6.3 利用导数解决实际问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“利用导数解决实际问题”核心知识点，系统梳理优化问题（利润最大、用料最省、效率最高等）类型，衔接导数求最值的方法，构建从导数基础到实际应用的学习支架。 资料以生活实例（如包装盒设计、隔热层成本、商品利润）为载体，通过例题解析与变式训练，培养数学建模、逻辑推理和数学运算素养。课中助力教师引导学生建立函数模型，课后分层练习（当堂达标、基础/培优题）帮助学生巩固提升，查漏补缺。

6．3　利用导数解决实际问题 课程标准 素养解读 1.理解实际生活中的最优化问题． 2.会利用导数解决实际生活中的最优化问题. 在利用导数解决生活中优化问题的过程中提升数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养. [知识梳理] [知识点一]　优化问题　 生活中经常遇到求　利润最大　、　用料最省　、　效率最高　等问题，这些问题通常称为优化问题． [知识点二]　用导数解决优化问题的基本思路　 解决生活中优化问题应注意什么？ [提示]　(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等． 平面几何中的最值问题 [例1]　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)． (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [解]　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm. 由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当x＝15时，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)． 由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为. 关于平面图形中的最值问题 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导，求出极值，从而求得最值． [变式训练] 1．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记|CD|＝2x，梯形的面积为S. (1)求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域． (2)求面积S的最大值． 解：(1)依题意，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则点C(x, y)满足方程x2＋＝1，且x＞0，y＞0，所以y＝2(0＜x＜1)． 所以S＝×(2x＋2)×2＝2(x＋1)(0＜x＜1)． (2)令f(x)＝S2＝4(x＋1)2(1－x2)(0＜x＜1)， 则f′(x)＝8(x＋1)2(1－2x)．令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－1(舍去)． 当0＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数． 所以f()是f(x)在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，且f()＝，此时S＝. 故当x＝时，S取得最大值. 用料最省、成本(费用)最低问题 [例2]　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值． [思路点拨]　(1)由C(0)＝8可求k的值从而求出f(x)的表达式．(2)求函数式f(x)的最小值． [解]　(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5或x＝－(舍去)．当0＜x＜5时，f′(x)＜0， 当5＜x＜10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． 1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． [变式训练] 2．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？ 解：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝.所以Q＝x3. 所以总费用y＝·＝x2＋.y′＝－，令y′＝0，得x＝20. 所以当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．所以当x＝20时，y取得最小值． 所以此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小． 利润最大、效率最高问题 [例3]　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． [思路点拨]　(1)根据x＝5时，y＝11求a的值． (2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值． [解]　(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)，令f′(x)＝0，x＝4或x＝6.于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) 6 f′(x) ＋ 0 － 0 f(x) ↗ 极大值42 ↘ 极大值 由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点， 所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． [母题探究] (变条件)本例条件换为： 该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋，(a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝－100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． (1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式； (2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大，(≈2.65) [解]　(1)由题意：x＝2时y＝800，∴a＋b＝800， 又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500. ∴y＝ (2)由题意： f(x)＝y(x－1)＝， 当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3 500x2＋7 500x－4 200，f′(x)＝500(3x－5)(x－3)， ∴由f′(x)＞0，得＜x＜3， ∴f(x)在，(3,4)上递增，在上递减， ∵f＝＋450＜f(4)＝1 800， ∴当x＝4时有最大值，f(4)＝1 800 当4＜x≤12时，f(x)＝(x－1) ＝2 900－100x＋≤2 900－400≈1 840， 当且仅当100x＝，即x＝2≈5.3时取等号， ∴x＝5.3时有最大值1 840，∵1 800＜1 840， ∴当x＝5.3时f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元的值，使店铺所获利润最大． 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值． 解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利． [变式训练] 3．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)， 则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)． 又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6， 所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]． (2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝12. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减 故当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664， 所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润最大． [当堂达标] 1．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形面积之和的最小值是(　　) A. cm2　　　　　 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2 解析：D　[设一段长为x，则另一段长为12－x(0＜x＜12)．则S(x)＝×2×＋×2×＝，所以S′(x)＝.令S′(x)＝0，得x＝6，当x∈(0,6)时，S′(x)＜0；当x∈(6,12)时，S′(x)＞0.所以当x＝6时，S(x)最小．所以S(x)min＝S(6)＝2 cm2.] 2．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为　________　百万件． 解析：y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)， 当0<x<3时，y′>0；当x>3时，y′<0. 故当x＝3时，该商品的年利润最大． 答案：3 3．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为　________　. 解析：由题设知y′＝x2－39x－40，令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40. 答案：40 4．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ [解]　设长方体的宽为x m，则长为2x m， 高为h＝＝(4.5－3x)(0＜x＜)．故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3. 从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1， 当0＜x＜1时，V′(x)＞0； 当1＜x＜时，V′(x)＜0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值． 