情境探究】小明和小强做弹力球游戏．游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜． 【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示．一次游戏过程中：小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向直线和竖直方向直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2米的A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2m处，达到飞行最大高度为3.6m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离米，且飞行的最大高度为第一次的一半． 【问题解决】 （1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式； （2）小强在距起点8米处放置接球板，垂直地面于点E，且m，请通过计算判断谁会获胜． 【答案】（1）； （2）小明获胜，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法是关键 （1）设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出B坐标，再求出弹力球第二次着地前抛物线函数表达式：，把代入，求得y的值与比较大小即可 【小问1详解】 解：由题意：设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式：， 把代入，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：令，得，解得：， ∴， ∵，且飞行的最大高度为第一次的一半． ∴设弹力球第二次着地前抛物线的函数表达式：， 把代入得：，解得：， ∴， 把代入，得， ∵， ∴小强的接球板没有触碰到球，小明获胜 23. 图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，） （1）求的长； （2）如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯的旋转角的度数． 【答案】（1）4m （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和旋转的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． （1）过点B作于点E，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小，进而求出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在直角三角形中，∵， ∴， 在直角三角形中，∵m，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，m，m， ∴， ∴， ∴， 即云梯大约旋转了． 24. 如图1，经过原点的抛物线（、为常数，）与轴相交于另一点．直线：在第一象限内和此抛物线相交于点，与抛物线的对称轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）直线沿着轴向右平移得到直线，与线段相交于点，与轴下方的抛物线相交于点，过点作轴于点．把沿直线折叠，当点恰好落在抛物线上时（图2），求直线的解析式； （3）如图3，连接，把绕点顺时针旋转得到，在抛物线对称轴上是否存在点，使是为以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数上点的特征求得点的坐标，再根据待定系数法求抛物线解析式即可； （2）根据抛物线的解析式求得抛物线的对称轴为，设直线的解析式为，可得点，根据点的坐标可推得为等腰直角三角形，结合对称的性质和正方形的判定可得四边形是正方形，根据正方形的性质可求得点的坐标，结合二次函数的性质可得，列一元二次方程求解即可得到的值，即可得出答案； （3）根据旋转可得，求得，，根据等腰三角形的顶点分情况讨论，结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：在第一象限内和此抛物线相交于点， 把代入得，， ∴； ∵抛物线与轴相交于另一点，与直线相交于点， ∴把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交于点，交直线于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， ∵直线与轴相交于点， 将代入得， ∴点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 即直线与轴和轴的夹角是， ∵直线沿着轴向右平移得到直线，且轴， ∴，， 根据题意可知，是沿直线折叠得到的， ∴，，，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 故点的横坐标为， ∵点在抛物线上， 则，即， ∵四边形是正方形， ∴轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， 即， 故， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 解：如图，直线交轴于点，作于点，则， 由旋转得，， ∴，， 若点为等腰三角形的顶点，则存在两个满足条件的点： 当时，在中，， ∴； 当时，在中，， ∴； 若点为等腰三角形的顶点，则存在两个满足条件的点： 当时，在中，， 则 ∴； 当时，在中，， 则 ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数上点的特征，待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，旋转的性质，轴对称的特征，正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，能够根据等腰三角形的定义进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末学业水平检测 初四数学 温馨提示： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、卷面书写（本题满分3分 二、选择题（本题共10个小题，满分30分．每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A. 这条圆弧所在圆的半径为 B. 点在这条圆弧所在圆外 C. 原点在这条圆弧所在圆上 D. 这条圆弧所在圆的圆心为 3. 已知，，是反比例函数的图像上的三点，若，，则下列关系式不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 4.5千米 5. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是由10个同样大小小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（　　） A. 俯视图不变，左视图不变 B. 主视图改变，左视图改变 C 俯视图不变，主视图不变 D. 主视图改变，俯视图改变 7. 如图，方格纸中小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ） A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺 10. 如图，函数的图像过点和（其中），有下面五个判断：①；②；③；④ ⑤；其中正确的个数（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 三、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果） 11. 如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为______． 12. 如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是______米． 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点C，且，则k的值为______． 14. 如图，是的直径，点C、D在上，且，，则的长为_____． 15. 如图是一款抛物线型落地灯简示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面2.25米，最高点C距灯柱的水平距离为1.5米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为____________米． 16. 如图，在矩形中，，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，交的延长线于点F，连接，再以为直径画半圆，则阴影部分的面积为________． 四、解答题（本题共8个小题，满分69分，要求写出必要的证明过程或演算步骤） 17. 如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O，若，求的半径． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）若点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，的面积为1，求点P的坐标． 19. 在公园里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点D、E均在景点C的正北方向且米，景点B在景点C的正西方向，且米，景点B在景点A的南偏东方向且米，景点D在景点A的东北方向． （1）求道路AD的长度（结果保留根号）； （2）若甲从景点A出发沿的路径去景点E，与此同时乙从景点B出发，沿的路径去景点E，在两人速度相同的情况下谁先到达景点E？（参考数据：，） 20. 如图，在直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式： （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； （3）连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 21. 如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 22. 【情境探究】小明和小强做弹力球游戏．游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜． 【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示．一次游戏过程中：小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向直线和竖直方向直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2米A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2m处，达到飞行最大高度为3.6m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离米，且飞行的最大高度为第一次的一半． 【问题解决】 （1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式； （2）小强在距起点8米处放置接球板，垂直地面于点E，且m，请通过计算判断谁会获胜． 23. 图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，） （1）求的长； （2）如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯的旋转角的度数． 24. 如图1，经过原点的抛物线（、为常数，）与轴相交于另一点．直线：在第一象限内和此抛物线相交于点，与抛物线的对称轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）直线沿着轴向右平移得到直线，与线段相交于点，与轴下方的抛物线相交于点，过点作轴于点．把沿直线折叠，当点恰好落在抛物线上时（图2），求直线的解析式； （3）如图3，连接，把绕点顺时针旋转得到，在抛物线对称轴上是否存在点，使是为以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $