6.3 利用导数解决实际问题（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 [当堂达标] 3设函数f(x)=d-号-2z+5,若对任意x 1.已知函数f(x)的定义域为[一1,4]，部分对应值如 下表： [-1,2],都有f(x)>m,则实数m的取值范围 是 4.已知函数f(x)=x-lnx(k>0). f(x) (1)若=1，求f(x)的单调区间； f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.当1<a (2)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数 <2时，函数y=f(x)一a的零点的个数为() 的值. A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知函数f(x)=x2-2lnx,若在定义域内存在 x。,使得不等式f(x)一m≤0（成立，则实数m的 最小值是 ( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 6.3 利用导数解决实际问题 课程标准 素养解读 1.理解实际生活中的最优化问题. 在利用导数解决生活中优化问题的过程中提升 2.会利用导数解决实际生活中的最优化问题. 数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养， ● 课前。预习学案 [知识梳理] ?思考解决生活中优化问题应注意什么？ [知识点一]优化问题 生活中经常遇到求 等问题，这些问题通常称为优化问题. [知识点二] 用导数解决优化问题的基本思路 优化问题 用 表示数学问题 个 优化问题的答案 用 解决数学问题 课堂。互动学案 题型一 平面九何中的最值问题 切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 [例1]请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是 AE=FB=x(cm). 边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示 的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使 60 得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成 个正四棱柱形状的包装盒，E,F在AB上，是被 。64· 第六章导数及其应用 (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm)最大，试 年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造 问x应取何值？ 费用与20年的能源消耗费用之和， (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x (1)求k的值及f(x)的表达式； 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的 (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并 比值. 求最小值. 思路点拨了“(1)由C(0)=8可求k的值从而求 出f(x)的表达式.(2)求函数式f(x)的最小值. 规律方法 关于平面图形中的最值问题 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角 形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问 题，一般将面积用变量表示出来后求导，求出极 规律方法 值，从而求得最值. 1.用料最省、成本（费用）最低问题是日常生活中 @[变式训练] 常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量 1.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半 的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写 轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状， 函数表达式，准确求导，结合实际作答， 下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆 2.利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间 上，记|CD|=2x,梯形的面积为S. 内只有一个点使f(x)=0时，如果函数在这点 有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知 道在这个点取得最大（小）值. ⊙[变式训练] 2.一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成 (1)求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出 正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每 其定义域 小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96 (2)求面积S的最大值. 元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米 的费用总和最小？ 题型三用料最省、成本（费用）最低问题 [例2]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损 题型目 利润最大、效率最高问题 耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑 [例3]某商场销售某种商品的经验表明，该商品每 物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热 日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/ 层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费 用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足 千克)满足关系式y=23十10(x-6)2,其中3< 关系：C(x) 3年（0<≤10，若不建隔热层，每 x<6,a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每 日可售出该商品11千克. ·65 数学B版·选择性必修第三册 (1)求a的值； ⊙[变式训练] (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格 3.