从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m．故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3. [基础达标练] 1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为(　　) A．2和6　　　　　 B．4和4 C．3和5 D．以上都不对 解析：B　[设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0.所以当x＝4时，y最小．] 2．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为(　　) A．30　 B．40　　C．50　　D．以上都不对 解析：B　[V(x)＝－x3＋30x2，∴V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，∴当0＜x＜40时，V′(x)＞0.当40＜x＜60时，V′(x)＜0，∴V(x)在(0,40)单调递增，在(40,60)单调递减，∴x＝40是V(x)的极大值点，也是最大值点．] 3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(　　) A．32,16 B．30,15 C．40,20 D．36,18 解析：A　[要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x＞0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．] 4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　) A．100 B．150 C．200 D．300 解析：D　[由题意，得总成本函数为C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝ 所以P′(x)＝ 令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．] 5．(多选)如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为10的半球，下面大圆刚好与高度为6的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为(　　) A．10 π B．18π C．30π D．40π 解析：ABC　[令上部分的半球半径为R，可得πR3＝10π，解得R＝，设小圆锥的底面半径为r，小圆锥底面中心到球心距离为h，可知r，h和R可构成直角三角形，即r2＋h2＝15，小圆锥体积V＝πr2(h＋6)＝π(15－h2)(h＋6)(0＜h＜)． 令f(h)＝(15－h2)(h＋6)(0＜h＜)，则f′(h)＝－3(h＋5)·(h－1)，可知f(h)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以当h＝1时，f(h)最大，f(h)max＝f(1)＝98，即Vmax＝π，即ABC三个选项都满足题意，故选ABC.] 6．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产　________　千台． 解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． 答案：6 7．要设计一个容积为π的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径R＝　______　时，造价最低． 解析：设圆柱的高为h，圆柱底面单位面积造价为1，总造价为y，因为储油罐容积为π，所以πR2h＋πR3·＝π，整理得：h＝＞0， 所以y＝πR2＋2πRh＋4πR2＝π(R2＋)，令u＝R2＋，则u′＝R－， 当u′＞0得：3＞R＞，当u′＜0得0＜R＜， 所以当R＝时，u取最大值，即y取得最大值． 答案：. 8．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 解：(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，即n＝－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)m＝＋m＋2m－256,0＜x≤m. (2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)． 令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64. 当0＜x＜64时，f′(x)＜0，故f(x)在区间(0,64)上为减函数； 当64＜x＜640时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(64,640)上为增函数． 所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时，n＝－1＝－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y最小． 9．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　) A.3π B.3π C.3π D.3π 解析：A　[设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l， ∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3. 则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r＞0， ∴r＝是其唯一的极值点． ∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.] 10．(多选)北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数f(x)＝cosx＋＋近似模拟其信号，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的图象关于点对称 C．对任意x∈R，都有f′(π－x)＝f′(x) D．函数f′(x)的最小值为－3 解析：BCD　[A.因为y＝cos x，y＝，y＝的周期分别是2π，，，其最小公倍数为2π，所以函数函数f(x)的最小正周期为2π，故A错误；B.因为f(－)＝cos(－)＋＋＝0，故B正确；C.f′(x)＝－sin x－sin 5x－sin 9x＝f′(π－x) ，故C正确；D.f′＝－sin －sin －sin＝－3 ，故D正确，故选BCD.] 11．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为　________　时容器的容积最大． 解析：设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为[14.8－4x－4(x＋0.5)] ＝(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.设容器容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定义域(0,1.6)内，只有x＝1使y′＝0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此当x＝1时，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为1.2 m. 答案：1.2 m 12．某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收．设每件产品的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件． (1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式； (2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值． 解：(1)设日销售量为，则＝10，∴k＝10e40，则日售量为件． 则日利润L(x)＝(x－30－a)＝10e40×； 所以该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)＝10e40. (2)L′(x)＝10e40. ①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35， 当35＜x＜41时，L′(x)＜0.∴当x＝35时，L(x)取最大值为10(5－a)e5； ②当4＜a≤5时，35≤a＋31≤36， 令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知当x＝a＋31时，L(x)取最大值为10e9－a. 综合上得L(x)max＝. 所以当2≤a≤4时，当每件产品的日售价35元时，为L(x)取最大值为10(5－a)e5；当4＜a≤5时，每件产品的日售价为a＋31元时，该商品的日利润 L(x)最大，最大值为10e9－a. [素养培优练] 13．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？ 解：　设C点距D点x km，则AC＝(50－x)km， 所以BC＝＝(km)． 又设总的水管费用为y元， 依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0＜x＜50)． y′＝－3a＋. 令y′＝0，解得x＝30. 在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)． 故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省． 14．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其r(单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由题意可知，每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2＝0.8π(－r2)，0＜a≤6. 所以f′(r)＝0.8π(r2－2r) 令f′(r)＝0，解得r＝2. 当x∈(0.2)时，f′(r)＜0；当x∈(2.6)时，f′(r)＞0. 因此，当半径r＞2时，f′(r)＞0， f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜2时，f′(r)＜0，f(r)单调递减，即半径越大，利润越低． (1)半径为6cm时，利润最大 (2)半径2cm时，利润最小，这时f(2)＜0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值． 学科网（北京）股份有限公司 $