精品解析：四川省绵阳市三台县三台博强外国语学校2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025年秋九年级第四学月学情调研数学试题 一、选择题（每题3分，共计36分） 1. 下列图标既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放广告 B. 任意买一张彩票，中奖 C. 在一个标准大气压下，温度时水会沸腾 D. 掷一枚硬币，正面朝上 3. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线为（　　） A. B. C. D. 4. 为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A. B. C. D. ，方程无实数解 6. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 7. 如图，一个六角亭，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在与中，，，连接，，若，，则的长为（　　） A B. 2 C. D. 9. 如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A. B. C. D. 11. 将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（　 　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 12. 如图，，斜边，内切圆切各边于点，连接，作交于，则长为 （ ） A B. C. D. 3 二、填空题（每个4分，共6题，共24分） 13. 若点与点关于原点对称，那么_______． 14. 已知关于的二次函数的图象开口向下，___________． 15. 某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车___________有危险（填“会”或“不会”）． 16. 设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，的平分线与相交于点，反比例函数经过点，那么的值为______． 18. 如图，在矩形中，，，点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点，点是边上一个动点，连接，，则线段的最小值为_____． 三、解答题（19题16分，20－24题每题12分，25题14分） 19. （1）解方程：（公式法）． （2）如图，三个顶点的坐标分别为，，． ①将绕坐标原点O逆时针旋转得到；画出，并求出点C在旋转过程中经过的路径长． ②在x轴上求作一点P，使的周长最小，直接写出P的坐标． 20. 数学课上郑老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球次数 23 31 60 130 203 251 摸到黑球频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251 （1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ，估计袋中白球的个数为 个； （2）在（1）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 21. 某公司开发一种新产品，计划投入当地市场销售8个周期，经过市场调研及前两个周期的销售发现：销售总收入（万元）与销售周期之间满足函数关系式：前两个周期的销售总收入情况如下： 销售周期（个） 第1个周期 第2个周期 销售总收入（万元） 21 36 （1）求、的值. （2）若开发这种新产品的总成本为18万元，问销售第几个周期时，销售总利润最大？最大是多少？ （3）当单个周期销售收入小于3万元时，该公司开始准备推出另一种产品，那公司应在第几个销售周期开始推出新产品？ 22. 如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． （1）求证：； （2）如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 23. 如图，在平面直角坐标系下如图放置，其中轴．斜边交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边于点B，另一条过点C的双曲线位于第四象限．，点A的坐标为． （1）求直线的解析式与点E的坐标． （2）连接，，当时，求另一双曲线的解析式． 24. 如图1，是的直径，点C在上，点P是直径延长线上一点，且满足，作于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）如图2，延长交于点Q，延长交于点E，连接与交于点H，若，，求y与x之间的函数关系式． 25. 已知抛物线的顶点在第一象限，交轴于点，交轴于点． （1）如图1，若点，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点的横坐标； （3）如图2，是点左侧一点，是轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求满足条件的最小整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋九年级第四学月学情调研数学试题 一、选择题（每题3分，共计36分） 1. 下列图标既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称又是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放广告 B. 任意买一张彩票，中奖 C. 在一个标准大气压下，温度时水会沸腾 D. 掷一枚硬币，正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件．解决本题的关键是理解必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，概率为1．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，概率为1． 选项C描述的是在一个标准大气压下水的沸点现象，是科学规律，必然发生；而A、B、D都是随机事件，不一定发生． 【详解】解：∵ 必然事件是确定会发生的事件， ∴A打开电视机可能播放广告或其他内容，是随机事件； B买彩票中奖是随机事件； C在一个标准大气压下，水在时必然沸腾，是必然事件． D掷硬币正面朝上是随机事件； ∴ 选C． 3. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移， 根据抛物线平移规则，向右平移a个单位则x替换为，向上平移b个单位则整体加b． 【详解】解：∵原抛物线，向右平移2个单位：， 向上平移3个单位：， ∴所得抛物线为． 故选：D． 4. 为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据单循环赛制，总比赛场次为组合数，即，再根据总安排28场比赛，列出方程． 【详解】解：∵每个队之间都要比赛一场， ∴总比赛场次为， 又∵计划安排7天，每天4场， ∴总比赛场次为. ∴， 即， 故选：A． 5. 已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A. B. C. D. ，方程无实数解 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 6. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，图象分布，图象与点的关系，熟练掌握性质和分布是解题的关键． 利用反比例函数的性质，图象的分布等解答即可．根据反比例函数的性质，，图象经过点，位于第一、三象限，在每个象限内随增大而减小；当时，，故D错误. 【详解】解：A、∵，， ∴当时，，图象经过点， ∴A正确； B、， ∴图象位于第一、第三象限， ∴B正确； C、∴在每个象限内，随增大而减小， 当时（第三象限），随增大而减小， ∴C正确； D、当时，例如，，故， ∴D错误． 故选：D． 7. 如图，一个六角亭，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆的内接正六边形的性质及等边三角形的判定与性质，三角函数，注意掌握辅助线的作法是解题的关键． 连接，，可求出圆心角的度数，则可得是等边三角形，再由等边三角形的性质即可求出的长，继而求得正六边形的周长． 【详解】如图，连接，，则， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，在与中，，，连接，，若，，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质可得，再证明，得到，，进而可证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键． 如图所示，连接，根据折叠，垂径定理，勾股定理，可证是等边三角形，，则，结合弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， 由折叠可得，则， ∵， ∴，， 在中，设，则，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴的长为， 故选：D． 10. 如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线．     ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 11. 将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（　 　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【详解】第1个图形有1个小圆； 第　2个图形有1+2=3个小圆； 第　3个图形有1+2+3=6个小圆； 第　4个图形有1+2+3+4=10个小圆； 第n个图形有1+2+3+…+n=个小圆； ∵第n个图形中“○”的个数是78， ∴78=，解得：n1=12，n2=﹣13（不合题意舍去）， 故选B． 12. 如图，，斜边，内切圆切各边于点，连接，作交于，则长为 （ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】连接，则，由，根据勾股定理求得，再证明四边形是正方形，由，求得，则，所以，因为，所以，而，则四边形是平行四边形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵与分别相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：C． 【点睛】本题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二、填空题（每个4分，共6题，共24分） 13. 若点与点关于原点对称，那么_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查原点对称，利用关于原点对称的点的坐标性质，横纵坐标均互为相反数，确定m和n的值后求和． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 14. 已知关于的二次函数的图象开口向下，___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，根据二次函数的定义，指数必须为2，且开口向下时二次项系数小于零，由此列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：由于函数是二次函数，故指数满足， 解得， 所以或． 又因为图象开口向下，故二次项系数， 即， 故满足， 故答案为：． 15. 某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车___________有危险（填“会”或“不会”）． 【答案】不会 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，将代入函数解析式，求出，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴此时刹车不会有危险； 故答案为：不会． 16. 设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，判断直线和圆的位置关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．通过方程无实数根的条件，利用判别式得到d与r的关系，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴，即． ∵圆心到直线的距离小于半径， ∴直线与相交． 故答案为：相交． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，的平分线与相交于点，反比例函数经过点，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作，借助角平分线性质与全等三角形可得，根据可求出，设的坐标为，用表示、，根据勾股定理列方程求出，进而求出的坐标，将坐标代入反比例函数即可算出值． 【详解】解：如图，过点作， 由、坐标和勾股定理，可得，，，， 平分， ，， 在和中， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 的坐标为， 点在反比例函数上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，结合线段关系和勾股定理列方程求的坐标是解题关键． 18. 如图，在矩形中，，，点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点，点是边上一个动点，连接，，则线段的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、将军饮马问题、勾股定理和隐形圆的动点问题，正确找到动点的轨迹是解题的关键．先根据旋转的性质，找到动点 的轨迹是以点F为圆心，半径为2的圆，作点关于的对称点，连接，此时线段的值最小，即的长，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点， 点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点， 点Q的轨迹是以点F为圆心半径为2的圆， 连接交于点E，交于点，此时线段的值最小，即的长， 矩形，，， ，， 点C关于的对称点， ， 点绕点顺时针旋转得到点，圆的半径为2， 的半径为2，即，， ， 在中，， ， 则线段的最小值为8． 故答案为：． 三、解答题（19题16分，20－24题每题12分，25题14分） 19. （1）解方程：（公式法）． （2）如图，三个顶点的坐标分别为，，． ①将绕坐标原点O逆时针旋转得到；画出，并求出点C在旋转过程中经过的路径长． ②在x轴上求作一点P，使的周长最小，直接写出P的坐标． 【答案】（1），；（2）①图见解析，；② 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，作图—旋转变换，求弧长，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可得出结果； （2）①根据旋转的性质作图即可得出，由勾股定理得出，再由弧长公式计算即可得出结果；②作点关于轴的对称点为，连接交轴于点，连接，点即为所求． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）①如图，即为所画， ， 由勾股定理可得：， 故点C在旋转过程中经过的路径长为； ②如图，作点关于轴的对称点为，连接交轴于点，连接， ， 由轴对称的性质可得， ∴， 由两点之间，线段最短可得，当点、、在同一直线上时，最小， ∵的周长，其中为定值， ∴当点、、在同一直线上时，最小，的周长也最小， 由图形可得，点的坐标为． 20. 