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432 x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润 件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖 最大 出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0 汇思路点拨了“(1)根据x=5时，y=11求a的值. ≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元 (2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用 时，每星期多卖出24件. 导数求最大值。 (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润 最大？ [母题探究] (变条件)本例条件换为： 该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x [当堂达标] (单位：元/千克，1<x≤12)满足：当1<x≤4时，y 1.把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一 =a(x-3)2+名a,6为常数)：当4<x≤12 个正三角形，那么这两个三角形面积之和的最小值 是 ) 时，y=2800-100.已知当销售价格为2元/千克 A.3 cm B.4 cm2 时，每日可销售出该特产800千克；当销售价格为3 C.3√2cm2 D.2√5cm 元/千克时，每日可售出150千克. 2.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函 (1)求a,b的值，并确定y关于x的函数解析式； 数关系式为y=-x3+27x十123(x>0),则获得最 (2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售 大利润时的年产量为 百万件 价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润 3.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y f(x)最大，（√7≈2.65） 号2-9-40x(x>0),为使耗电量最小，则 其速度应定为 4.用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架， 要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的 长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是 多少？ 规律方法… 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根 据“利润=收入一成本”建立函数关系式，再利用 导数求最大值. 解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成 本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获 利. ·66·数学B版·选择性必修第三册 6.3利用导数解决实际问题 课前预习学案 知识梳理 知识点一、利润最大用料最省效率最高 知识点二、函数导数 [思考] [提示](1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函 数的定义域.(2)求实际问题的最大（小）值时，一定要从问题 的实际意义去考查，不符合实际意义的应会去，如：长度、宽 度应大于0，销售价为正数等. 课堂互动学案 [例1][解]设包装盒的高为hcm,底面边长为acm 由已知得a=2x,h=60-24=2(30-),0<<30. √2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,所以当x=15 时，S取得最大值， (2)V=a2h=22(-x3+30x2),V=6V2x(20-x). 由V=0,得x=0(舍去)或x=20. 当x∈(0,20)时，V'>0;当x∈(20,30)时，V<0. 所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值. 此时会-号，即包蒸金的高与底面边长的比佳为分 变式训练 1.解：(1)依题意，以AB的中点O为原，点，AB所在的直线 为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 0 B 则点C,)满足方程2+苦-1，且>0>0，所以y =2√/1-x2(0<x<1). 所以S=号×2x+2)×2W1-2=2x+1W1-2(0<x< 1). (2)令f(x)=S2=4(x+1)2(1-x2)(0<x<1), 则了()=8(x+1)2(1-2x.令f(x)=0,解得x=2或 x=一1（舍去） 当0<x<是时，了(x)>0,f(x)为增画数；当2<x<1 时，f(x)<0,f(x)为减函数 所以f()是f(x)在区间(0,1)上的极大值，也是最大 值，且f宁)-，此时5-3 21 故当=号时，S取得最大值3 [例2][解](1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)= 3z十50≤x≤10)，再由C(0)=8,得k=40,图此C(x)= k 3z十5而建造费用为C(x)=6z. 40 ·10 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为∫ 40 800 (x)=20C(x)+C(x)=20×3x+5+6x=3x+5+6x0 ≤x≤10. (2)f(x)=6- 3x+5)2,令f(x)=0,即，2400 2400 (3z+5)2=6, 解得x=5或x= (舍去).当0<x<5时，f(x)<0, 3 当5<x<10时，f(x)>0,故x=5是f(x)的最小值，点， 对应的最小值为5》-6X5十0写-10.当隔热层修建 5cm厚时，总费用达到最小值70万元. 变式训练 2.解：设轮船速度为x(x>0)千米/时的燃料费用为Q元， 则Q=x,由6=X103,可得为=写品0所以Q写品0. 所以总费用y=(品+96）小·=品2+识y-箭 500 9◆y=0,得x=20. 所以当x∈(0,20)时，y<0,此时函数单调递减，当x∈ (20,十∞)时，y>0,此时函数单调递增.所以当x=20 时，y取得最小值. 所以此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和 最小. [例3][解](1)因为x=5时，y=11,所以号+10=11，a =2. (2)向1知，孩商品年日的错修量y名g十10(x一6， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x- [22g+10x-69]=2+106z-3a 6)2,3x<6,从而，f(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)·(x-6),令f(x)=0,x=4或x=6.于是，当x 变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) 6 f(z) × 0 0 f(x) 极大值42 极大值 由上表可得，x=4是函数∫(x)在区间(3,6)内的极大值 点，也是最大值点， 所以，当x=4时，函数∫(x)取得最大值，且最大值等 于42. 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获 得的利润最大， 母题探究 [解](1)由题意：x=2时y=800,.a十b=800, 又x=3时y=150,.b=300,可得a=500. ..y- 6o06-3》2+291<S4, 2800-100,4<x≤12. x 00 (2)由题意： ,500(x-3)2(x-1)+300,1<x≤4 f(x)=y(x-1)= (2800-100z-1D,4<x≤12’ x 当1<x≤4时，f(x)=500(x-3)2(x-1)+300=500x3 -3500x2+7500x-4200,f(x)=500(3x-5)(x-3), 由f)>0,得号<<3， “f)在(1，号)3,0上递增，在（停3）上适减。 f(停）-80+450<f0=180o, .当x=4时有最大值，f(4)=1800 当4K≤12时，f)=(280-100）(x-1) x =2900-100z+2800≤2900-4007≈1840， x 当且仅当100z=2800,即工=27≈5.3时取等号， x .x=5.3时有最大值1840，，1800<1840， '.当x=5.3时f(x)有最大值1840，即当销售价格为 5.3元的值，使店铺所获利润最大. 变式训练 3.解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2,若记商 品在一个星期的获利为f(x), 则有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+ kx2). 又由已知条件，24=×22，于是有k=6, 所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,21]. (2)根据(1)，f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2) (x-12).令f(x)=0,得x=2或x=12. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f'(x) 0 十 0 f(x)递减 极小值 递增 极大值 递减 故当x=12时，f(x)取得极大值.因为f(0)=9072,f (12)=11664, 所以定价为30一12=18元能使一个星期的商品销售利 润最大 当堂达标 1.D[设一段长为x,则另一段长为12一x(0<x<12).则 5)=合×（借）×9+2×(2)°×9=9 (写-警+1)所以3)=（台-号）令） =0,得x=6,当x∈(0,6)时，S(x)<0;当x∈(6,12)时， S(x)>0.所以当x=6时，S(x)最小.所以S(x)min= S(6)=2√3cm2.] 2.解析：y=-3x2十27=-3(x十3)(x-3), 当0<x<3时，y>0;当x>3时，y<0. 故当x=3时，该商品的年利润最大. 答案：3 ·10 参考答案 3.解析：由题设知y=x2-39x-40,令y>0,解得x>40 或x<-1,故画数y=号3-92-40x(x>0)在[40， 十∞)上递增，在(0,40]上递减..当x=40时，y取得最 小值.由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40. 答案：40 4.[解]设长方体的宽为xm,则长为2xm, 高为h=182z=(45-3x)0<z<号.故长方体的 4 休积为v)=2r24.5-3a)=9z2-6x2(0<x<号) 从而V'(x)=18x-18x2=18x(1-x).令V(x)=0,解得 x=0(舍去)或x=1, 当0<x<1时，V(x)>0; 当1x<号时，V()<0,故在x=1处V(x)取得板大 值，并且这个极大值就是V(x)的最大值. 从而最大体积V=V(1)=9×12一6×13=3(m3),此时长 方体的长为2m,高为1.5m.故当长方体的长为2m,宽 为1m,高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3. 章末复习课 [例1]B[根据导数的定义可知1imf1)-f-22 2x mf1-22f①-1，即)y1=1=-1,而由子数的 -2x 几何意义可知y=f(x)点(1，f(1)处的斜率为一1.] [例2]解析：因为f(x)=2x3十ax的图象过点P(2,0),所 以a=-8,所以f(x)=2x3-8x,所以f(x)=6.x2-8.因 为g(x)=bx2+c的图象过点P(2,0),所以4b十c=0.又 g'(x)=2bx,g(2)=46=f(2)=16,所以b=4,所以c -16,所以g(x)=4x2-16.综上可知，f(x)=2x3-8x,g (x)=4x2-16. 答案：2x3-8x4x2-16 [例3]C[由f)=+2xf1,得了x)=-2+ 2f(1),则f(1)=-1+2f(1),解得f(1)=1.则f(x) =-是+2则了-)=-1+2-1故f)-f-1=0.] [例幻解：1)因为y=主+x十si血工=x量十x十工2 sin x, 所以y=(x)y+(xy+(红2sinx)y=-昌x+ 3x2-2x-3sin x+x-2cos x. (2)y'=(x2)'sin x+x2(sin z)'=2xsin a+x2cos x. [例5](1)A[令F(x)=f,则F(x) =zf'(x)-f(x) 又当x>0时，xf(x)-f(x)≤0，∴.F(x)≤0， .F(x)在(0，十∞)上单调递减. 又ahFa≥FW12>26fa>afo,故 选A.]