精品解析：四川省绵阳市三台博强外国语学校2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题

2025年秋九年级第三学月学情调研数学 一、选择题（共12小题，36分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 若点与点关于原点对称，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数． 3. 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．由题意，第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．找准等量关系，正确的列式，是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人，由题意，得：， 即：； 故选C． 4. 如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：， ， 是直径， ， ． 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 6. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：根据“左加右减，上加下减”规律： 二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数的图象． 故选：B． 7. 如图，电路图中开关均为断开状态，若随机闭合一个，能使灯泡发光概率是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率，根据概率公式直接计算即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，随机闭合一个开关，共有种结果，其中能使灯泡发光的结果有种， ∴能使灯泡发光概率是， 故选：． 8. 已知二次函数，若和对应的函数值相等，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 0或 D. 0或2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．掌握相关性质是求解的关键． 先求出抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性，由于函数值相等，可知两点关于对称轴对称或重合，从而求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 又∵和对应的函数值相等， ∴点和 关于对称轴对称或重合， ∴或， 解得或， 故选：D． 9. 如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 10. 已知抛物线过点，当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称轴、对称性及开口方向与函数值符号的关系，解题的关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点． 先求抛物线的对称轴为，结合已知交点，利用对称性得另一个交点；再由知抛物线开口向上，从而确定时的取值范围． 【详解】解：抛物线的对称轴公式为， 代入得： 已知抛物线过点，且抛物线关于对称轴对称， 与轴的另一个交点到对称轴的距离和到的距离相等． 另一个交点的横坐标为， 抛物线与轴的交点为和． ，抛物线开口向上， 当或时，抛物线在轴上方， ． 故选D 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为2的上两动点，且，P为弦的中点，Q为线段的中点．当C，D两点在圆上运动时，的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、一次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用等知识点，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 利用勾股定理逆定理和一次函数的性质，分别证明和是等腰直角三角形，进而得到、，由三角形三边关系得当C、D、P移动到时，此时三点共线，取最小值，进而完成解答． 【详解】解：如图，过点O作于点E，连接， 由题意可知，，， ， 是等腰直角三角形， ∵P为弦的中点， ， ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：， ，， ， 是等腰直角三角形， ∵Q为线段的中点， ， 由三角形三边关系得，则当C、D、P移动到时，此时三点共线，取最小值． 故选A． 12. 如图，二次函数的图象经过点，点，交y轴于点C，给出下列结论：：b：：2：3；若，则；对于任意实数m，一定有；一元二次方程的两根为和，其中正确的结论是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线上的两点坐标可以求出y=ax2+bx+c中a、b、c之间的倍数关系，可以用含有a的代数式表示b、c，再用带入求值法判定其它选项，具体见详解. 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0）， ∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a， ∴b=﹣2a，c=﹣3a， ∴a：b：c=﹣1：2：3，故①正确； 当x=4时，y=a（x+1）（x﹣3）=a•5•1=5a，y=ax2﹣2ax﹣3a=a[（x﹣1）2﹣4]=a（x﹣1）2﹣4a， ∴当0＜x＜4时，则5a＜y＜﹣4a，所以②错误； ∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a[（x﹣1）2﹣4]=a（x﹣1）2﹣4a， ∴顶点坐标为（1，﹣4a）， ∵抛物线开口向下， c=﹣3a， ∴抛物线向下平移﹣4a个单位，则抛物线顶点为（1，0）， ∴平移后的解析式为：y′=ax2+bx+c+4a=ax2+bx﹣3a+4a=ax2+bx+a≤0，故③正确； ∵b=﹣2a，c=﹣3a， ∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0， 整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2= ，所以④正确． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，带入求值是解答关键.. 二、填空题（共6小题，24分） 13. 用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，再将两边都加上一次项系数一半得平方，配成完全平方式，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、菱形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，熟练地利用数形结合的方法解题关键．设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，则，得出，则四边形是菱形，得出，，由，即可得出结论． 【详解】解：设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为________． 【答案】##64度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角， 根据旋转可得，，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余得，即可得出答案． 【详解】解：根据旋转可得，， ∴， ∴． 中，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 16. 如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理．