数学课上郑老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251 （1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ，估计袋中白球的个数为 个； （2）在（1）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】（1）0.25，； （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率；设袋子中白球的个数为x，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案； （2）先列出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：观察表格得，通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 设袋子中白球的个数为x， 根据题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 估计袋中白球的个数为3； 故答案为：0.25，； 【小问2详解】 列表如下： 颜色 黑球 白球 白球 白球 黑球 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 共有16种等可能的结果，其中恰好两个都是白球的结果有9种， ∴P（恰好两个都是白球的概率）＝． 21. 某公司开发一种新产品，计划投入当地市场销售8个周期，经过市场调研及前两个周期的销售发现：销售总收入（万元）与销售周期之间满足函数关系式：前两个周期的销售总收入情况如下： 销售周期（个） 第1个周期 第2个周期 销售总收入（万元） 21 36 （1）求、的值. （2）若开发这种新产品的总成本为18万元，问销售第几个周期时，销售总利润最大？最大是多少？ （3）当单个周期销售收入小于3万元时，该公司开始准备推出另一种产品，那公司应在第几个销售周期开始推出新产品？ 【答案】（1） （2）当，最大，最大为30万元 （3）在第5个销售周期，该公司开始推出新产品 【解析】 【分析】本题主要涉及二次函数的应用，包括待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的性质求最值和解不等式． （1）将两组和的值代入函数解析式即可求解； （2）首先根据题意得到销售总利润的解析式，然后根据二次函数的性质即可求解； （3）单个周期销售收入等于第个周期的销售总收入减去第个周期的销售总收入，列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，当时，；当时，， 即， 解得； 【小问2详解】 设销售总利润为，则， 即， ，开口向下， 当，最大，最大为30万元； 【小问3详解】 根据题意，得， 整理，得， 解得， 在第5个销售周期，该公司开始推出新产品． 22. 如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． （1）求证：； （2）如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 【答案】（1）见解析 （2）①当时，或；② 【解析】 【分析】（1）延长交于，根据四边形正方形，可推出，得到，再由，得到，推出，得证； （2）①在旋转过程中，是直角时有两种情况，当由增大到过程中，由，，得到，再由，推出，即可；当由增大到过程中，，同理可求，即可求得答案；②在图1连接，根据正方形性质求出和，由题意可知当，、、在一条直线上，此时长最大，由即可得到答案． 【小问1详解】 如图，延长交于， 点是正方形两对角线的交点， ，， 四边形是正方形 在和中， ， ， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 ①在旋转过程中，成为直角有两种情况： 如图2，由增大到过程中， 当时， ， 在中， ， ，， ， ，即； 由增大到过程中，当时，如图 同理可求， ， 综上所述，当时，或； ②如图，连接， 四边形是正方形， ，， 正方形的边长为2， ， ， 则， 当时， 、、在一条直线上，此时的长最大， 最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系下如图放置，其中轴．斜边交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边于点B，另一条过点C的双曲线位于第四象限．，点A的坐标为． （1）求直线的解析式与点E的坐标． （2）连接，，当时，求另一双曲线的解析式． 【答案】（1）直线的解析式为， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）令交轴于点，作于点，则，由平行线分线段成比例定理可得，，从而得出点的纵坐标为，求出反比例函数的解析式为，从而得出，设直线的解析式为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出，从而可得，在中，当时，，求解即可得出，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，令交轴于点，作于点，则， ， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为， ∵双曲线过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴点； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得：， ∴， 将代入可得：， ∴另一反比例函数的解析式为． 24. 如图1，是的直径，点C在上，点P是直径延长线上一点，且满足，作于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）如图2，延长交于点Q，延长交于点E，连接与交于点H，若，，求y与x之间的函数关系式． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由可得，再由直径所对的角是直角有，由，可得，最后根据切线的判定定理求解即可； （2）在中，根据勾股定理可得，由可证得，根据相似三角形的性质有，即，设，，可得，由此求解即可； （3）连接，设，根据圆的性质，平行线的判定与相似三角形的判定可证得，由则有，，，，因此，在中，根据勾股定理可得，最后联立两式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， ， 是的直径， ， 又， ， 即且是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 在中，， 且， ， ， 设，， 则， ， 解得， ； 【小问3详解】 连接，设， 是的直径， 又， ， ， ，则，，，， ① 在中，， ② 将②代入①式得． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，勾股定理，平行线的判定，相似三角形的性质与判定，切线的判定定理等，灵活运用相关知识，构造合适的辅助线是解题的关键． 25. 已知抛物线的顶点在第一象限，交轴于点，交轴于点． （1）如图1，若点，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点的横坐标； （3）如图2，是点左侧一点，是轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求满足条件的最小整数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入求出m的值即可； （2）连接，先求出点的坐标，设，求出，根据平分四边形的面积，得到，求解出符合题意的n的值即可； （3）过点N作轴，垂足为H，由题意易得为等腰直角三角形，得到，代入，得到关于m的方程，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得 解得 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接， 令，， 解得：， ， ， 抛物线交轴于点， ， 设， 则， 平分四边形面积， ， 整理，得：， 解得（舍去，不符合题）， 点D的横坐标为； 【小问3详解】 解：如图，过点N作轴，垂足为H， ，且， ，， 两式相加，得， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 整理为关于m的方程为， 由题意，得， 解得， 此时关于m的方程的两根之和， 当时，m必有正根， 满足条件的最小整数t的值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等，二次函数与一元二次方程，三角形的面积公式等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $