第6章 导数及其应用 章末复习课（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第六章导数及其应用 章末复习课 知识整合·思维导图 导数实导数导数几 际背景 定义 何意义 导数 基本导 函数四则运复合函数 数公式 算求导法则求导法则 求简单函数的导数 导数的应用 判断函数 判断函数的 求函数的最 的单调性 极大（小）值 大（小）值 题型梳理·素养聚焦 [考点一]数学抽象、直观想象…导数的定义及其 [例4幻求下列函数的导数： 几何意义 （1)y=丘+x+sin工，(2y='sin s. [例1] 设函数f(x)为可导函数，且满足 1imf)-f1-2m）=-1,则过曲线y=f(x)上 2x 点(1，f(1)处的切线斜率为 A.2 B.-1 C.1 D.-2 [例2]（双空题）已知函数f(x)=2x3十a.x与g(x) =bx2十c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公 共切线，则f(x)= ,g(x)= 规律方法， 导数运算法则的应用的注意点 规律方法 1.准确理解记忆运算法则，四个运算法则中除法 1.利用导数定义时，注意导数是平均变化率的极 的法则较为复杂，特别注意分子的连接符号是 限值 减号，容易错记为加号. 2.利用导数的几何意义时，注意某点处的导数值 2.先化简变形再求导数，对于较为复杂的函数式， 即为曲线在该点处切线的斜率 则遵循先化简后求导的原则，化简为基本初等 函数的基本运算后求导 [考点二]数学运算、数学抽象一导数的计算 [考点三]逻辑推理、直观想象一函数的单调性与 [例3]已知函数f(x)的导数为(x),且满足关系 导数 式f)=+2xf),则f1)-f(-1D [例5](1)f(x)是定义在(0，十∞)上的非负可导函 数，且满足xf(x)一f(x)≤0，对任意正数a,b,若 a<b,则必有 () A.1 B.-1 A.af(b)<bf(a) B.bf(a)af(b) C.0 D.2 C.af(a)<bf(b) D.bf(b)<af(a) ·67· 数学B版·选择性必修第三册 (2)设f)=anx+其中a为常数，讨论函 [考点五]逻辑推理、数学抽象一利用导数解决与 函数相关的问题 数f(x)的单调性. [例7]设函数f(x)=x3-6x十5，x∈R. (1)求f(x)的极值点； (2)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根，求 实数a的取值范围； (3)已知当x∈(1，+∞)时，f(x)≥(x-1)恒成 立，求实数的取值范围. 规律方法 利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用 f(x)与其导数f(x)之间的对应关系，然后结合 函数的单调性等知识求解.，求解参数范围的步 骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x); (2)若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则f(x)≥ 0恒成立；若函数f(x)在(a,b)上单调递减， 则f(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式， 解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有'(x) 0.若f(x)=0恒成立，则函数f(x)在(a,b) [例8】已知函数f化x)=。+aa∈R,试讨论函 上为常函数，舍去此参数值， 数f(x)的零点个数. [考点四]逻辑推理、数学抽象函数的极值、最 值与导数 [例6]已知函数f(x)=x3十ax2+b的图象上一点 P(1,0)且在点P处的切线与直线3x十y=0平行. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在区间[0，t(0<t<3)上的最大值 和最小值. 规律方法 1.求极值时一般需确定f(x)=0的点和单调性， :规律方法… 对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点， 论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线 当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点 的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数 必为函数的最值点 的单调性与函数极（最）值的应用，问题破解的方 2求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是 法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性 极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与 与极（最）值列出，然后再借助单调性和极（最）值 端点的函数值比较即可获得， 情况，画出函数图象的草图，数形结合求解. 68·(2)由题意： ,500(x-3)2(x-1)+300,1<x≤4 f(x)=y(x-1)= (2800-100z-1D,4<x≤12’ x 当1<x≤4时，f(x)=500(x-3)2(x-1)+300=500x3 -3500x2+7500x-4200,f(x)=500(3x-5)(x-3), 由f)>0,得号<<3， “f)在(1，号)3,0上递增，在（停3）上适减。 f(停）-80+450<f0=180o, .当x=4时有最大值，f(4)=1800 当4K≤12时，f)=(280-100）(x-1) x =2900-100z+2800≤2900-4007≈1840， x 当且仅当100z=2800,即工=27≈5.3时取等号， x .x=5.3时有最大值1840，，1800<1840， '.当x=5.3时f(x)有最大值1840，即当销售价格为 5.3元的值，使店铺所获利润最大. 变式训练 3.解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2,若记商 品在一个星期的获利为f(x), 则有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+ kx2). 又由已知条件，24=×22，于是有k=6, 所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,21]. (2)根据(1)，f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2) (x-12).令f(x)=0,得x=2或x=12. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f'(x) 0 十 0 f(x)递减 极小值 递增 极大值 递减 故当x=12时，f(x)取得极大值.因为f(0)=9072,f (12)=11664, 所以定价为30一12=18元能使一个星期的商品销售利 润最大 当堂达标 1.D[设一段长为x,则另一段长为12一x(0<x<12).则 5)=合×（借）×9+2×(2)°×9=9 (写-警+1)所以3)=（台-号）令） =0,得x=6,当x∈(0,6)时，S(x)<0;当x∈(6,12)时， S(x)>0.所以当x=6时，S(x)最小.所以S(x)min= S(6)=2√3cm2.] 2.解析：y=-3x2十27=-3(x十3)(x-3), 当0<x<3时，y>0;当x>3时，y<0. 故当x=3时，该商品的年利润最大. 答案：3 ·10 参考答案 3.解析：由题设知y=x2-39x-40,令y>0,解得x>40 或x<-1,故画数y=号3-92-40x(x>0)在[40， 十∞)上递增，在(0,40]上递减..当x=40时，y取得最 小值.由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40. 答案：40 4.[解]设长方体的宽为xm,则长为2xm, 高为h=182z=(45-3x)0<z<号.故长方体的 4 休积为v)=2r24.5-3a)=9z2-6x2(0<x<号) 从而V'(x)=18x-18x2=18x(1-x).令V(x)=0,解得 x=0(舍去)或x=1, 当0<x<1时，V(x)>0; 当1x<号时，V()<0,故在x=1处V(x)取得板大 值，并且这个极大值就是V(x)的最大值. 从而最大体积V=V(1)=9×12一6×13=3(m3),此时长 方体的长为2m,高为1.5m.故当长方体的长为2m,宽 为1m,高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3. 章末复习课 [例1]B[根据导数的定义可知1imf1)-f-22 2x mf1-22f①-1，即)y1=1=-1,而由子数的 -2x 几何意义可知y=f(x)点(1，f(1)处的斜率为一1.] [例2]解析：因为f(x)=2x3十ax的图象过点P(2,0),所 以a=-8,所以f(x)=2x3-8x,所以f(x)=6.x2-8.因 为g(x)=bx2+c的图象过点P(2,0),所以4b十c=0.又 g'(x)=2bx,g(2)=46=f(2)=16,所以b=4,所以c -16,所以g(x)=4x2-16.综上可知，f(x)=2x3-8x,g (x)=4x2-16. 答案：2x3-8x4x2-16 [例3]C[由f)=+2xf1,得了x)=-2+ 2f(1),则f(1)=-1+2f(1),解得f(1)=1.则f(x) =-是+2则了-)=-1+2-1故f)-f-1=0.] [例幻解：1)因为y=主+x十si血工=x量十x十工2 sin x, 所以y=(x)y+(xy+(红2sinx)y=-昌x+ 3x2-2x-3sin x+x-2cos x. (2)y'=(x2)'sin x+x2(sin z)'=2xsin a+x2cos x. [例5](1)A[令F(x)=f,则F(x) =zf'(x)-f(x) 又当x>0时，xf(x)-f(x)≤0，∴.F(x)≤0， .F(x)在(0，十∞)上单调递减. 又ahFa≥FW12>26fa>afo,故 选A.] 数学B版·选择性必修第三册 (2)解：函数f(x)的定义域为(0，十∞). f(x)=只+2 x(x+1)2 2+2a+2)2+a x(x+1)2 当a≥0时，f(x)>0,函数f(x)在(0，十∞)上单调递增. 当a<0时，令g(x)=ax2+(2a十2)x十a, 由于△=(2a+2)2-4a2=4(2a+1), ①当a=-号时，4=0， r)=含1)2 x(z+1)2≤0，函数f(x)在(0，+∞)上单调 递减… ②当a<-2时，4<0，g(x)<0, f(x)<0,函数f(x)在(0，十∞)上单调递减. ③当-2<a<0时，4>0. 设x1x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点， 则=一a十》②五，-a+D-V2至 a a 由x1=a+1-Y2a+打-a2+2a+-V2a+0. 所以x∈(0，x1)时，g(x)<0,f(x)<0,函数f(x)单调递 减， x∈(x1,x2)时，g(x)>0,f(x)>0,函数f(x)单调递增， x∈(x2,+∞)时，g(x)<0,f(x)<0,函数f(x)单调 递减， 综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，十∞)上单调递增； 当a≤-2时，函数f(x)在(0，十∞)上单调递减， 当-<a<0时，函数f在(0，-a+D十B于） a /-(a+1)-2a+,+o∞上单调递减，在 a (-a+1)十√2a+五，-a十1)-V+王上单调递增 a a [例6][解](1)因为f(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0) 处的切线斜率为f(1)=3十2a,即3十2a=-3,a=-3. 又函数过(1,0)点，即-2十b=0,b=2.所以a=-3,b= 2,f(x)=x3-3x2+2. (2)由f(x)=x3-3x2+2,得f(x)=3x2-6x. 由f(x)=0,得x=0或x=2. ①当0<t≤2时，在区间(0，t)上，f(x)<0,f(x)在[0，t] 上是减函数，所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3 -3t2+2. ②当2<t<3时，当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如 下表： 0 (0,2) (2,t) f(a) 0 0 f(x) 2 -2 t-3t2+2 ·1 f(x)min=f(2)=一2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的 一个. f(t)-f(0)=t3-32=t(t-3)<0,所以f(x)max=f (0)=2. [例7][解](1)f(x)=3(x2-2),令f(x)=0,得x1= -√2，x2=√2. 当x∈(-∞，-√2)U(2,十∞)时，f(x)>0,当x∈(- √2，√2)时，f(x)<0, 因此x1=一√2，x2=√瓦分别为f(x的极大值，点、极小 值点 (2)由(1)的分析可知y=f(x)图象的大致形状及走向如 图所示.要使直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同交 点儒5-4√2=f(2)<a<f(-√2)=5十4√2.则方程f (x)=a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为(5 -4√2,5+4√2). 本y y=f(x) -y=a 2 (3)法一：f(x)≥k(x-1),即(x-1)(x2十x-5)≥k(x- 1), 因为x>1,所以k≤x2+x-5在(1，十∞)上恒成立， 令g(x)=x2+x-5,由二次函数的性质得g(x)在(1，十 o∞)上是增函数， 所以g(x)>g(1)=-3,所以所求k的取值范围是（一∞， -3]. 法二：直线y=(x-1)过定点(1,0)且f(1)=0, 曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f(1)=一3， 由(2)中草图知要使x∈(1，十∞)时，f(x)≥k(x一1)恒 成立需k≤-3. 故实数飞的取值范围为（一∞，一3]. [例8][解]函数f(x)的定义域为{xx≠a}. (1)当x>a时，er>0,x-a>0,∴.f(x)>0,即f(x)在(a, 十∞)上无零点. (2)当x<a时，f(x)=e(x-a)+1 x-a 令g(x)=er(x-a)十1，则g'(x)=er(x-a十1). 由g'(x)=0得x=a-1.当x<a-1时，g'(x)<0; 当x>a-1时，g'(x)>0. ∴g(x)在(-o∞，a-1)上单调递减，在(a-1,十o∞)上单 调递增， .g(x)min=g(a-1)=1-ea-1. .当a=1时，g(a-1)=0,∴.x=a-1是f(x)的唯一 零，点； 当a<1时，g(a-1)=1-ea-1>0,∴.f(x)没有零点； 当a>1时，g(a-1)=1-e4-1<0,∴f(x)有两个零点.