根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：是圆直径， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，二次函数交y轴于点B，A的坐标是，P是二次函数在第二象限的一动点，轴，则最大值是_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，用点的坐标表示线段的长度，通过二次函数的性质求解是解题的关键．设点的横坐标为，先根据二次函数的性质求出点的坐标表达式及的表达式，然后根据二次函数的性质求出其最大值． 【详解】解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为,点的坐标为． ， ， 对于二次函数，其中 此抛物线的对称轴为：， ， 当时，函数有最大值， 把代入,可得 的最大值为11． 故答案为：11． 18. 如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过AB的中点D，若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是_____． 【答案】3． 【解析】 【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，利用重径定理可得OD⊥AB，则AD=BD=AB,再根据勾股定理可得OD=1，又由折叠的性质可得＝所在的圆为等园，则根据圆周角定理得到AC=CD，所以AC=DC，利再根据等腰三角形的性质可得AE=DE=1，通过证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，最后通过计算CF，得到CE=BE=3，于是得到BC=3．. 【详解】解： 连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图， ∵D为AB的中点， ∴OD⊥AB， ∴AD＝BD＝AB＝2， 在Rt△OBD中，OD＝=＝1， ∵将弧沿沿BC折叠后刚好经过AB的中点D． ∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆， ∴＝， ∴AC＝DC， ∴AE＝DE＝1， 易得四边形ODEF为正方形， ∴OF＝EF＝1， 在Rt△OCF中，CF＝＝＝2， ∴CE＝CF+EF＝2+1＝3， 而BE＝BD+DE＝2+1＝3， ∴BC＝3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了折叠的性质，理解折叠前后图形的形状和大小不变、仅仅位置发生变化是解答本题的关键. 三、解答题（共90分） 19. （1）解方程 （2）先化简，再求值：，其中a满足 【答案】（1）或；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的因式分解解法、分式的化简求值，熟练掌握因式分解法解方程的步骤及分式的运算法则是解题的关键． （1）通过移项、提取公因式，用因式分解法求解方程； （2）先通分计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法进行化简，最后结合已知条件求值． 【详解】解：（1）， ， ， ∴或， 解得； （2） ， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 当时，原式． 20. 已知：关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求k的值． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程根的情况求参数． （1）根据方程的系数，结合根的判别式可得，即可证得结论； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，结合已知可得关于的方程，从而可得的值． 【小问1详解】 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴ ， ∵， ∴， ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵方程的一个根是另一个根的倍， ∴设方程的一个根为，则另一个根为， ∴，， ∴，， ∴， 解得或． ∴的值为或． 21. 一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.25左右． （1）请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 【答案】（1）箱子里白球的个数为3 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键． （1）根据摸到红色小球的频率稳定于0.25左右，得到摸到红色小球的概率是0.25，设红色小球的个数为x，根据概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，求出概率即可． 【小问1详解】 ，， ∴箱子里白球的个数为3． 【小问2详解】 画出树状图，如下： 共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6， （摸出的小球颜色恰好不同）． 22. 如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答； （2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，A是切点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵， ∴ 设的半径为r， 则，， ∴， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ， ∵为边上的中线， ， ∴， 即的值是． 23. 某商家销售甲、乙两种商品，经调查，甲每月的利润（万元）与成本（万元）满足，乙每月的利润（万元）与成本（万元）满足． （1）今年一月初，商家对甲、乙两种商品投入相同的成本万元，一个月后两商品的利润相等，求的值； （2）该商家在（1）的条件下，将今年一月份甲、乙商品的全部利润追加后作为二月份这两种商品的成本，当甲、乙两种商品二月份成本分别为多少万元时，二月份的利润最大？并求最大利润． 【答案】（1） （2）当投入甲、乙两种商品的成本均为9万元时，二月份获利最大，最大值利润为万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）将代入两个解析式结合利润相等得出，解一元二次方程即可得解； （2）先求出二月份这两种商品的成本，设投入乙商品的成本万元，则投入甲商品的成本万元，二月份获利万元，求出关于的关系式，再由二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，得， 整理得， 解得， （舍去）， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得一月份的利润为（万元）． ∴（万元）． 设投入乙商品的成本万元，则投入甲商品的成本万元，二月份获利万元． 由题意得， ∴当时，取得最大值，（万元）． ∴当投入甲、乙两种商品的成本均为9万元时，二月份获利最大，最大值利润为万元． 24. 在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． （1）将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； （2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． （3）若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）是定值4 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，旋转的性质，圆的综合知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）求出旋转角的度数为，进而求出的度数，再利用三角函数求出G点坐标； （2）由切线长定理证得，由切线长定理或其他方法证得，平分； （3）在上取点V，使，构造出全等三角形，判断出为等腰直角三角形，求得为定值． 【小问1详解】 解：连接， ∵A点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 又∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：设与、、边相切于点、、，连接，，，如图， 则, ∵是的切线， ∴， 在和中， ∴， ∴∴, 同理可证：，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴，即， ∴， ∴ ∴平分． 【小问3详解】 解：的值是定值为， 在上取点V，使，即， ∵， ∴， ∵，， ∴，，即； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 25. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点是在以点为圆心个单位长度为半径的的一个动点． （1）求这个抛物线的表达式． （2）当与相切时求出点坐标． （3）在（2）条件下，当时，在抛物线上是否存在点，使，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）代入的坐标到，利用待定系数法即可求解； （2）分2种情况讨论：①当点在点的右侧；②当点在点的左侧，利用切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点即可解决问题； （3）由题意得，分2种情况讨论：①当点在轴下方时，取点，连接，过点作于点，则，利用三线合一性质得到，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，再联立直线和抛物线的解析式求出此时点的坐标；②当点在轴上方时，作点关于轴的对称点，则，同理①的方法求出此时点的坐标，即可得出答案． 【小问1详解】 解：将，，代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①当点在点的右侧，连接、，如图， ∵，， ∴，， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 即， ∴点坐标为； ②当点在点的左侧，作轴于点，与轴交于点，连接，如图， 由①得，，， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为或； 【小问3详解】 解：由（2）得，当点坐标为时，，不符合题意； 点坐标为时，，符合题意； ∴； ①当点在轴下方时， 取点，连接，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴点是的中点， ∴， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴点在直线上， 联立， 解得或， ∴； ②当点在轴上方时， 作点关于轴的对称点，如图， 则，， 同理可得，直线的解析式为， ∵， ∴， ∴点在直线上， 联立， 解得或， ∴； ∴综上所述，存在点使，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合、切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质、轴对称的性质，运用分类讨论思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋九年级第三学月学情调研数学 一、选择题（共12小题，36分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点与点关于原点对称，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 3. 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A 2 B. C. 2或 D. 6. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 7. 如图，电路图中开关均为断开状态，若随机闭合一个，能使灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 已知二次函数，若和对应函数值相等，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 0或 D. 0或2 9. 如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知抛物线过点，当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为2的上两动点，且，P为弦的中点，Q为线段的中点．当C，D两点在圆上运动时，的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 12. 如图，二次函数的图象经过点，点，交y轴于点C，给出下列结论：：b：：2：3；若，则；对于任意实数m，一定有；一元二次方程的两根为和，其中正确的结论是　　 A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，24分） 13. 用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为_________． 14. 如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要_______． 15. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为________． 16. 如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为_______． 17. 如图，二次函数交y轴于点B，A的坐标是，P是二次函数在第二象限的一动点，轴，则最大值是_______． 18. 如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过AB的中点D，若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是_____． 三、解答题（共90分） 19. （1）解方程 （2）先化简，再求值：，其中a满足 20. 已知：关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求k的值． 21. 一个不透明箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.25左右． （1）请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 22. 如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上中线，若，求的值． 23. 某商家销售甲、乙两种商品，经调查，甲每月的利润（万元）与成本（万元）满足，乙每月的利润（万元）与成本（万元）满足． （1）今年一月初，商家对甲、乙两种商品投入相同成本万元，一个月后两商品的利润相等，求的值； （2）该商家在（1）的条件下，将今年一月份甲、乙商品的全部利润追加后作为二月份这两种商品的成本，当甲、乙两种商品二月份成本分别为多少万元时，二月份的利润最大？并求最大利润． 24. 在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． （1）将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； （2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． （3）若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 25. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点是在以点为圆心个单位长度为半径的的一个动点． （1）求这个抛物线的表达式． （2）当与相切时求出点坐标． （3）在（2）的条件下，当时，在抛物线上是否存在点，使，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $