力学专题01 动量（1.1动量定理&动量守恒定律）专项训练 -2026届高考物理二轮复习精品合辑

力学专题01——动量（1.1动量定理&动量守恒定律）【解析版】 一、动量定理 1.（20分）解： 如图一所示，在真空中有一个折射率为n（n＞ no， no为真空的折射率）、半径为r的质地均匀的小球，频率为的细激光束在真空中沿直线BC传播，直线BC与小球球心O的距离为（l<r），光束于小球体表面C点经折射进入小球（小球成为光的传播媒质），并于小球表面的D点又经折射进入真空，设激光束的频率在上述两次折射后保持不变，求: 在两次折射过程中的激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小． 解:在由直线BC与小球球心O所确定的平面中，激光光束两次折射的光路BCDE如图二 ，图二中入射光线BC与出射光线DE的延长线交于G点．按照光的折射定律有， 式中与分别是相应的入射角和折射角．由几何关系还可知 激光光束经两次折射，其频率保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量的大小p和P相等，即（3） 上式中C为真空中的光速，h为普朗克常量．因射入小球的光束中光子的动量p沿BC方向，射出小球的光束中光子的动量p沿DE方向，光子动量的方向由于光束的折射而偏转了一个角度2，由图中几何关系可知 2＝ 2（-）（4） 若取线段GN1的长度正比于光子动量P，GN2的长度正比于光子动量p’，则线段 N1 N2的长度正比于光子动量的改变量p，由几何关系得（5） GN1 N2为等腰三角形，其底边上的高GH与CD平行，故光子动量的改变量p的方向沿垂直CD的方向，且由G指向球心O． 光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间，即式中Cn0／n是光在小球内的传播速率． 按照牛顿第二定律，光子所受小球作用平均力的大小为 . 按照牛顿第三定律，光子对小球的作用的平均力大小F=f,即力的方向由O指向G． 由（l）、（2）、（4）及（8）式，经过三角函数关系运算，最后可得. 光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面。前者表明光子具有能量，后者表明光子除了具有能量之外还具有动量。由狭义相对论可知，一定的质量m与一定的能量E相对应：，其中c为真空中光速。 （1）已知某单色光的频率为ν，波长为λ，该单色光光子的能量，其中h为普朗克常量。试借用质子、电子等粒子动量的定义：动量=质量×速度，推导该单色光光子的动量。 （2）光照射到物体表面时，如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样，将产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I表示。 一台发光功率为P0的激光器发出一束某频率的激光，光束的横截面积为S。当该激光束垂直照射到某物体表面时，假设光全部被吸收，试写出其在物体表面引起的光压的表达式。 （3）设想利用太阳光的“光压”为探测器提供动力，将太阳系中的探测器送到太阳系以外，这就需要为探测器制作一个很大的光帆，以使太阳光对光帆的压力超过太阳对探测器的引力，不考虑行星对探测器的引力。 一个质量为m的探测器，正在朝远离太阳的方向运动。已知引力常量为G，太阳的质量为M，太阳单位时间辐射的总能量为P。设帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光一半反射，一半吸收。试估算该探测器光帆的面积应满足的条件。 2.（20分）解： （1）光子的能量 〖2分〗 光子的动量 〖2分〗 可得 〖2分〗 （2）一小段时间Δt内激光器发射的光子数 〖1分〗 光照射物体表面，由动量定理 〖2分〗 产生的光压 〖1分〗 解得 〖2分〗 （3）由（2）同理可知，当光一半被反射一半被吸收时，产生的光压 〖2分〗 距太阳为r处光帆受到的光压 〖2分〗 太阳光对光帆的压力需超过太阳对探测器的引力 〖2分〗 解得 〖2分〗 二、动量守恒 1.解： （1）由题意可知探测器和行星组成的系统在作用的过程中动量和动能都守恒。 若规定U0的方向为正，则， （1） ， （2） 解得， （3） 因为，m<<M，所以，， （4） （2）由（1）可知，， （5） （3）不能。若的方向与图中的方向相反，则：， （6） ， （7） 解得， （8） 因为，m<<M，所以，， （9） （2）由于，故 ，即不能使探测器加速。 因此当飞船掠过行星时，利用“弹弓效应”会“盗”取行星的部分轨道动能，这对于质量巨大的行星造成的影响极小，但是却能够显著的提高飞船的速度，如此借助引力，是对推进系统的有益补充。 2．（20分）解： （1）飞船的加速度 〖1分〗 根据牛顿第二定律 〖1分〗 飞船受到的阻力 〖2分〗 （2）a．对飞船和尘埃，根据动量守恒定律 〖2分〗 解得 〖1分〗 由1/v-x图象可知 〖2分〗 解得 〖1分〗 b．设在很短的时间Δt内，与飞船碰撞的尘埃的质量为，所受飞船的作用力为。 飞船与尘埃发生的是弹性碰撞 解得 　　由于，所以碰撞后尘埃的速度 v2=2v0 〖3分〗 对尘埃，根据动量定理 其中 则飞船所受阻力 〖2分〗 设一个离子在电场中加速后获得的速度为v。 根据动能定理 〖1分〗 设单位时间内射出的离子数为n。 在很短的时间Δt内，根据动量定理 则飞船所受动力 〖2分〗 飞船做匀速运动 解得 〖2分〗 说明： （2）b，可按上述处理，即把整个过程分成若干小段，开始的一个Δt只考虑飞船（不发射粒子）与尘埃碰撞，接下来的下一个Δt只考虑飞船发射粒子（不考虑与尘埃碰撞）…… 也可做如下处理： 以匀速飞行的飞船为参考系，则尘埃以速度v0向飞船运动，发生弹性碰撞后又以速度v0反弹。 〖2分〗 设在很短的时间Δt内，与飞船碰撞的尘埃的质量为，所受飞船的作用力为。 对尘埃，由动量定理 其中 则飞船所受阻力为 〖3分〗 质量为M的物体具有平动动能，但不转动。物体内的弹簧机构将它分成两个质量分别为和的非转动物体，它们在原运动方向两侧的等角度共面方向上运动，如图所示。试证弹簧机构至少已经释放出的势能。 证明：设定M的初速度为分解后的速度为的速度为弹簧机构释放能量为则有： (1) (2) (3) 将（1）式乘加上（2）式乘，可以解得： ， 再代入（2）式，可得： ， 将它们代入（3）式后，便有： 因为在时有极大值故方括号内极小值为 ， 即有：。 3.解： （1）根据题目中“在运用动量定理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究”的提示下，我们按照图1所示的平面直角坐标系进行正交分解： 在x方向上： （1） 在y方向上： （2）图1 v v y x θ θ 设和的矢量和为，则： 结合（1）（2）可知，， 设木板对小球的作用力为 对小球运用动量定理，， （3） 则有：的方向指向y轴正方向，小球对木板的作用力为其反作用力，故其方向指向y轴负方向。 （2）经初步分析可以从代数和几何两个角度分别进行探讨。 方法一：运用正交分解的思想，选定水平方向和竖直方向为正交分解方向，从代数的角度进行演绎。 建立如图2所示的平面直角坐标系O-xy， a. 光束①和②强度相同： 设t时间内每束光穿过小球的粒子数为n，每个光子质量为m，速度为v, 将这两束光作为一个整体来研究。图2 ① ② S O x y 在激光射入介质小球前，对两个光束， 在x方向上： （4） 在y方向上： （5） 在激光射出介质小球后，对两个光束， 在x方向上： （6） 在y方向上： （7） 故， （8） （9） 则： （10） 由（8）（9）（10）可知，两光束动量变化量和小球对两光束的合力与同向，指向x轴正方向。则根据牛顿第三定律，两束光对小球产生的合力为其反作用力，方向指向x轴负方向。 b. 光束①比②的强度大。图3 ① ② S O x y 同理如图3，建立平面直角坐标系O-xy， 设t时间内光束①穿过小球的粒子数为n1，光束②穿过小球的粒子数为n2，每个光子质量为m，速度为v, 在激光射入介质小球前，对两个光束， 在x方向上： （11） 在y方向上： （12） 在激光射出介质小球后，对两个光束， 在x方向上： （13） 在y方向上： （14） 则： （15） （16） 的方向指向x轴正方向。 因为光束①比②的强度大，所以光束①中含有更多的粒子，则，则由（16）：的方向指向y轴负方向。 则： （17） 由（15）（16）（17）可知，指向直角坐标系第四象限， 又（18） 小球对光束①②的合力也指向直角坐标系第四象限， 根据牛顿第三定律，光束①②对小球的合力指向直角坐标系的第二象限（左上方） 方法二：还是运用正交分解的思想，但是选定了沿着弦的方向和垂直于弦的方向做为分解方向。然后运用折射定律将光学情境转化为可以与问题（1）中的力学情境进行类比的情境。如图4所示。 a. 先研究光束，设球外介质折射率，小球介质折射率，则有 （1） （2） 又因为圆中OA=OB，所以 （3） 由 （4） （5） （6 由（4）（5）（6） （7） 所以可类比问题（1），如图建立平面直角坐标系O-xy 取光束粒子流中的一个激光粒子（光子）研究，设其质量m，速度为v （8） （9） （10） 由（9）可知，（10）式中光子动量变化量和小球对光子的作用力与同向，指向y轴负方向，即垂直于AB指向圆心O。考虑到全部光子，则小球对光束的作用力也垂直于AB指向圆心O。 同理，小球对光束的作用力垂直于CD指向圆心O。 根据对称性，小球对光束中每一个光子的作用力的大小与的大小相等，即（11） 同时，因为两光束强度相同，故二者在相同时间内粒子流中粒子数相同，所以在对所有的光子所受的力合成后，两束光得出的大小相同，即（12） 由对称性可知，小球对两束光的合力由S指向O。 所以，两光束对小球的合力为其反作用力，与其等大反向，由O指向S。 b． 如图5所示，由a中论述可知，小球对光束的作用力垂直于AB指向圆心O, 小球对光束的作用力垂直于CD指向圆心O。但是由于光束的强度大于光束，所以相同时间内，光束中的粒子数更多，在对所有光子所受的力合成以后，光束得到的的大小大于光束运算后得到的的大小，即（12） S A B C D O 图5 F2总 F1总 所以小球对两束光的合力指向图中右下方，如图6所示。 根据牛顿第三定律，两光束对小球的合力为上述的反作用力，方向指向图中左上方。 S O 图6 方法三：对光子运用矢量的三角形定则，从几何的角度入手。 如图7所示，以研究光束为例，取其中一个光子作为研究对象。 考虑激光光束在介质小球球面上发生两次折射，因为光子在球外的速度v保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量大小和相等，即 （1） 图中入射光线SA与出射光线BE的延长线交于G点，由方法二中式可知 （2） 如图7所示，射入小球的光束中光子的动量沿SA方向，射出小球的光束中光子的动量沿BE方向，光子动量的方向由于光束的折射而偏转了一个角度。 若取线段GN1的长度正比于光子动量，GN2的长度正比于光子动量，则线段N1N2的长度正比于光子动量的改变量。为等腰三角形，其底边上的高GH与AB平行，故光子动量的改变量的方向沿垂直AB指向圆心方向。由几何关系可知： = （3） 这就得到了与方法二中（9）（10）含义相同的式子，其余解题过程可参考方法二。 50 学科网（北京）股份有限公司 $ 力学专题01——动量（1.1动量定理&动量守恒定律） 一、动量定理 1．（18分）某游乐园入口旁有一鲸鱼喷泉，在水泵作用下会从鲸鱼模型背部喷出竖直向上的水柱，将站在冲浪板上的玩偶模型托起，悬停在空中，伴随着音乐旋律，玩偶模型能够上下运动，非常引人驻足，如图所示。这一景观可做如下简化，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；设同一高度水柱横截面上各处水的速率都相同，冲浪板底部为平板且其面积大于水柱的横截面积，保证所有水都能喷到冲浪板的底部。水柱冲击冲浪板前其水平方向的速度可忽略不计，冲击冲浪板后，水在竖直方向的速度立即变为零，在水平方向朝四周均匀散开。已知玩偶模型和冲浪板的总质量为M，水的密度为ρ，重力加速度大小为g，空气阻力及水的粘滞阻力均可忽略不计。 （1）实际上当我们仔细观察发现喷出的水柱在空中上升阶段并不是粗细均匀的，而是在竖直方向上一端粗一端细，请你分析上升阶段的水柱是上端较粗还是下端较粗，并说明水柱呈现该形态的原因； （2） 计算喷泉单位时间内喷出的水的质量以及玩偶模型在空中悬停时，水对冲浪板的冲击力大小； （3）求玩偶在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。 2．喷射悬浮飞行器由抽水机、压缩机等组成，利用一根软管将水从河中抽入飞行器，再以较高的速度竖直向下喷出两道高压水柱，可将使用者推至距离水面几米的高度，如图所示。现有一质量为M的使用者被缓慢推至距离水面H的高度悬停，设此状态下飞行器的质量恒为m，水喷出前的速度为零，两个喷水口的横截面积均为S，水的密度为，重力加速度的大小为g，空气阻力以及抽水过程中软管和河水对飞行器的作用均可忽略不计。试求： （1）该使用者被缓慢推到距离水面H高的过程中，飞行器对使用者做的功； （2）使用者悬停在水面上方时候，飞行器喷水的平均功率。 3．一条均匀柔软的链条，长为L质量为M，今将其两端悬挂于天花板上非常靠近的两点。某时刻（设为t=0时），其中一端自悬点处突然断开而开始下落，试求: 此后天花板对链条另一端的拉力T随时间t的变化的关系。 4.（20分） 光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面。前者表明光子具有能量，后者表明光子除了具有能量之外还具有动量。由狭义相对论可知，一定的质量m与一定的能量E相对应：，其中c为真空中光速。 （1）已知某单色光的频率为ν，波长为λ，该单色光光子的能量，其中h为普朗克常量。试借用质子、电子等粒子动量的定义：动量=质量×速度，推导该单色光光子的动量。 （2）光照射到物体表面时，如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样，将产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I表示。 一台发光功率为P0的激光器发出一束某频率的激光，光束的横截面积为S。当该激光束垂直照射到某物体表面时，假设光全部被吸收，试写出其在物体表面引起的光压的表达式。 （3）设想利用太阳光的“光压”为探测器提供动力，将太阳系中的探测器送到太阳系以外，这就需要为探测器制作一个很大的光帆，以使太阳光对光帆的压力超过太阳对探测器的引力，不考虑行星对探测器的引力。 一个质量为m的探测器，正在朝远离太阳的方向运动。已知引力常量为G，太阳的质量为M，太阳单位时间辐射的总能量为P。设帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光一半反射，一半吸收。试估算该探测器光帆的面积应满足的条件。 5.（20分） 如图－所示，在真空中有一个折射率为n（n＞no， no为真空的折射率）、半径为r的质地均匀的小球，频率为的细激光束在真空中沿直线BC传播，直线BC与小球球心O的距离为（l<r），光束于小球体表面C点经折射进入小球（小球成为光的传播媒质），并于小球表面的D点又经折射进入真空，设激光束的频率在上述两次折射后保持不变，求: 在两次折射过程中的激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小． 二、动量守恒 6．随着科幻电影《流浪地球》的热映，“引力弹弓效应”进入了公众的视野。 “引力弹弓效应”是指在太空运动的探测器，借助行星的引力来改变自己的速度。为了分析这个过程，可以提出以下两种模式：探测器分别从行星运动的反方向或同方向接近行星，分别因相互作用改变了速度。如图所示,以太阳为参考系，设行星运动的速度为u，探测器的初速度大小为v0，在图示的两种情况下，探测器在远离行星后速度大小分别为v1和v2。 探测器和行星虽然没有发生直接的碰撞，但是在行星的运动方向上，其运动规律可以与两个质量不同的钢球在同一条直线上发生的弹性碰撞规律作类比。那么下列判断中正确的是 A．v1 > v0 B．v1= v0 C．v2 > v0 D．v2 =v0 7．当空间探测器从行星旁边绕过时，由于行星的引力作用，将“偷”取一部分行星的能量，使探测器的运动速率增大，在航天技术中，这是用来增大人造小天体运动速率的一种有效方法，称为“弹弓效应”。1997年10月15日发射升空的卡西尼号宇宙飞船在到达土星前，也是这样“偷”了两次金星，一次地球的能量使自己加速，直奔土星。当然中途经过巨大的木星时更不会放过，照例再“偷”一次，如图所示。 质量为m的空间探测器以相对于太阳的速度v0飞向质量为M的行星，此时行星相对于太阳的速度为u0，绕过行星后探测器相对于太阳的速度为v，此时行星相对于太阳的速度为u，由于M>m，故v0、v、u0、u的方向均可视为相互平行。 （1）试写出探测器与行星构成的系统在上述过程中“动量守恒”以及“始末状态总动能相等”的方程，并在m<<M的条件下，用v0和u0来表示v。 （2）若质量为m=150kg的空间探测器以相对于太阳的速度v0=10.4km/s飞向质量为M=5.671026kg的土星，此时土星相对于太阳的速度为u0=9.6km/s，绕过土星后探测器相对于太阳的速度为v，此时土星相对于太阳的速度为u，由于M>>m，故v0、v、u0、u的方向均可视为相互平行。若探测器与行星构成的系统在上述过程中“动量守恒”以及“始终状态总动能相等”，则探测器绕过土星后相对于太阳的速度v将增为多少？ （3）若探测器飞向行星时其速度v0与土星的速度u0同方向，则是否仍能产生使探测器速率增大的“弹弓效应”？简要说明理由。 8．我们一般认为，飞船在远离星球的宇宙深处航行时，其它星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计。此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。 设想有一质量为M的宇宙飞船，正以速度v0在宇宙中飞行。飞船可视为横截面积为S的圆柱体（如图1所示）。某时刻飞船监测到前面有一片尘埃云。v0 图1 （1）已知在开始进入尘埃云的一段很短的时间Δt内，飞船的速度减小了Δv，求这段时间内飞船受到的阻力大小。 x O 图2 （2）已知尘埃云分布均匀，密度为ρ。 a. 假设尘埃碰到飞船时，立即吸附在飞船表面。若不采取任何措施，飞船将不断减速。通过监测得到飞船速度的倒数“1/v”与飞行距离“x”的关系如图2所示。求飞船的速度由v 0减小1%的过程中发生的位移及所用的时间。 b. 假设尘埃与飞船发生的是弹性碰撞，且不考虑尘埃间的相互作用。为了保证飞船能以速度v 0匀速穿过尘埃云，在刚进入尘埃云时，飞船立即开启内置的离子加速器。已知该离子加速器是利用电场加速带电粒子，形成向外发射的高速（远远大于飞船速度）粒子流，从而对飞行器产生推力的。若发射的是一价阳离子，每个阳离子的质量为m，加速电压为U，元电荷为e。在加速过程中飞行器质量的变化可忽略。求单位时间内射出的阳离子数。 9．质量为M的物体具有平动动能，但不转动。物体内的弹簧机构将它分成两个质量分别为和的非转动物体，它们在原运动方向两侧的等角度共面方向上运动，如图所示。试证弹簧机构至少已经释放出的势能。 10．（1）动量定理可以表示为，其中动量p和力F都是矢量。在运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。例如，质量为m的小球斜射到木板上，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前后的速度大小都是v，如图1所示。碰撞过程中忽略小球所受重力。图1 v v y x θ θ a．分别求出碰撞前后x、y方向小球的动量变化、； b．分析说明小球对木板的作用力的方向。 （2）激光束可以看作是粒子流，其中的粒子以相同的动量沿光传播方向运动。激光照射到物体上，在发生反射、折射和吸收现象的同时，也会对物体产生作用。光镊效应就是一个实例，激光束可以像镊子一样抓住细胞等微小颗粒。 图2 ① ② S O 一束激光经S点后被分成若干细光束，若不考虑光的反射和吸收，其中光束①和②穿过介质小球的光路如图2所示。图中O点是介质小球的球心，入射时光束①和②与SO的夹角均为θ，出射时光束均与SO平行。请在下面两种情况下，分析说明两光束因折射对小球产生的合力的方向。 a．光束①和②强度相同； b．光束①比②的强度大。 50 学科网（北京）股份有限公司 $